Relations d'Al-Kashi & formule des sinus

J'ai un petit soucis avec un exercice, et j'aurais besoin de votre aide..
Voici l'énoncé :



Soit ABC un triangle. On utilise les notations du théorème d'Al-Kashi.

1°) Démontrer que l'aire S de ABC peut s'écrire : S = 1/2bc sinA
2°) Déterminer deux autres ralations analogiques à celle du 1°, et établir la "formule de sinus" : a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/2S.
3°) a) On donne BC = 1 = 6, B = 45° et C = 75°
Déterminer la valeur exacte de b, puis celle de c, en utilisant a² = b² + c² - 2bc cosA.
b) On donne c = 10,5, b = 12 et C = 60°
Résoudre dans R l'équation d'inconnue a.
c² = a² + b² - 2ab cosC
Combien de triangles obtient-on ?
Les triangles obtenus sont-ils isométriques ?


Merci d'avance..

Bonsoir,

Comme quoi, nous en parlions, il n'y a pas si longtemps que cela des formules d'aire et la formule des Sinus .

Du coup, comment faire la première question, si tu as regardé la démarche que je t'ai proposée la dernière fois?

Bon courage!

Voici la réponse que je propose :

1°) On sait que S = (base*hauteur)/2.
On trace la hauteur H issue de C. L'air du triangle est donc égale à S = (AB*CH)/2
Or CH = AC sin  = b sin  et AB = c
d'où S = (1/2)bc*sinÂ


Ainsi, pour la 2°), je reprend la même démarche :

On trace la hauteur G issue de A. L'air du triangle est donc égale à S = (BC*AG)/2
Or AG = BA sin B = c sin B et BC = a
d'où S = (1/2)ca*sinB.
De même, on trace la hauteur J issue de B. L'air du triangle est donc égale à S = (AC*BJ)/2
Or BJ = CB sin C = a sin C et CA = b
d'où S = (1/2)ab*sinC
Ainsi, on peut écrire que a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/2S.


Qu'en pensez vous ?

Excellent !!!!

rien à redire en tout cas tout est justifié pour le coup.

Le but était d'être méthodique et de revenir vraiment à la base. C'est ce qu'on fait souvent en mathématiques en fait. En effet, on revient aux définitions qui sont les seule choses justes qu'on est le droit d'utiliser sans démonstration puis après on cherche à construire au fur et à mesure le raisonnement.

Bon courage pour la suite!

Emel-ii-nee a écrit:

d'où S = (1/2)bc*sinÂ

Emel-ii-nee a écrit:

d'où S = (1/2)ca*sinB.

Emel-ii-nee a écrit:

d'où S = (1/2)ab*sinC

La seule chose qui me pose problème, c'est la démonstration.. Comment passer de ça, à ça :

Emel-ii-nee a écrit:

Ainsi, on peut écrire que a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/2S.

Je pensais que tu avais justement fait le lien.

Alors les trois façon d'écrire S sont en fait égale tu es d'accord? Vu qu'on exprime toujours la même quantité qui est la valeur de l'aire.

Nous avons donc l'égalité de quatre quantités. Que pouvons-nous écrire du coup?

Bon courage!

Aaah !

Ainsi, on peut écrire que S = 1/2 bc sin donc sin = 2S/bc d'où
a/sin = a / [2S/bc] = a * (bc/2S) = abc/2S
Donc a/sinA = b/sinB = c/sinC = abc/2S.

Bonsoir,

C'est excellent tout ça!!!

En fait, ici, il fallait bien voir que la première question te donnait la deuxième. C'est en fait souvent le cas et il faut mieux bien en prendre conscience du coup. On nous donne une quantité ici qu'on exprime de trois façons différentes mais c'est toujours la même quantité. Du coup, tout tombe tout seul .

Bon courage pour la suite!

Très bien, merci.

Ensuite, pour la question 3°), c'est une application. Mais j'aurais besoin de votre aide pour me guidé...
De plus, qu'est-ce q'un triangle isométriques ?

Merci d'avance.

Re-bonsoir,

La question 3) est en effet une application numérique. La première question te demande juste d'effecteur un calcul et la deuxième question te demande d'effectuer une résolution d'une équation d'inconnue a d'ailleurs.

L'ultime question est une question permettant d'avoir un recule par rapport à ce qu'on calcule. En effet, un triangle est isométrique à un autre si et seulement si:

on peut passer d'un triangle à un autre par une transformation qu'on appelle une isométrie.

Qu'est-ce qu'une isométrie?

