Incompréhension géométrique

Salut!
Me voici de nouveau pour un exercice assez spécial et en 2 parties : la première, c'est de la géométrie et la seconde est sur une fonction. Je bloque totalement sur la première donc, j'aurais besoin d'un petit coup de main svp.

Voici l'énoncé :


ABCD est un carré de côté 1.
C est le quart de cercle de centre A, de rayon AB contenu dans le carré.
T est un point de C distinct de B et D.
La tangente à C en T coupe le segment [DC] en M et le segment [BC] en N. On note x=DM et y=BN.

1.
a) Démontrer que :

b) Démontrer que :

c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
d) Calculer alors MN en fonction de x.

2. f est la fonction définie sur ]0 ; 1[ par f(x) = (x²+1)/(x+1)
a) Etudier les variations de f.
b) Pour quelle position du point M la longueur MN est-elle minimale?

Voici mes réponses :


1. Ici, je bloque totalement...
J'ai beau avoir la figure sous les yeux, je ne vois rien si ce n'est que cela va concerner Pythagore vu que MN est hypoténuse de MNC et qu'ici, on a MN² dans l'égalité à démontrer.
Mais à part cela, je ne vois pas de valeur pouvant m'aider...


2.

a) Je dois tout d'abord calculer f'(x) :
f' = [u'v - uv']/v²
avec

DONC :
f'(x) = [2x(x+1) - (x²+1)(1)] / (x+1)²
f'(x) = [2x² + 2x -x² -1] / (x+1)²
f'(x) = [x² + 2x -1] / (x+1)²

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



car :
Delta = b² - 4ac = 2² - 4(1*(-1)) = 4 + 4 = 8

x1 = [-b + Racine(Delta]/2a = [-2 + Racine(8)]/2
x2 = [-b - Racine(Delta)]/2a = [-2 - Racine(8)]/2

J'en déduis donc le tableau de signes suivant :



b) La position du point M serait minimale pour x sur ]-Infini ; [-2 - Racine(8)]/2[.


Voilà. Même si j'ai des doutes sur la 2.b), normalement l'étude des variations de f est bonne. Reste la partie 1 qui est incompréhensible pour moi... Un peu d'aide me serait donc grandement utile.
Merci d'avance.

Bonsoir,

Voilà un exercice de géométrie où il faut avoir un peut d'intuition et surtout pas avoir peur de suivre ses intuitions .

Alors, on a une tangente (MN) à C au point T avec C cercle de centre A et de rayon [AB] inclue dans le carré.

A partir, de là tu écris:

Citation :

MN est hypoténuse de MNC

Et MNC est un triangle rectangle en C. Donc allons-y, allons-y après tout, au moins au brouillon. Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Je reviendrai sur la partie 2) par la suite car il s'agit en effet de la partie dite "d'analyse" car le but est de réussir à mettre ne équation le problème:

"Nous cherchons à trouver la valeur de x pour que MN soit de longueur minimale" (c'est l'unique but de la question).

Pour celà, il faut trouver une équation de la distance MN puis après dans la 2ème partie, nous allons étudier cette fonction et trouver son minimum à partir de son tableau de variation.


Mais d'abord la première partie .

Bon courage!

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique...
Par contre ici, je sèche...

Bonsoir,

Pour la première question c'est tout à fait juste donc .

Maintenant pour la suivante:

Citation :

b) MN = MT + TN --> Logique...
Par contre ici, je sèche...

T appartient à [MN] donc MN= MT + TN. Jusque là tout va bien .

Maintenant, la logique voudrait qu'on trouve MT=x et TN=y mais comment faire?

Et bien la seul chose qu'on sait, c'est la tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon du cercle passant par le point de tangence au cercle. Ici le point tangent c'est T et le centre du cercle c'est A.

Donc par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).

Tu ne connaîtrais pas un moyen de déterminer TM² et TN² à partir de ces considération là?

Bon courage!

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Pourquoi on devrait trouver MT = NT = y [MT = NT j'avais compris mais pourquoi = y?]
Je vois pas trop là désolé..

Bonjour,

Vitesse et précipitation de ma part:

Citation :

Maintenant, la logique voudrait qu'on trouve MT=y et TN=y mais comment faire?

Cette phrase est fausse bien entendu. On va trouver MT=x et TN=y sinon nous n'aurions pas MT+NT= x+y. Un bel exemple de l'utilité de la relecture d'une réponse avec mes excuses donc.

JE te laisse reprendre mes commentaire ci-dessus avec la correction de mon erreur.

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
On trace la droite (AT) passant par A, T et C.
On obtient donc les deux triangles rectangles TNC et TMC

Dans le triangle TNC, NC est l'hypoténuse et vaut y.
Donc, d'après le théorème de Pythagore :
NC² = TC² + TN²
y² = TC² + TN²


Dans le triangle TMC, MC est l'hypoténuse et vaut ici x.
Donc, comme ci-dessus, j'emploie le théorème de Pythagore :
MC² = TM² + TC²
x² = TM² + TC²


On obtient donc 2 équations :

x² = TM² + TC²
y² = TC² + TN²

On a TC dans des les 2 équations --> On va donc le chercher pour ainsi déduire les autres longueurs!

