Moyenne arithmético-géométrique

Bonjour tout le monde,

Cela fait plus d'une semaine que je suis sur mon DM de maths et je m'acharne dessus sans arrêt sans y arriver. C'est pourquoi j'aimerai beaucoup que vous puissiez me donner quelques indications si c'est possible bien sur afin de me débloquer !

Voici l'énoncé :

Soit a et b deux réels positifs. On définit alors les deux suites récurrentes par :

- a(0)= a et b(0)= b

- a(n+1) = [ a(n) + b(n) ] / 2 et b(n+1) = √[a(n)*b(n)]

J'ai terminée la première partie qui consiste à montrer que les suites sont adjacentes mais je bloque complètement pour la partie 2 ! Voici l'énoncé :

On vient d'établir que pour tout couple (a,b) de réels positifs, les deux suites (an) et (bn) convergent vers la même limite.
On note L(a,b) leur limite commune appelée moyenne arithmético-géométrique. Cherchons quelques propriétés de L(a,b).

1 - Calculer L(a,0) et L(0,b, j'ai réussi cette question.

2 - Montrer que L(a,b) = L(b,a) : je ne vois vraiment pas comment je peux le montrer

3 - Soit c un réel positif. Montrer que L(ca,cb) = cL(a,b).

4 - Prouver que √(a*b) ≤ L(a,b) ≤ (a+b)/2

5 - Déterminer L(1,1). En déduire la valeur de L(a,a)

Je suis complètement perdue à partir de la question 2 je n'y comprends plus rien du tout...

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour et bienvenue parmi nous !

Ton exercice est un classique mais d'un très bon niveau (on le retrouve souvent en oral de prépas pour tester les élèves sur leur cours de terminale). C'est donc un très bon exercice d'entraînement t de bilan sur la notion de suite adjacente à paramètre (a et b qui sont les initialisations respectives des deux suites).

Donc le début de la deuxième partie te propose d'étudier la limite des deux suites (qui est la même vu que les suites sont adjacentes) en fonction des initialisation des deux suites c'est à dire a et b. Car en effet, la limite dépend de là où on démarre la suite. Ainsi, on pose formellement que la limite est une fonction L qui dépend de deux variables (qui sont des paramètres à la base) a et b.

On note donc L(a,b) cette fonction qui dépend de a et b.

La première question te permet d'effectuer un calcul direct et de savoir si tu as compris la définition de cette nouvelle fonction un peu bizarre certes mais qui se comporte vraiment comme une fonction normale.

Maintenant, pour la deuxième question, le but est de savoir si notre fonction est symétrique par rapport au deux variables c'est à dire L(a,b)=L(b,a).

Cela signifie quoi concrètement pour les deux suites ? L(a,b) c'est la limite pour a(0)=a et b(0)=b. Et L(b,a) cela représente quoi ? Du coup, est-ce que la limite est la même dans les deux cas ? La réponse est oui et on cherche à savoir pourquoi.

Ensuite, la question suivante nous sert à montrer que la fonction est linéaire sur les deux variables c'est à dire que si on multiplie les deux valeurs initiales par un nombre c>0 (le cas 0 est simple à montrer) cela ne change rien à la limite finale sauf qu'elle est multipliée elle-aussi par c. Pourquoi ?

En espérant que cela soit plus claire ainsi et n'hésite pas à poser tes questions!

Bon courage!

Merci beaucoup ! J'ai finalement réussi à finir l'exercice seule et j'ai même eu 17 !