Ensemble de définition

Salut!
Je me suis rendu compte que j'avais du mal à définir les ensembles de définition surtout quand il y a du ln qui vient s'ajouter là-dedans.
J'aimerais donc avoir des petits exercices là-dessus parce que ceux que j'ai ne sont pas expliqués svp.
Merci d'avance.

Bonsoir,

Alors qu'il y ait du Ln, de l'exponentielle, du sinus ou tout autre fonction, il s'agit de trouver l'ensemble de définition d'une fonction composée. Cela est souvent fait sans s'en rendre compte avec la fonction racine carrée par exemple.

F(x)= √(x-2)= GoH(x) avec G(x)=√(x) et H(x)=x-2 => D_F=[2;+∞[

Pour trouver cette ensemble de définition, je cherche l'ensemble de définition de H qui est R ici (pas trop de soucis c'est un polynôme de degré 1) et ensemble je cherche dans cette ensemble de définition les point x dont l'image par H sont dans l'ensemble de définition de G (qui ici est R₊=[0;+∞[).

Je cherche donc x tel que H(x)=x-2≥0 <=> x≥2 <=> x est dans [2;+∞[.

Et c'est toujours le même principe peu importe les fonctions utilisées dans la composition.


Trouver les ensemble de définition des fonction suivante:

a) F(x)=e^(1/√x)
b) F(x)= Tan(x)
c) F(x)= Ln(x)
d) F(x)= Ln(x²+2x-1)
e) F(x)= Ln(√(x²-x+1))
f) F(x)= Ln(e^x)
g) F(x)= e^Ln(x)

h) F(x)= Ln [(x²-1)/x+2]


Bon courage!

a) F(x)=e(1/√x)

Le dénominateur doit être différent de 0
La racine carrée est toujours positive ---> x Appartient à ]0 ; +Infini[
f(x) E ]0 ; +Infini[


b) F(x)= Tan(x)

-1 <= tan <= 1 et x E ensemble R
donc tan(x) E R.


c) F(x)= Ln(x)

Ln(x) définie sur ]0 ; +Infini[ comme f(x)


d) F(x)= Ln(x²+2x-1)

Ln définie sur ]0 ; +Infini[
x² + 2x -1 différent de 0
Delta = 8
x₁ = [-2 - Racine(8)] / 2
x₂ = [-2 + racine(8)] / 2
x₁ n'appartient pas à ]0 ; + Infini[
donc :
f(x) E ] (-2 + racine(8)) / 2 ; +Infini[


e) F(x)= Ln(√(x²-x+1))

Racine carrée toujours positive donc sur x sur [0 ; +Infini[
Delta = -3 --> Pas de solutions..
Là, je ne sais pas du tout...


f) F(x)= Ln(e^x) = x défini sur R


g) F(x)= eLn(x)

ln(x) Appartient à ]0 ; +Infini[
donc x différent de 0
e^x appartient à [0 ; +Infini[

h) F(x)= Ln [(x²-1)/x+2]

x+2 différent de 0
x différent de -2

ln(x) = 0 donc (x²-1)/(x+2) différent de 0
x² différent de 1
DONC :
X diiférent de 1
x différent de -1

f(x) E ]-Inf. ; -2[U]-2 ; -1[U]-1 ; 1[U]1 ; +Inf.[



Il doit y avoir du faux là-dedans...
J'ai surtout du mal lorsqu'il faut faire des choses du genre :

Ln( 8x + 5) = ln(3x)
l'exemple est simpliste mais, dans ses configurations, j'ai du mal...
En tout cas merci pour l'exo!

La première est juste.

La deuxième attention, Tan(x)=Cos(x)/Sin(x) ce n'estp as définie sur R.

Pourl a troisième l'argument doit être radicale:

Citation :

x² + 2x -1 différent de 0

Tu dis que le logarithme est définie pour x strictement positif. Donc notre polynôme doit être strictement positif et non pas seulement différent de 0.
Mais ta conclusion est juste (il faudrait ajouter qu'une polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines si on veut être parfaitement rigoureux).