TC² = x² - TM²
TC² = y² - TN²

DONC :

Racine(TC²) = Racine[ x² - TM²]
Racine(TC²) = Racine [y² - TN²]

DONC :

TC = x - TM
TC = y - TN

Et là...

Attention à ne pas prendre un T particulier sur la figure car T est quelconque. Donc la la droite (AT) ne passe pas forcément par Cce qui implique:

Il n'y a aucune raison que: TNC et TMC soit rectangle.

Par contre, nous savons cela:

Citation :

Donc par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).

Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

A partir de là, il ne nous reste plus qu'à se lancer dans les calculs de MT et de TN.

Bon courage!

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
On trace la droite (AT) passant par A, T et C.
On obtient donc les deux triangles rectangles TNC et TMC
Donc par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1 mais, il manque AM...

Citation :

On trace la droite (AT) passant par A, T et C.
On obtient donc les deux triangles rectangles TNC et TMC

Ceci est faux comme dit ci-dessus .

Sinon,

Citation :

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1 mais, il manque AM...

Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1

Donc TM²= AM² - 1

Maintenant, en effet, il nous manque la valeur de AM². Mais que peut-on dire du triangle AMD?

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x!!!

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN
Donc MN = x + y
Donc MN² = x² + y²
Ce qui signifierait donc que -2x -2y +2 s'annuleraient dans la première équation.

Bonjour,


Alors on va s'en sortir à première vu de tout ses calculs et ses raisonnement (la géométrie c'est plus simple car plus visuelle mais lorsqu'il faut exprimer un problème géométrique de façon mathématique, c'est tout de suite plus alambiqué car il y a des hypothèses partout ).

Citation :

TM² = x²
DONC TM = x!!!

Ne pas oublier de préciser que TM est positif ou nul car quand on prend la racine carrée d'un nombre il y a 2 solutions (une positive et une négative). Même remarque pour TN.

Pour la c), tu as compris le raisonnement, il s'agit d'utiliser nos deux égalités. Je me dis que ça va aller vite et paf l'erreur fatale:

Citation :

Donc MN = x + y
Donc MN² = x² + y²

Heureusement que je ne suis pas cardiaque . Depuis quand (a+b)² = a² + b² ??? Dès que cette erreur sera corrigée tu vas pouvoir exprimer y en fonction de x sans trop de soucis. Tu vas d'ailleurs retrouver une fonction qui ne t'es pas inconnue .

Bon courage pour la suite!

Je me disais bien que ça semblait foireux ce truc

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN²?

C'est tout à fait ça!

On a:
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

Donc on a l'égaltié entre les deux expressions ce qui va nous donner ce qu'on cherche. En exprimant, y en fonction de x, tu vas voir apparaître la fonction F(x) définie dans la partie 2) ce qui est logique vu que la partie 2) est une étude analytique de notre problème pour trouver un minimum alors que la partie 1) est justement le moyen d'obtenir cette fonction à partir des données du problème.

Je me disais bien que ça semblait foireux ce truc

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
y² - 2x - 2y + 2 = x² - x² + 2xy + y²
y² - 2x - 2y + 2 = 2xy + y²
y² - 2y + 2 = 2xy + 2x + y²
y² - y² - 2y + 2 = 2xy + 2x
-2y + 2 = 2xy + 2x
-2y = 2xy + 2x + 2
y = [2xy + 2x + 2]/-2
Après, je peux factoriser par 2 mais, je ne trouverais pas f(x) donné dans le 2..
Dois y avoir une erreur quelque part...

Il n'y a pas d'erreur dans ton calcul .

Le but est d'exprimer y en fonction de x c'est à dire d'arriver à y=F(x). Et pour celà, il faut isoler y ce que tu ne fais pas vu que tu laisse un y à droite à la fin .

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
y² - 2x - 2y + 2 = x² - x² + 2xy + y²
y² - 2x - 2y + 2 = 2xy + y²
y² - 2y + 2 = 2xy + 2x + y²
y² - y² - 2y + 2 = 2xy + 2x
-2y + 2 = 2xy + 2x
-2y = 2xy + 2x + 2
-2y = 2 * x * y + 2x + 2
-2y/y = 2x + 2x + 2
-2y/y = 4x + 2
Après, y/y = 1 donc, je n'aurais plus de y..

On ne peut diviser que si on a mis en facteur petit malin .

ET si tu résolvais comme d'habitude ton équation c'est à dire que tu met tout ce qui dépend de y à gauche et le reste à droite. Tu factorises par y et puis il ne restera plus qu'à conclure.

Un peu de méthodologie pour isoler des variables que diable .