Une isométrie est une transformation qui conserve les distances et les angles géométrique. C'est à dire une rotation, une translation, une symétrique axiale ou une composition de plusieurs de ces transformation.

Donc deux triangles sont isométrique s'ils peuvent être superposée en quelque sorte si on pouvait les découper.

Je pense que tu as dû voir la notion de triangles isométriques et de triangles semblables (qui conserve les angles mais pas forcément les longueurs) en seconde (vu que tu as eu l'ancien programme).

Bon courage!

Désolée, j'ai fais une erreur dans l'énoncé.
Ce n'est pas BC = 1 = 6
mais : BC = a = 6

Mais en faite, comment déterminer les valeurs de b et c, avec la formule qu'ils donnent ?

Je vais essayé quelque chose, mais je ne suis pas sûr du tout..

a) a² = b² + c² - 2bc cosÂ
d'où 6² = b² + c² - 2bc cosÂ

Mais je reste bloquée là.
A quoi pourrait servir les angles B et C dans notre calcul ?

Donc..

A = 180 - (75+45) = 60°
De plus, a/sinA = b/sinB d'où b = (a * sinB)/sinA = (6 * sin45)/sin60
Je trouve b à peu près = à 5.

Ensuite, on remplace dans a² = b² + c² - 2bc cosÂ
soit c² = a² + b² - 2ab cos C.
On a c² = 6² + 5² - 2*6*5 * cos75
Je trouve = à peu près = à 0,07. Il y a une erreur quelque part, mais je ne l'a trouve pas.. :S

Merci d'avance.

Alors en effet, b se calcul d'abord par la formules des sinus puis c se déduit par la formule d'Al-Kashi. Bon sinon, il faudrait résoudre un système en fait vu qu'il y a trois façon d'écrire la formule d'Al-Kashi, cela était possible aussi.

Maintenant où est le problème pour le calcul de c?

Citation :

a² = b² + c² - 2bc cosÂ
soit c² = a² + b² - 2ab cos C.

Le passage de la première ligne à la deuxième ligne. En effet, tu isoles c² d'après ce que tu proposes ce qui est exactement ce qu'il faut faire mais attention au signe des quantités lorsque tu changes de côtés des quantités.

Je te laisse reprendre ton calcul.

Bon courage!

D'accord, voici le travail que j'ai fais :

3°)a) A = 180 - (75+45) = 60°
De plus, a/sinA = b/sinB d'où b = (a * sinB)/sinA = (6 * √2/2)/ (√3/2)
b = (3√2) / (√3/2) = 3√2 * (2/√3) = (6√2) / (√3) = (6√6) / 3 = 2√6.
Ensuite, a² = b² + c² - 2bc cosÂ
36 = 24 + c² - 2 * 2√6 * c * cos60°
36 = 24 + c² - 4√6 * c * 1/2
36 = 24 + c² - 2√6 c
c² - 2√6c - 12 = 0
Ainsi, Delta = b² - 4ac = 72
et √Delta = 3√8.

c1 = (-b + √Delta)/2a = - (-2√6 + 3√8) / 2*1

c2 = (-b - √Delta)/2a = - (-2√6 - 3√8) / 2*1


Mais avec toutes ces racines carrées, je ne m'en sors pas et je n'arrive pas à poursuivre mon calcul..
Merci d'avance.

Tout est nickel!!

On peut encore simplifier un peu la racine du discriminant car 8 peut encore se factorise par un carré parfait. ET du coup, tu va pouvoir ne plus avoir de quotient pour les deux valeurs de c possibles.

sinon, une simple remarque attention à tes lettres. En effet, a, b et c sont déjà utilisées dans l'énoncer donc écrire Delta=b²-4ac ça manque de rigueur même si dans ta tête je vois très bien de quoi il s'agit (ax²+bx+c) mais bon essaie tout simplement de mettre la forme en écrivant directement les chiffres correspondant. C'est aussi clair et ça le sera plus pour toi en te relisant par exemple.

Bon courage!

Oui, en effet, on peut aussi écrire :
et √Delta = 3√8 = 6√2.
Soit..
c1 = - (-2√6 + 6√2) / 2*1

c2 = - (-2√6 - 6√2) / 2*1

Mais le calcule me paraît toujours aussi compliqué avec toutes ces racines carrées, et je n'arrive pas à résoudre le calcul..

On ne peut pas ajouter des racines carrées c'est un fait. Donc le résultat contiendra encore des racine carrées cela n'est pas gênant après tout.

Par contre, on peut peut-être simplifier par 2, non?

Bon courage pour la suite!