Pour la quatrième, il faut se souvenir des déterminations de signe d'un polynôme. Le discriminant est négatif, donc pas de racine => le polynôme est strictement du signe de a c'est à dire ici: strictement positif => la racine est bien définie et est strictement positif => le Ln est bien définie aussi.

=> l'ensemble de définition est R !


La f) est juste mais il faudra dire que l'exponentielle est définie sur R à valeur dans ]0;+Infini[ et que Ln est bien définie sur ]0;+Infini[ si on veut être rigoureux.


Pour la g) attention à la rédaction! En effet,

Citation :

ln(x) Appartient à ]0 ; +Infini[
donc x différent de 0
ex appartient à [0 ; +Infini[

Ln(x) appartient à R et est définie sur ]0; +Infini[ (il faut bien faire la différence entre l'ensemble de définition et l'ensemble des valeurs prises par la fonction aussi appelé l'image de la fonction)

Donc ici, on dit que l'exponentielle est définie sur R et Ln est définie sur ]0;+Infini[ à valeur dans R. Donc F est définie sur ]0;+Infini[

Est-ce que tu comprends le raisonnement pour celui-ci?

En fait, on regarde l'ensemble de définition de la fonction la plus à "l'intérieur" c'est à dire la première qu'on va appliquer à x et ensuite on regarde si l'image de cette première fonction est inclus dans l'ensemble de définition de la deuxième fonction qui va être appliqué et ainsi de suite


Pour la dernière c'est la plus complexe car il y a plein de chose à voir et tu as oublié une partie du problème car le logarithme est définie seulement sur l'ensemble des réelle strictement positif et non pas seulement différent de 0. Mais déjà est-ce que les premiers sont compris maintenant?

Je reviens sur le dernier et sur ton exemple après.

a) F(x)=e(1/√x)

Le dénominateur doit être différent de 0
La racine carrée est toujours positive ---> x Appartient à ]0 ; +Infini[
f(x) E ]0 ; +Infini[


b) F(x)= Tan(x)=Cos(x)/Sin(x)
x peut être compris sur R non?




c) F(x)= Ln(x)

Ln(x) définie sur ]0 ; +Infini[ comme f(x)


d) F(x)= Ln(x²+2x-1)

Ln définie sur ]0 ; +Infini[
x² + 2x -1 > 0
Delta = 8
x₁ = [-2 - Racine(8)] / 2
x₂ = [-2 + racine(8)] / 2
x₁ n'appartient pas à ]0 ; + Infini[
donc :
f(x) E ] (-2 + racine(8)) / 2 ; +Infini[ car un polynôme est du igne de a en dehors des racines --> donc positif!


e) F(x)= Ln(√(x²-x+1))

Racine carrée toujours positive donc sur x sur [0 ; +Infini[
Delta = -3 --> Pas de racines donc le polynôme est du signe de a soit strictement positif.
Donc pas de problèmes pour la racine suir [0 ; +Infini[
mais comme ln défini sur ]0 ; +Infini[ alors, f(x) défini sur ]0 ; +Infini[.



f) F(x)= Ln(e^x) = x défini sur R

Citation :

il faudra dire que l'exponentielle est définie sur R à valeur dans ]0;+Infini[ et que Ln est bien définie sur ]0;+Infini[ si on veut être rigoureux.

Exponentielle sur [0 ; +Infini[ non?


g) F(x)= eLn(x)

ln(x) Appartient à ]0 ; +Infini[
donc x différent de 0
e^x appartient à [0 ; +Infini[

Citation :

Ln(x) appartient à R et est définie sur ]0; +Infini[ (il faut bien faire la différence entre l'ensemble de définition et l'ensemble des valeurs prises par la fonction aussi appelé l'image de la fonction)

Donc ici, on dit que l'exponentielle est définie sur R et Ln est définie sur ]0;+Infini[ à valeur dans R. Donc F est définie sur ]0;+Infini[

oui --> En fait, exp étant définie sur [0 ; +Inf.[, il n'impose ici pas de contraintes mais ln(x) lui étant défini sur ]0 ; + Infini[ exclut le 0.
C'est bien cela?

h) F(x)= Ln [(x²-1)/x+2]

x+2 différent de 0
x différent de -2
car x>0 car ln défini sur ]0 ; +Infini[
donc :
]-Infini ; -2[U]-2 ; +Infini[



J'ai refait ça. J'ai toujours un doute sur la dernière...

