Logique Mathématique

Bonsoir!

J'ai un Dm de maths pour la semaine prochaine mais je suis quelque peu bloqué et j'aurais besoin de votre aide!

Voici l'énoncé : On fixe pour tout le problème deux parties A et B de l'ensemble R (ensemble des réels). Si X est une partie de IR, on note f(X)=(X U A) ∩ B.

Les premières questions m'ont amené à montrer que si X et Y sont 2 parties de IR on a
X U Y = X <=> Y inclus dans X
X ∩ Y = X <=> X inclus dans Y

Et j'ai du calculer f(X) pour A=ensemble vide et pour B=R ainsi que f(ensemble vide), f(A), f(B) et f(R).

J'ai aussi démontrer que X inclus dans X' => f(X) inclus dans f(X')

Je suis bloquée à la question suivante qui demande de montrer que :

Y admet un antécédent dans P(R) par f => B inclus dans Y inclus dans A union B => F(Y)=Y => Y admet un antécédent dans P(R) par f .

Merci pour votre aide! =)

Bonsoir et bienvenue au sein du forum!

LA notion de logique est loin d'être simple car assez nouveau en L1 même si maintenant on en parle de plus en plus au lycée mais hélas ce n'est pas encore cela c'est un fait. Du coup, c'est un peu difficile de bien visualiser les choses. Il va donc falloir manipuler un maximum ces nouvelles notions pour mieux les utiliser ensuite.

Alors essayons d'y aller par étape. On va donc tenter de montrer dans un premier temps la première implication.

Qu'est-ce que cela signifie que Y admet un antécédent par F dans l'ensemble des partie de R? C'est surtout cela qu'il faut bien avoir assimiler comme définition.

Ensuite, essaye de regarder si on a pas démontrer quelque chose avant qui nous permettra de continuer à avancer vers la démonstration que B inclus dans Y inclus dans A U B.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Y admet un antécédent par f veut dire qu'il existe un X tel que f(X)=Y c'est bien ca?

Et je pense que pour monntrer que B inclus dans Y inclus dans AUB il faut montrer que tous les éléments de B sont dans Y et que tous ceux de Y sont dans AUB. Mais je n'y arrive pas =/

En effet, la notion d'antécédent est bien celle que tu décris même si pour être rigoureux, il faudrait tout de même dire que X est un élément de l'ensemble des partie de R pour être tout à fait correcte au niveau de la rédaction et de la rigueur.

Maintenant, la notion d'inclusion est bien comprise mais nous ne savons rien de B ni de A et encore moins de Y de façon précise en tout cas. Par conséquent, essayer de prendre un élément générique va peut-être s'avérer compliquer.

En revanche essayons comme dans tout exercice de mathématiques d'utiliser au maximum l'énoncer avant de s'embarquer dans une démonstration laborieuse. Par conséquent, ne pourrions-nous pas expliciter de façon plus agréable l'égalité F(x)=Y ? Pour justement utiliser les questions précédentes par la suite par exemple.

Bon courage!

Donc Y=f(X) équivaut à Y= (X inter A) union B = (XUB) inter (AUB)

Si je pose XUB =Y j'obtiens Y inclus dans AUB

Mais il me reste X inter B = Y ce qui me donne si X=Y B inclus dans Y.

Voila mais jene pense pas que ce soit juste =S


J'ai trouvé la dexième implication mais je bloque sur la dernière =/

On sait que Y=f(Y) comment montrer que cela implique f(X)=Y?

Merci pour votre aide!

Bonsoir,

Il n'y aurais pas une erreur dans l'expression de F(X) que tu proposes dans ton message par rapport à l'énonce que tu as mis en premier poste?

Sinon, après relecture, j'ai un petit soucis dans ce qu'on doit démontrer.

En effet, essayons d'être logique:

On a ceci comme hypothèse:

Il existe une partie X de R telle que (X U A) ∩ B = Y


Par conséquent, Y est forcément inclus dans B et non l'inverse vu qu'une intersection prend en compte qu'une partie de l'ensemble tout entier voire l'ensemble tout entier. Donc le premier membre de l'égalité étant une partie de B (car intersection avec l'ensemble B), le résultat qui est Y ne peut pas être plus gros que B.