Oui mais justement, je n'y arrive pas avec toutes ces racines carrées..
Pourriez vous m'aider ou me guider ?

J'ai trouvé.
0n se retrouve avec c1 = √6 + 3√2
et c2 = √6 - 3√2. Cependant, cette valeur est à exclure car c2 < 0.
Donc c = c1 = √6 + 3√2

Il y a un problème de signe en fait. Car:

Citation :

c1 = - (-2√6 + 6√2) / 2*1

Donc c1 = (2√6 - 6√2) / 2*1

Et on conclut donc que c1 = √6 - 3√2 et c2 = √6 + 3√2.

Et c'est donc c1 qui est a exclure car c est une distance donc positive.

Conclusion?

Bon courage!

On peut en conclure que :

6² = (2√6)² + (√6 + 3√2)² - 2 * (2√6) * (√6 + 3√2) * cos60. ??

Ensuite, pour la b) ...

Emel-ii-nee a écrit:

b) On donne c = 10,5, b = 12 et C = 60°
Résoudre dans R l'équation d'inconnue a.
c² = a² + b² - 2ab cosC
Combien de triangles obtient-on ?
Les triangles obtenus sont-ils isométriques ?

c² = a² + b² - 2ab cosC
(10,5)² = a² + 12² - 2*a*12 * cos60
110,25 = a² + 144 - 24a * 1/2
110,25 = a² + 144 - 12a
a² - 12a - 33,75 = 0

Ainsi Delta = (-12)² - 4*1*(-33,75) = 144 - (-135) = 279
√Delta = 3√31 (Dites moi si on peut simplifier..)

a1 = (12 + 3√31)/2*1
a2 = (12 - 3√31)/2*1

[...]

J'attend de voir si c'est bon pour poursuivre..

Merci d'avance.

Re-Bonjour,

Ta conclusion est très bizarre car tu as écrit en gros 0=0 ce qu iest vrai mais bon, il y a peu d'intérêt à celà.

Quelle était la question a)? Quel est donc sa conclusion?

Sinon, pour la b tout est juste. 31 est un nombre premier en fait, donc ce n'est pas simplifiable.

J'ai dit une bétise que je rectifie très vite. En effet, il y a des erreurs de signes:

Citation :

110,25 = a² + 144 - 12a
a² - 12a - 33,75 = 0

Comment passes-tu de la première ligne à la deuxième ligne?

Je te laisse rectifier les calculs.

Bon courage pour conclure!

Pour la conclusion, je pourrais dire aussi que :
En utilisant a² = b² + c² - 2bc cosÂ, nous avons déterminé : b = 2√6 et c = √6 + 3√2.

Ensuite, petite erreur de calcul..

Emel-ii-nee a écrit:

110,25 = a² + 144 - 12a
a² - 12a + 33,75 = 0.

Donc du coup pour la suite ça donne..

Ainsi Delta = (-12)² - 4*1*33,75 = 144 - 135 = 9
Et √Delta = 3

a1 = (12 + 3)/2*1 = 7,5.
a2 = (12 - 3)/2*1 = 4,5.

Donc a, aurait deux solution qui sont 7,5 et 4,5 ?

Conclusion : il y a 2 triangles non isométriques qui répondent à la question.

C'est nickel du coup!!

En fait, je t'explique comment j'ai vu l'erreur de calcul à la relecture car c'est un réflexe qu'il faudrait acquérir. En effet, qu'ai-je fait? J'ai regarder vaguement le calcul pour savoir s'il était cohérent et il avait l'air cohérent donc pour moi la réponse était juste. En gros c'est impossible de voir l'erreur de signe sauf si j'avais déjà fait les calculs à la base. Mais alors comment j'ai pu m'en apercevoir? Et bien tout simplement avec la deuxième partie de la question:

"Combien y a-t-il de triangles?"

Bon là encore répondre qu'il n'y en a qu'un car l'une des deux solutions était négative, cela ne m'a pas posé de soucis. Mais en revanche:

"Ces triangles sont-ils isométriques?"

Cette question sous-entend qu'il y avait donc au moins deux solutions pour le calcul de distance vu qu'il faut au moins deux triangle pour les comparer. Et c'est là que je me suis dit qu'il devait y avoir un bug dans le calcul de solutions. C'est tout bête comme vérification mais cela permet ainsi de garder toujours en tête la cohérence d'un exercice.

Donc la conclusion ici est juste, ils ne sont pas isométrique car il n'ont pas les mêmes longueurs de côté tout simplement.

Bon courage pour la suite et s'il reste des choses en suspens n'hésite pas à poser tes questions!