Bonsoir,

Au vu des exemples et de cette nouvelle tentative de réponse je constate que tu confonds "ensemble de définition" et "valeur prise par la fonction"

Alors essayons de faire simple pour comprendre comment ça marche au niveau de ses deux ensemble (qui sont théoriquement et fondamentalement différent) avec de continuer à résoudre ses exercices.

Si je prend une fonction F,

Son ensemble de définition est égal à l'ensemble des points x tel que F(x) existe.

L'ensemble des valeurs prises par la fonction F, est l'ensemble des y tel qu'il existe un x dans son ensemble de définition pour que y=F(x).


Le premier ensemble est sans doute plus clair à visualiser que le premier mais au cas où un moyen de s'en souvenir de façon "vulgaire":

- L'ensemble de de définition d'une fonction est l'ensemble des points "qui ne pose pas de problème"

Donc pour le déterminer, il suffit d'enlever à l'ensemble le plus gros (c'est à dire R) les points "qui pose problème". Et c'est ce qu'on fait dans la pratique d'ailleurs car il est plus facile de savoir quels sont les points où la fonction n'est pas définie que de vérifier tous les point où elle est définie.

Donc par exemple, F(x)= Ln(x²-1) est définie sur l'ensemble où x²-1>0 car l'ensemble de définition de la fonction Ln est ]0;+Infini[. Il s'agit d'un polynôme du second degré ayant pour racine +1 et -1, il est donc positif à l'extérieur de ses racines (car 1>0).
Donc x²-1>0 <=> x appartient à ]-Infini;-1[U]1;+Infini[ et c'est l'ensemble de définition de la fonction F. C'est à dire que sur tous les point de cette union d'intervalle admettent une image par F (c'est à dire que F(x) existe).


Maintenant quel est l'ensemble des valeurs prise par une fonction concrètement?

On a dit que: L'ensemble des valeurs prises par la fonction F, est l'ensemble des y tel qu'il existe un x dans son ensemble de définition pour que y=F(x).

Et concrètement, c'est l'ensemble des point y de R qui admettent un antécédent par F.


Donc si on regarde par exemple la fonction F(x)= Ln(x).

Cette fonction est définie sur ]0;+Infini[ et quel est l'ensemble des valeurs prise par la fonction?

On sait que Ln est croissante sur son intervalle de définition, donc F est a valeur dans ]Lim_x->0F(x); Lim_x->+Inf F(x)[=]-Inf; +Inf[=R.

Donc Ln est a valeur dans R.


Si je prend la fonction définie sur R, F(x)= x²-1. Cette fonction est définie sur R et elle est a valeur dans quel intervalle?

Et bien, on sait que Lim_x->+ou-Inf F(x)=+Inf. Doncl a borne supérieur de mon intervalle sera +Inf, il nous reste à trouver la borne inférieur de celui-ci.
Mais on sait qu'une fonction polynôme du second degré admet un extremum en -b/(2a). ET vu que a>0, il s'agira bien ici d'un minimum pour la fonction. Donc l'image du minimum sera F(-0/(2*1))=F(0)=-1 et cette valeur est bien atteint.

Donc F est a valeur dans [-1; +Inf[


On constate avec ses quelques exemple que l'ensemble des valeurs prise par une fonction continue est égale à l'intervalle composé de sa borne inférieur A(qui peut être égale à - l'infini) et de sa borne supérieur B (qui peut être égale à + l'infini) c'est à dire:

- Si A et B son atteint par la fonction c'est à dire qu'il existe des a,b tel que F(a)=A et F(b)=B alors F est à valeur dans [A;B]
- Sinon, F est à valeur dans ]A;B] ou [A;B[ ou ]A;B[


Est-ce que tu comprends la nuance entre les deux ensemble (ensemble de définition et ensemble de valeur prise par une fonction) ou se n'est toujours pas clair?


