Coupure et Ensemble

Bonsoir,

En cours d'Analyse Numérique, il est question de la notion de Coupure, mais la définition donnée dans le cours est abstraite à mes yeux....

Une coupure (coupure de Dedekind) de Q est un couple de deux sous ensembles non vides A et B, avec A,B Ì Q tels que:
1) A∩B=ø
2)AÈB=Q
3) "a Є A,"b Є B, a<b

Aurais tu un lien ou une autre façon d'aborder cette définition ?

Merci

Bonsoir,

J'avoue que je ne me souviens plus trop de cette notion mais après quelques recherches, je vais essayer d'éclairer cette définition.

En fait, on considère qu'on a un espace E totalement ordonné. C'est à dire qu'il est en gros comme l'ensemble des R. Vulgairement, il est toujours possible de comparer deux éléments de E peu importe le choix des éléments.

Dans R, la relation d'ordre est celle que tu connais depuis longtemps c'est à dire cette de la droite gradué. Mathématiquement, dans R on dira que a<b <=> b-a>0 sachant que b-a est une opération qui a un sens et la comparaison à 0 s'effectue avec la définition de l'ensemble des entiers relatifs et ensemble plus gros définie à partir de celui-ci.

Si je prend un autre exemple, on peut considérer E comme l'ensemble des lettres et à ce moment là, l'ordre sera lexico-graphique c'est à dire celui du dictionnaire. Donc l'ensemble des lettres de l'alphabet est un ensemble ordonné.

J'espère que la notion d'ordre dans un ensemble est bien clair. Ensuite, la notion d'ordre total s'obtient si tu peux comparer tous les éléments de E sans exception. En gros, on ajoute les quantificateur "quelque soit" pour que tu puisses avoir l'ordre total et du coup soit c'est différent et il y a un ordre soit c'est égale et pas de cas exclu.

A partir de là, dès qu'on a n ensemble E totalement ordonnées. On appelle une coupure de E deux sous ensemble de E. C'est à dire deux ensemble de E qu'on peut noter A et B et on donne les propriétés suivantes:

Il faut que A et B forme une partition de E. C'est à dire que l'union de A et B donne E tout entier (pas d'éléments exclus) et l'intersection de A et B est l'ensemble vide (pas d'élément commun au deux).

Par exemple, tu peux prendre l'ensemble N qui est l'ensemble des entiers naturels et prendre A les entiers pairs et B les entiers impairs. On a bien l'union de A et B qui redonne N et l'intersection des pairs et des impairs est bien vide.

Donc déjà on souhaite que les deux sous ensemble de E forme une partition.

Et enfin, on veut qu'on puisse comparer les éléments de A et B et que la comparaison s'effectue toujours dans le même ordre par la relation de comparaison à savoir que soit tous les éléments de A sont "inférieurs" aux éléments de B quelque soit les éléments pris soit c'est l'inverse mais dans tous les cas cela est vrai pour tous les éléments sans exception.

Alors pour conclure, je prendrai un exemple simple mais j'espère visuel, si je reprend l'ensemble des entiers N et que je considère A l'ensemble des entiers strictement inférieurs à 10 et B l'ensemble des entiers supérieurs ou égale à 10. C'est à dire A={n / n<10} et B={n/ n>10 ou bien n=10}. A ce moment là, (A,B) est bien une coupure de N car A et B forment une partition de N (l'union donne N et l'intersection est vide) et tous les éléments de A sans exception sont inférieur strictement à tous les éléments de B sans exception.

Est-ce plus clair ainsi ?

Bon courage!

C'est même plus que clair, j'ai compris la chose.
Je n'avais pas du tout compris ça, mais alors pas du tout...
Heureusement que ce point n'est qu'un point dans le cours et pas "vraiment" la base...
Et merci d'avoir pris de ton temps pour te remettre ça en tête.



Sinon en rapport avec les Ensembles : Les Boules.
C'est en topologie de Rⁿ.

