Systeme

Bonjour, comment peut on résoudre le système x+y+z=1 et x+ay+bz=c et x+a^2(y)+b^2(z)=c2 d'inconnues x et y et z ? a,b,c sont reels et distincts deux a deux. Merci !

Bonjour,

C'est un système un peu rude à résoudre pour des 1ère à mon goût mais c'est tout à fait au programme en tout cas. Il faut y aller doucement et par étape comme pour une système de deux équations à deux inconnues. En tout cas dans l'esprit cela revient à cherche l'intersection de trois surfaces dans l'espace alors que le système de deux équations à deux inconnues revenait à chercher l'intersection de deux courbes dans le plan.

On a: pour a, b et c trois réels distinct deux à deux (on regardera plus tard pourquoi il y a cette hypothèse d'ailleurs car elle a une utilité)
{ x + y + z = 1 (qui est l'équation de la sphère de centre 0 et de rayon 1 d'ailleurs)
{ x + a*y + b*z = c
{ x + a²*y + b²*z = c²

Donc on va isoler dans la première équation l'une des inconnues par exemple y et dans la deuxième on va isoler x par exemple.

Est-ce que la démarche est plus claire ainsi? On travaille donc par substitution lorsqu'on ne sait pas rtop comment avancer c'est le meilleur moyen de pouvoir avoir quelques idées pour démarrer les calculs.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonjour,

D'accord ! Cette démarche me paraît simple pour démarrer, je me sens rassuré en employant ce type de méthode.

Alors si je suis tes instructions le système proposé est équivalent à :
{y=1-x-z
{x=c-ay-bz
{x+a²y+b²z=c².

Est ce correct ainsi ?
Merci !

Bonsoir,

C'est tout à fait juste en effet.

Maintenant, vu que nous sommes partis sur une démarche par substitution, il va falloir l'utiliser. En effet, dans la deuxième équation, nous pouvons remplacer la valeur de y par sa valeur en fonction de x et de z. Ainsi, en manipulant un peu cette nouvelle deuxième équation, nous pouvons exprimer x seulement en fonction de z (attention à faire attention lorsqu'on effectue des division pour savoir si nous n'effectuons pas une division par 0).

Ensuite, dans la première équation, il nous suffira de remplacer la nouvelle expression de x et ainsi, nous auront exprimer x et y en fonction seulement de z et des paramètres initiaux. Et ceci va nous permettre de conclure en utilisant la dernière équation.

Est-ce que la démarche est claire? C'est vraiment le même principe que pour un système de deux équations à deux inconnues sauf qu'ici, il faut jongler avec une équation et une inconnue supplémentaire.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonsoir, c'est très clair ainsi. Si je prends la deuxième équation on a : x=c-a(1-x-z)-bz soit x=c-a+ax+az-bz=c-a+ax+z(a-b)

Fais-toi confiance et va jusqu'au bout de la résolution maintenant. Si la démarche est comprise, il n'y a pas de raison d'avoir des erreurs.

N'oublie pas que le système à trois équations et par conséquent, lorsqu'on effectue des changements sur l'une d'elle cela ne doit pas empêcher de recopier les deux autres équations pour garder la cohérence de nos écrits et surtout la rigueur de notre raisonnement.

Bon courage!

Bonjour, je ne vois pas comment poursuivre la résolution, en utilisant des combinaisons lineaires, je comprendrai mieux...

bonjour,

La substitution est pourtant plus simple à effectuer car elle est mécanique par rapport à la combinaison qui demande plus de réflexion pour pouvoir enlever une inconnues.

Mais soit. Considère par exemple seulement les deux premières équations et essaie d'exprimer x et y en fonction de z seulement.

Bon courage!

Bonjour,

alors on a :
x+y=1-z
et x+ay=c-bz

Mais si je fais (2)-(1) j'élimine x non ?

Bonsoir,

En effet, cela permettra donc d'exprimer y en fonction de z et des paramètres de l'exercice. Attention, lorsque tu vas isoler z d'ailleurs, tu risques de devoir justifier que tu ne divises pas par 0 ou tout du moins d'exclure une valeur pour un des paramètre.

Ensuite,i l ne te restera plus qu'à injecter la nouvelle valeur de y en fonction de z dans l'une des deux équations pour avoir accès à l'expression de x en fonction de z et des paramètres de l'exercice.

Bon courage!

En faisant (2) en (1) j'obtiens :
y(a-1)+z(b-1)=c-1
Je peux isoler y
y(a-1)=c-1-z(b-1)
Si a est différent de 1
y=(c-1-z(b-1))/a-1
non ?

Bonsoir,

En effet, c'est bon ainsi.

On a donc comme supposition que a est différent de 1 pour le moment. Tu as donc exprimé y en fonction de z et des autres paramètres.

Maintenant, en injectant cette nouvelle valeur pour y dans l'autre équation, tu peux exprimer x en fonction de z et des autres paramètres.

Bon courage!

Dans n'importe quelle autre équation du système?

En fait, lorsque tu résouds un système il faut que tu es toujours le même nombre d'équation à chaque étape. Ainsi, tu avais mis ceci:

{x+y=1-z
{x+a*y=c-b*z
{

Mais, il manquait une équation finale qu'il faut toujours écrire même si pour l'instant, on n'y a pas encore touchée.

Ensuite, tu as manipulé les deux premières équations en faisant la deuxième moins la première ce qui donne par exemple:

{y=(c-1-z(b-1))/(a-1)
{x+y=1-z
{

Ainsi, j'ai toujours trois équations et du coup ce que je te proposais devient plus claire je pense.

Bon courage!