Trouver l'air d'un triangle avec le théorème d'Al-Kashi

Bonsoir,

Alors, j'me permet de créer un topic sur ce forum car je bloque sur un petit problème.

Voici l'énoncé :

"Le problème est de déterminer la surface d'un lac entouré par des terrains carrés de 370, 116 et 74 hectares. Rappel : 1 ha=1 hm²"

J'ai réproduit la figure afin d'y voir plus clair :



Je rappelle que les terrains autour du lac sont, en principe , des carrés.

Ayant les aires des carrés je peut en déduire la longueur de leur côté, par conséquent, la longueur des côté du triangle. J'ai donc un côté de V370 Hm, un de V116 Hm et un de V74 Hm ( "V" = racine carré)

Pour pouvoir déterminé l'air du triangle je dois utiliser cette formule : 1/2 * b * c * sin Â.

Or, je ne connais pas l'angle Â, donc je ne peut pas connaitre sin Â.

J'utilise donc cette formule, afin de déterminer l'angle  grace au cosinus :

a² = b² + c² - 2*b*c*cos Â
(V370)² = (V116)² + (V74)² - 2*V116*V74*cos Â
370 = 116 + 74 - 2*V8584*cos Â
Donc, cos  = (370)/(190-4*V2146)
Et là je trouve cos  = 78,7 .. Et c'est impossible

J'espère ne pas faire fausse route depuis le début

Bonsoir et bienvenu parmi nous!

Légère erreur de ta part à la fin de ton calcul. En effet, il n'y a que "2*b*c" qui est multiplié par "Cos(Â)".

Donc ta résolution d'équation est en fait erronée lorsque tu effectues la division car le facteur que tu considère n'est pas le bon.

Pose x=Cos(Â), ton erreur devrait te sauter au yeux je pense sinon n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Sinon, je te conseille aussi, d'élever ton cosinus au carré pour ne plus avoir de racine carré cela simplifiera les choses lorsque l'isolement du cosinus sera juste.

Bon courage!

Rah oui, mince, erreur bête

J'ai rajouté les notations sur la figure :




Donc je reprend :

a² = b² + c² - 2*b*c*cos Â
(V370)² = (V116)² + (V74)² - 2*V116*V74*cos Â
370 = 116 + 74 - 2*V116*74*cos Â
370 = 190 - 4*V2146*cos Â
Ce qui me donne alors cos  = (370-190)/(-4*V2156) = -0,97
L'angle  serait donc de 165° .. Ce qui me parait déjà plus plausible


Il me reste donc à calculer la surface du triangle ABC :

S = 1/2*b*c*sin Â
S = 0,5*V116*V74*sin 165
S = 12 Ha

Ai-je bon ? (drôle de question )

Dommage le 116+74 était bien calculé dans le premier message et là, il y a une légère erreur de calcul due à l'heure tardive sans aucun doute.

Sinon, je te conseille après tout de ne pas calculer  nous n'en avons pas besoin après tout et cela te permettra de garder une valeur exact pour le Sinus à l'adie de racines carrées.

Bon courage pour la suite, la démarche étant exact, il n'y a pas de raison que cela n'aboutisse pas.

Arf' quelle honte c'est édité.
Mais au final cos  est toujours égale à -0,97.

En revanche je ne vois pas comment appliquer la formule 1/2*b*c*sin  sans calculer l'angle  .. Pourriez-vous m'éclairer ?

Bonsoir,

En fait, connaissant le cosinus, tu peux déduire directement le sinus grâce à la formule fondamentale:

Pour toutes les valeurs réels x, Cos²(x)+Sin²(x) = 1

Ainsi, Sin²(Â)=1 - Cos²(Â)

Je te laisse continuer à partir de cela, cela devrait le faire.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si besoin!