Soit a appartenant à Rⁿ et r, réels positifs non nuls, on appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l'ensemble:
B(a,r)={x appartient Rⁿ / d(a,x) < r }
Et:
Soit A un sous ensemble de Rⁿ, on dit que A est ouvert si quelque soit a appartenant à A, il existe r, réels positifs non nuls, tel que B(a,r) inclus dans A.
On dit que A est fermé si son complémentaire est ouvert.

Je comprends la définition, mais je vois pourquoi cela montre que l'intervalle est ouvert...

Désolé si cela te refait faire des recherches...
Mais on a eu un TD là dessus, la démarche je la comprends, mais le pourquoi ça montre que c'est ouvert, ça reste un mystère pour moi ...

Merci de ton aide!

Bonsoir,

Ne t'inquiete pas pour mes recherches, c'est un plaisir et cela me permet de ne pas trop rouiller aussi.

Pour la notion d'ouvert imagine le par contraposée. En effet, un ensemble fermé admet une frontière tu as d'accord?
A partir de là, si je prend un point de la frontière, puis-je faire rentrer une boule ouverte de centre ce point et de rayon non nul qui ne contienne que des point de mon ensemble ? C'est à dire que notre boule serait totalement incluse dans mon ensemble fermé.

Essaie de faire des dessin dans le plan part exemple où les boules ne sont que des disques sans leur frontière.

Bon courage!

Après moultes réflexions il se trouve que je ne réussis absolument pas à cerner les Boules...
Je n'arrive pas à bien me représenter le problème: Qu'appelle t'on vraiment une boule ? Parce que moi je me représente sans cesse un rond, mais je vois pas le concept mathématiques...ni même son utilité véritable.

J'ai du mal à me projeter ceci en tête...

Bonjour,

Alors voir des ronds ou des disques ou encore des sphères pleines (qu'on appelle aussi boule en dimension 3 après tout) ce n'est pas un problème en soit, il s'agit juste de moyen visuel de se représenter ce genre de chose en dimension visuelle c'est à dire 2 ou 3.

Cependant, ce qu'il faut bien comprendre en mathématiques est que nous cherchons toujours à généraliser le plus possible les notions dans des ensembles de dimension quelconque n avec n un entier non nul quelconque donc. A partir de là, il faut définir ce que nous allons pouvoir appeler un ensemble ouvert ou un ensemble fermé c'est à dire que nous souhaitons simplement généraliser ce que tu connais déjà sur les intervalles de R (R est de dimension 1 et tu sais bien faire la différence entre un intervalle ouvert et un intervalle fermé). Et pour cela, nous devons définir concrètement la notion d'ouvert ce qui en vient à se poser déjà des questions sur R c'est à dire concrètement qu'est-ce qui caractérise un intervalle ouvert de R ?

La réponse est quasi immédiate mais encore faut-il l'écrire. C'est à dire que si j'enlève le vocabulaire mathématique 30 secondes, je vais dire qu'un intervalle est ouvert si à partir d'un point de cette intervalle je peux toujours trouver autour de lui des points qui se situent encre dans l'intervalle. En gros, il existe une sureté qui permet de ne pas sortir de l'intervalle peu importe le point que nous considèrerons dans celui-ci. C'est un peu la différence avec une falaise où là, si tu prends le caillou du bord et que tu décide de faire un pas en avant aussi petit soit-il et bien tu te retrouves avec un bout de ton pied dans le vide et c'est ce qu'on évide lorsque l'ensemble n'est pas fermé.

Et pour cela, on défini ce qu'on appelle des boule ouverte qui sont définie en fonction d'une métrique sur l'ensemble qu'on considère pour nous permettre d'écrire de façon concise que nous avons bien la place de mettre quelque chose dans notre ensemble ouvert peu importe le point considéré vu qu'on arrive à y mettre un objet ouvert dedans.

Est-ce plus clair ainsi ? La notion d'ouvert et de fermé est une notion très abstraite en fait et l'une des rare façon de bien le comprendre reste de se mettre en petite dimension c'est à dire 1; 2 ou 3.

Bon courage!