Lieu Géométrique.

Bonjour à tous, j'ai un très gros problème avec un exercice de Math, et je bloque complètement...
Voici l'énoncé:


Soit f la fonction définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
f(x) = x^3 / (x-1)²
Et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal (O, i, j).
1°) Etudier les variations de la fonction f
2°) Déterminer des réels a, b, c et d tels que, pour tous réel x ≠ 1 :
f(x) = ax + b + [ (cx + d) / (x – 1)² ]
En déduire la position de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x + 2.
3°) Déterminer l’abscisse du point J de la courbe C en lequel la tangente est parallèle à la droite D, puis une équation de cette tangente T.
4°) Tracer la courbe C et les droites D et T.
5°) a) A l’aide graphique, étudier, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solution de l’équation : f(x) = x + p.
b) Préciser l’ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.
6°) Lorsque la droite Δ d’équation y = x + p coupe la courbe C en deux points M et N, on note P le milieu le milieu de [MN].
On s’intéresse au lieu géométrique du point P.
a) Démontrer que les abscisses des points d’intersection M et N sont les solutions de l’équation (E) (p-2)x² + (1-2p)x + p = 0.
b) En déduire que l’abscisse du point P est :
xP = 1 + [ 3 / (2p – 4) ]
et démontrer que P appartient à la courbe C d’équation :
y = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
c) Quel est l’ensemble décrit par xP lorsque p décrit D ?
d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ≠ 1, par :
g(x) = x + 2 + [ 3 / 2(x – 1) ]
et tracer la courbe C’.
Préciser la partie de la courbe C’ décrite par le point P lorsque la droite Δ prend toutes les positions possibles.



Voici mes réponses:

1°) Pour cette question, j'ai tout d'abord calculé la dérivé de la fonction.
Je trouve f'(x) = [ x² (x² - 4x + 3) ] / [ (x-1)^4 ]
Puis, j'étudie le signe. On sait que (x-1)^4 est toujours positif, il s'annule pour la valeur x = 1 et que x²(x²-4x+3) avec x² étant aussi toujours positif donc il suffit d'étudier la fonction polynôme. On calcul le discriminant et on trouve deux solutions: x=3 et x=1.
Ainsi, on peut dresser le tableau de variation suivant :
http://www.weplug.com/images_1/6133c84fdba678f4532a2d94a7ed55c220100918050900.jpg


Mais pour le reste, je bloque complètement..
Merci d'avance pour votre aide et vos conseils!

Bonjour,

J'ai l'impression que ta dérivée est fausse et que c'est seulement cela qui pose un problème pour la suite. Lorsqu'on a un quotient un peu compliqué à dériver, on essaie de se ramener à quelque chose de simple à faire c'est à dire dériver un produit:

F(x)=x³*(1/[x-1]²)

Quelle est la dérivée de se produit?

Bon courage et excuse-moi pour le décalage de temps mais je fais ce que je peux avec ma connexion internet qui n'arrive toujours pas jusqu'à chez moi hélas. En tout cas cette exercice est très intéressant et c'est surtout les méthodes qui sont intéressantes, donc n'hésite pas à poser tes questions!