Donc l'exponentielle est définie sur R (pour tout x dans R, e^x existe) et est à valeur dans ]0;+Inf[ (l'exponentielle est croissante donc il est à valeur dans ]Lim_x->-Inf e^x; Lim_x->+Inf e^x[=]0;+Inf[).


Quel est l'intérêt de bien faire la différence entre les deux ensembles? ET bien cela est crucial pour la recherche d'ensemble de définition d'une fonction composée!
En effet, la fonction "la plus à l'intérieure" (la première qu'on applique) on a besoin de son ensemble de définition (car sinon la fonction dans tous les cas n'existerait pas si on est en dehors de cette ensemble) mais on a aussi besoin de son ensemble de valeur prise pour savoir si elle va ou non sortir de l'ensemble de définition de la fonction suivante.

Est-ce que tu comprends l'utilité de tout ceci où ce n'est vraiment pas clair?

Oui, je vois où est la difficulté et où il faut faire attention mais, il y a toujours des exemples qui me font douter de tout ceci et au final, je me trompe...

Bonsoir,

Ne t'inquiète pas se tromper n'est pas encore puni par la loi, t'as de la chance (et moi aussi d'ailleurs ).

Sinon, est-ce que tu veux reprendre les exemples que je t'avais donner où tu préfère une correction et que je t'en donne deux ou trois autres à la rigueur?

Bon courage en tout cas!

Ben, je peux les reprendre et après, on teste le tout avec 2, 3 autres non?

Bonsoir,

Il n'y a pas de soucis pour moi. Je te laisse donc reprendre les exemple du départ et je te conseille même de les reprendre brut juste ne essayant de suivre les idées qui ont été développés dans les messages successif mais sans reprendre tes propres résultats sinon tu risque d'être influencé et ce n'est pas le but vu que certain raisonnement n'étaient pas encore bon.

Bon courage et ne t'inquiète pas le but c'est de comprendre et on mettra le temps qu'il faudras (car la notion est pas simple et en plus elle est bâclée en 1ère ce qui amène à des difficultés non négligeable en terminales la preuve. Donc tranquille mais sûrement comme d'habitude .

a) F(x)=e^(1/√x)
L'ensemble de définition de la fonction e est : R
L'ensemble de définition de la fonction √ est : [0 ; +Infini[
--> f(x) sera donc comprise sur [0 ; +Infini[



b) F(x)= Tan(x)
L'ensemble de définition de la fonction Tan est R
--> f(x) sera comprise sur R



c) F(x)= Ln(x)
L'ensemble de définition de la fonction Ln est : ]0 ; +Infini[
--> f(x) sera comprise sur ]0 ; +Infini[



d) F(x)= Ln(x²+2x-1)
L'ensemble de définition de la fonction Ln est : ]0 ; +Infini[
x² + 2x - 1 est un polynôme du second degré donc du signe de a à l'extérieur des racines mais, il peut être égal à 0 une ou deux fois ce qu'il ne faut pas vu l'ensemble de définition de Ln.
Delta = b²-4ac = 2² - 4(1 * (-1)) = 4 + 4 = 8

x₁ = [-b - Racine(Delta)] / 2a = [ -2 - Racine(8) ] / 2
x₂ = [-b + Racine(Delta)] / 2a = [ -2 + Racine(8) ] / 2

Donc, x ne devra pas être égal à x₁ ou à x₂ mais, x₁ n'étant pas dans l'ensemble de définition de Ln, on n'en tient ici pas compte.
--> f(x) a pour ensemble de définition ]0 ; [ -2 + Racine(8) ] / 2 [ U ] [ -2 + Racine(8) ] / 2 ; +Infini[



e) Ln(√(x²-x+1))
L'ensemble de définition de la fonction Ln est ] ; +Infini[
L'ensemble de définition de la fonction √ est [0 ; +Infini[
Il faut donc que x² - x + 1 > ou égal 0
Delta = b² - 4ac = (-1)² - 4(1 * 1) = 1 - 4 = -3.
--> Ce polynôme n'a pas de racines réelles : il est donc du signe de a sur R c'est à dire positif donc toujours > 0 donc, plus de problèmes pour la √ qui sera toujours positive et plus de problèmes pour la fonction Ln qui exclut 0 comme valeur.
--> f(x) est définie sur R.



