Incompréhension géométrique

Et alors au niveau de ton dableau de signe, il n'y a pas une racine du polynôme qui est comprise entre 0 et 1 par un hasard total? Ce qui nous permettrait d'avoir une fonction décroissante puis croissante c'est à dire d'avoir notre fameux minimum que nous cherchons .

D'ailleurs tu trouvais pa celà bizarre de trouver les mêmes valeur en 0 et en 1 alors que ton tableau de signe allait te donner une fonction croissante sur ]0,1[???? Attention à la cohérence des résultats.

1.
a) MN est hypoténuse de MNC,
Et MNC est un triangle rectangle en C.

On a la figure suivante :

Citation :

Que nous donne le théorème de Pythagore? Quelle mesure connaissons-nous?

Théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse au carré est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
Dans le cas présent, dans le triangle MNC :


Nous connaissons ici la valeur de DM et de BN :


Avec ces 2 valeurs, il nous est possible de déterminer la longueur NC et la longueur MC :
--> Le carré ABCD est de côté 1 DONC :
BC = BN + NC = 1
BC = NC + y = 1
NC = 1-y

DC = DM + MC = 1
DC = x + MC = 1
MC = 1 - x

A partir de ces égalités, il nous est possible de mettre en place le théorème de Pythagore :

MN² = MC² + NC²
MN² = (1-x)² + (1-y)²
MN² = (1-x)(1-x) + (1-y)(1-y)
MN² = [1 -x -x +x²] + [1 -y -y +y²]
MN² = [x² -2x +1] + [y² - 2y +1^]
MN² = x² + y² - 2x -2y + 2
--> Soit : l'égalité demandée!
[En fait c'était facile... Comment ai-je pu laisser passer ça...]


b) MN = MT + TN --> Logique
Par définition de la tangente [MN], on sait que (AT) est perpendiculaire à (MN) c'est à dire que (AT) perpendiculaire à (TN) et à (MT).
Donc les triangle ATM et ATN sont quant à eux rectangle en T.

Dans le triangle ATM, on sait que AT = 1 car le cercle C a pour rayon 1.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AM² = AT² + TM²
Or AT=1
Donc TM²= AM² - 1
--> Il nous manque AM....

On travaille désormais dans le triangle ADM qui est rectangle en D :
D'après le théorème de Pythagore :
AM² = AD² + DM²
AM² = 1² + x²
AM² = 1 + x²
On a donc notre valeur de AM²!

Je reprends donc l'équation précédente pour trouver TM :
TM²= AM² - 1
TM² = 1 + x² -1
TM² = x²
DONC TM = x avec TM positif ou nul.

Maintenant, j'applique le même raisonnement mais, pour trouver cette fois-ci TN :

Dans le triangle ATN :
AN² = TN² = AT² d'après le théorème de Pythagore avec AT = 1 car T situé sur le cercle C et de centre A et de rayon 1 :
AN² = TN² + 1²
AN² = TN² + 1
TN² = AN² - 1
--> Il manque TN²...

Je vais donc travailler dans le triangle ABN rectangle en B.
D'après le théorème de Pythagore :
AN² = AB² + BN²
AN² = 1² + y²
AN² = 1 + y²

Je reprends donc la précédente équation et j' incorpore la valeur de AN² trouvée :
TN² = AN² - 1
TN² = 1 + y² - 1
TN² = y²
TN = y avec TN positif ou nul.

Donc : TM + TN = x + y!


c) A l'aide de a) et b), exprimer y en fonction de x.
En a), on a vu que :

En b), on a vu que :

Or, MT + TN = MN = x + y
Je vais tenter de mettre cette expression de MN au carré :
MN² = (x+y)(x+y)
MN² = x² + xy + xy + y²
MN² = x² + 2xy + y² --> Forme "a² + 2ab + b²"
Ensuite, là je dois comparer les deux expressions de MN² :
MN² = x² + 2xy + y²
MN² = x² + y² -2x -2y +2

DONC :

x² + y² -2x -2y +2 = x² + 2xy + y²
x² + y² - 2x - 2y +2 -y² -2xy = x²
y² - 2y - y² - 2xy = x² -x² + 2x -2
-2y - 2xy = 2x -2
y(-2-2x) = 2x -2
y = (2x -2) / (-2 -2x)
y = (x-1) / (-1-x)


d) On a : MN² = x² + 2xy + y²
avec : y = (x-1) / (-1-x)

DONC :

MN = x + y
MN = x + [(x-1) / (-1-x)]
MN = -x-x² + x- 1 / (-1 - x)
MN = -x² - 1 / (-1 -x)
Si on retire tous les - on retrouve la même expression que dans le 2.


2.

a) Je dois tout d'abord calculer f'(x) :
f' = [u'v - uv']/v²
avec

DONC :
f'(x) = [2x(x+1) - (x²+1)(1)] / (x+1)²
f'(x) = [2x² + 2x -x² -1] / (x+1)²
f'(x) = [x² + 2x -1] / (x+1)²

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :


[J'ai calculé les 2 racines]

J'en déduis donc le tableau de variations suivant :



b) Le minimum est 0.82 sur ]0 ; 1[

C'est tout à fait juste !!

Le chiffre exacte du minimum est 2*Racine(2)-2 (sauf erreur) et il est atteint en x= -1+Racine(2) (car Racine(8)=2*Racine(2) ).

Ceci conclut donc cette exercice.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Merci beaucoup!!!
En fait, yavais que la partie géométrique qui demandait plus de "feeling" .
En tout cas merci pour ton aide c'est super sympa!

Pour la partie géométrie, c'est souvent le même cadre pour avancer:

"Qu'est-ce que je veux?"

"Qu'est-ce que j'ai?"

"Comment aller de ce que j'ai à ce que je veux?"

Après, il ne faut pas avoir peur de tenter, faire un brouillon sert à cela après tout. Il faut tenter même si une piste ne semble pas abouti peut-être qu'en l'écrivant et bien on va voir qu'elle est bonne en fait. Mais c'est sur qu'il faut avancer et pour celà, il faut utiliser nos données et les mettre en relation par rapport à ce qu'on connaît comme théorème ou propriété pour arriver à ce qu'on cherche.

C'est un peu comme un exercice de conjecture, il faut faire des testes pour voir ce que va bien marcher. Même si ne géométrie, on finit avec le temps et à force d'en faire par voir les astuces se profiler les unes devant les autres.

Bon courage!!!

Oui c'est vrai le plus dur étant de penser à ce qui servira de bonne solution