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
x² + y² - 2x - 2y +2 -y² -2xy = x²
y² - 2y - y² - 2xy = x² -x² + 2x -2
-2y - 2xy = 2x -2
y(-2-2x) = 2x -2
y = (2x -2) / (-2 -2x)
y = (x-1) / (-1-x)

Et voilà!

d) Euh... j'ai exprimé y en fonction de x et là on me demande MN en fonction de x...
Je dois reprendre une des 2 expressions de MN² mais après, je ne comprends pas..

Ok pour y en fonction de x.

Maintenant, reprend l'expression de MN la plus simple que nous ayons et il reste juste à remplacer y par sa valeur tout simplement poru retrouver notre fameuse fonction F (et enfin faire le lien avec la partie 2 que nous allons aborder par la suite).

Bon courage!

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
x² + y² - 2x - 2y +2 -y² -2xy = x²
y² - 2y - y² - 2xy = x² -x² + 2x -2
-2y - 2xy = 2x -2
y(-2-2x) = 2x -2
y = (2x -2) / (-2 -2x)
y = (x-1) / (-1-x)


d) On a : MN² = x² + 2xy + y²
avec : y = (x-1) / (-1-x)

DONC :

MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] + [(x-1) / (-1-x)]²
MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] + [(x-1) / (-1-x)]*[(x-1) / (-1-x)]
MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] +[(x² - 2x + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = x² + [(-2x³ + 2x) / (1 + 2x + x²)] + [(x² - 2x + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = x² + [(-2x³ + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = (-2x⁵ + x⁴ + 2x³ + 2x²
MN = Racine[(-2x⁵ + x⁴ + 2x³ + 2x²)]
EUh...

Citation :

d) On a : MN² = x² + 2xy + y²
avec : y = (x-1) / (-1-x)

DONC :

MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] + [(x-1) / (-1-x)]²
MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] + [(x-1) / (-1-x)]*[(x-1) / (-1-x)]
MN² = x² + 2x[(x-1) / (-1-x)] +[(x² - 2x + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = x² + [(-2x3 + 2x) / (1 + 2x + x²)] + [(x² - 2x + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = x² + [(-2x3 + 1) / (1 + 2x + x²)]
MN² = (-2x5 + x4 + 2x3 + 2x²
MN = Racine[(-2x5 + x4 + 2x3 + 2x²)]
EUh...

Je confirme oui "Heu....", tu n'as pas une expression toute simple de MN et non de MN² ?

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
x² + y² - 2x - 2y +2 -y² -2xy = x²
y² - 2y - y² - 2xy = x² -x² + 2x -2
-2y - 2xy = 2x -2
y(-2-2x) = 2x -2
y = (2x -2) / (-2 -2x)
y = (x-1) / (-1-x)


d) On a : MN² = x² + 2xy + y²
avec : y = (x-1) / (-1-x)

DONC :

MN = x + y
MN = x + [(x-1) / (-1-x)]
MN = -x-x² + x- 1 / (-1 - x)
MN = -x² - 1 / (-1 -x)
Si on retire tous les - on retrouve la même expression que dans le 2.

[Dis moi que ma partie 2 est bonne stp c'est pour demain XD]

alors le d) est ok!

Passons à la 2) . La dérivée est bonne, le signe est bon mais.... le tableau de signe et le tableau de variation est faux car ..... on a définie la fonction sur ]0 ; 1[ !!! Pourquoi s'embêter à faire un tableau complet !!

Enfin pour la dernière question, il suffit de repérer le minimum dans le tableau de variation lorsque x est compris en 0 et 1 tout simplement.

Je te laisse refaire ton tableau de variation sur ]0;1[ (et à titre d'information pour l'étude de fonction sur R, il te manquait la valeur interdite x=-1 car diviser par 0 n'était pas possible ). Et puis conclure ton exercice.

Je te conseille de regarde à peu près où se situerai le point T lorsque MN est minimal, c'est intéressant à observer et c'est un peu le but de cette exercice aussi .


Bon courage et @bientôt!

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
x² + y² - 2x - 2y +2 -y² -2xy = x²
y² - 2y - y² - 2xy = x² -x² + 2x -2
-2y - 2xy = 2x -2
y(-2-2x) = 2x -2
y = (2x -2) / (-2 -2x)
y = (x-1) / (-1-x)


d) On a : MN² = x² + 2xy + y²
avec : y = (x-1) / (-1-x)

DONC :

MN = x + y
MN = x + [(x-1) / (-1-x)]
MN = -x-x² + x- 1 / (-1 - x)
MN = -x² - 1 / (-1 -x)
Si on retire tous les - on retrouve la même expression que dans le 2.


2.

a) Je dois tout d'abord calculer f'(x) :
f' = [u'v - uv']/v²
avec

DONC :
f'(x) = [2x(x+1) - (x²+1)(1)] / (x+1)²
f'(x) = [2x² + 2x -x² -1] / (x+1)²
f'(x) = [x² + 2x -1] / (x+1)²

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



J'en déduis donc le tableau de variations suivant :



b) Comment le voir alors qu'on a 1 pour x=0 et x = 1?