f) F(x)= Ln(e^x) = x
--> f(x) est donc définie sur R



g) F(x)= e^Ln(x) = x
--> f(x) est donc définie sur R



h) F(x)= Ln [(x²-1)/x+2]
L'ensemble de définition de Ln est ]0 ; +Infini[
Il faut donc que (x²-1)/(x+2) soir sur ]0 ; +Infini[ mais, il faut surtout que x + 2 ne soit pas égal à 0
x + 2 différent de 0
x différent de -2

Maintenant, il faut que x² -1 soit différent de 0 donc, je cherche ses racines : -1 et 1 : je ne garde que 1 car il est sur l'ensemble de Ln
--> f(x) sera définie sur ]0 ; 1[U]1 ; +Infini[

Bonsoir,

Alors attention entre "comprise" et "définie" (je sais c'est toujours un soucis au début mais bon, ça va venir).

Pour la première fonction, tes deux premières affirmation sont bonnes. En effet, l'exponentielle est bien définie sur R et la fonction racine est définie sur [0;+Infini[.

Mais on a la fonction 1/X aussi qui est définie sur R\{0} (c'est à dire ]-Infini0;+Infini[) et tu as oublié de la considérer.


[u]Alors reprenons les étape une par une poru cette première fonction (c'est pas la plus simple je l'avoue mais bon au moins on va bien voir les enchaînement):

1)Quelles sont les fonctions mis en jeu dans l'ordre d'application?

La fonction racine carré puis la fonction inverse et enfin la fonction exponentielle.

2) Ensemble de définition et valeur prise par la première fonction.

La fonction racine carré est définie sur [0;+Infini[ à valeur dans [0;+Infini[ (la fonction racine carrée est croissante).

Donc au maximum x appartiendra à [0;+Infini[ pour ue notre première fonction soit définie. Maintenant voyons si il n'y pas de de soucis avec les autres fonctions.

3) Ensemble de définition et valeur prise par la deuxième fonction

La fonction inverse (1/X) est définie sur R\{0} à valeur dans R\{0} (en effet la fonction inverse est décroissante et la limite en plus et moins l'infini vaut 0 et les limites en 0+ et 0- valent respectivement +Infini et -Infini).

Or notre fonction racine carrée est à valeur dans [0;+Infini[, il y a donc un problème car pour appliquer la fonction inverse, il faut que 0 soit exclu. Pour cela, on recherche les antécédents de 0 par f c'est à dire les valeurs de x tel que f(x)=0. Il n'y a qu'une seule valeur qui vérifie l'équation, c'est x=0.

Il faut donc considérer, x dans ]0;+Infini[ et à ce moment là, la fonction racine carrée est à valeur dans ]0;+Infini[ et par conséquent notre fonction inverse est bien définie vu que ]0;+Infini[ est inclus dans R\{0}.

De plus, l'image si on considère x dans ]0;+Infini[, on a 1/x dans ]0;+Infin[ (par décroissance de la fonction inverse et en calculant ses limites)

Donc à ce stade là, au maximum notre fonction sera définie sur ]0;+Infini[.


4) Ensemble de définition et valeur prise par la troisième fonction.

La fonction exponentielle est la dernière fonction qui va être appliquée, il n'y a donc besoin de regarder que son ensemble de définition. ET on sait que l'exponentielle est définie sur R.

Or ]0;+Infini[ est inclus dans R.

Donc si on prend x dans ]0;+Infini[, l'image de la fonction 1/√x (qui est ]0;+Infini[ d'après ce qu'on a dit au 3) ) est bien inclus dans l'ensemble de définition de l'exponentielle.

En conclusion, notre fonction F est donc définie sur ]0;+Infini[.


Est-ce plus clair rédigé ainsi ?


Je te laisse reprendre les fonctions suivantes si tu veux en corriger quelques unes avant que je les recorriger avant que je dise quoi que ce soit dessus.

Bon courage!