Est-ce que tu comprends le soucis?

Donc à moins d'avoir plus d'information sur le sujet pour montrer qu'en fait B est inclus dans Y j'ai grand peur qu'on ait un petit soucis à moins qu'il me manque une hypothèse ou que l'implication que tu as donné n'a pas l'inclusion dans le bon sens ce qui est possible après tout.

Merci d'avance pour les précision et bon courage pour la suite!

Je crois que j'ai trouvé finalement =)

F(X) est bien égale à (X inter A) union B

Et il me semble bien que je vous ai donné toutes les informations.

Dans la question suivantes il faut que je trouve une condition necessaire et suffisante sur A et B pour que F soit constante puis pour que F soit surjective.

Je n'es aucune idéee sur la manière de procédé sur une question pareil =O

Merci pour votre aide!

Bonsoir,

Je n'avais donc pas la bonne fonction de départ ce qui explique l'incompréhension. Mais le principale étant que tu es pu faire la démonstration en question.

Sinon, pour trouver des condition sur A et B pour que F soit constante et bien on suppose d'abord que F est constante c'est à dire que pour toute partie X, on ait: F(X)=X

En particulier, on peut regarder les information qu'on peut avoir en prenant des valeurs particulière pour X. Quelles valeurs intéressante pourrais-tu utiliser pour démarrer?

Bon courage!

J'utilise X=A et X=B
Je trouve F(A)=A et F(B)=B

Donc pour A=B la fonction est constante.

Et pour F surjective il faut que tout image Y a un antécédent par F. Je pense qu'il faut que B soit inclu dans A d'apres la question qu'on a démontrer précédement mais je ne sais pas comment le montrer rigoureusement....

La première réponse est juste en effet. L'égalité F(A)=A donne la première inclusion et l'égalité F(B)=B donne la deuxième inclusion.

Maintenant, la surjectivité c'est en effet dire que tout image admet un antécédent. Donc a fortiori, il existe un X tel que F(X)=B et de même F(X')=A.

Maintenant, qu'avons-nous démontré à la question précédente lorqu'il existe un antécédent à une partie Y par la fonction F?

Bon courage!

On a démontré qu'il faut que B soit inclus dans Y qui doit etre inclus dans AUB. Donc il faut que QUe B inclus dans A pour que A et B admettent un antécédent non?

Il faut en effet que B soit inclus dans A vu que A admet un antécédent et d'après l'implication démontrée, c'est bien une condition nécessaire.

Bon courage pour la suite!

Mais il ne faudrait pas que je démontre tout?
Il faut encore que je dise que la condition nécessaire et suffisante pour que F soit surjective l'est aussi pour que F soit injective?

Merci pour votre aide!

On sait déjà qu'il s'agit d'une condition nécessaire vu que A et B doivent avoir des antécédents.

Maintenant, il reste à montrer que c'est une condition suffisante bien évidemment. C'est à dire qu'il faut prendre un élément de l'ensemble des partie Y et montrer qu'il admet un antécédent qu'il faut construire. Mais on suppose pour cela que B est inclus dans A bien évidemment pour montrer que la condition est suffisante.

C'est à dire qu'au niveau de la rédaction, je suppose que B inclus dans A et je dois montrer que pour tout Y dans l'ensemble des partie de R, il existe un X (qu'on doit construire !) tel que F(X)=Y.

Alors si on suppose que B inclus dans A qu'est-ce comment peut-on écrire F(X) dans un premier temps? Ensuite faudra trouver un X tel que F(X)=Y pour un Y donné.

Bon courage!

B inclus dans A inclus dans AUB dans d'apres la question precedente F(A)=A donc Y adment un antécédant tel que F(X)=Y

Bonjour,

Il y a un petit problème dans le raisonnement car comment tu arrives à conclure que pour n'importe quel Y il existe un X tel que F(x)=Y à partir de la seule hypothèse F(A)=A?

Bon courage et désolé du décalage de la réponse mais je fais ce que je peux en ce moment avec ma connexion qui ne s'améliore pas.