exercice de probabilité à resoudre

Bonjour à tous,

j'ai un exercice à résoudre et ne sait pas comment l'abordé.



Test triangulaire

On veut savoir si les produits A et B sont perçus comme identiques par les consommateurs,ou si au moins une partie les distinguent.
Pour cela ,on propose à 30 dégustateurs pris au hasard de gouter trois produits parmi lesquels A(ou B) figure deux fois et l'autre produit une fois et de désigner celui qui leur parait différent des deux autres.

1°) On suppose que A et B sont indiscernables.
Déterminer en fonction de k (K=0,1,....,30)la probabilité qu'au moins k dégustateurs désignent par chance le bon produit.
On souhaite limiter à 5% le risque de conclure à tort que les deux produits ne sont pas indiscernables.
A partir de quelle valeur de k pourra-t-on donner cette conclusion?

2°)On suppose que,dans la population générale,25% des consommateurs distinguent effectivement les deux produits.
Monter que la probabilité qu'un dégustateur pris au hasard désigne le bon produit est égale à 0,5 "proba de succès" (il peut être compétent ou chanceux).
Quelle est alors la probabilité de détecter que les produits ne sont pas indiscernables ?

Quel moyen voyez vous pour augmenter cette probabilité tout en limitant à 5% "alpha " le risque de conclure à tort que les deux produits ne sont pas indiscernables ?


Hypothese !! comment faire???
Calcul à partir de quel valeur de k < 5% et on rejette, on doit trouver un k > 14
Calculer pour tous les k
Quand k > 14 la proba tombe en dessus de 5%

Bonsoir,

Ici encore, il s'agit d'intervalle de confiance j'ai l'impression mais je n'en mettrai pas ma main à couper pour autant. En effet, si on souhaite avoir une fiabilité avec 5% d'erreur cela revient bien à dire qu'il nous faut une fiabilité à 95% de sureté c'est à dire un intervalle de confiance à 95%.

Cependant, j'avoue mon incompétence à pouvoir conclure pour cette exercice en l'état car je n'ai aucune idée de comment partir pour ma part. Pourrais-tu expliquer d'où vient le "k>14" que tu proposes ? Cela pourra peut-être me donner une piste de recherche pour t'aider de façon compétence.

En probabilité de ce niveau là, un forum qui est très compétent sera sans doute celui des "mathématiques point net" où il y a beaucoup de professeur de faculté qui y contribue et pourront ainsi mieux t'aider à comprendre les tenant et les aboutissants de ce genre d'exercice.

Avec mes excuses de ne pouvoir aller plus loin sur cet exercice mais en revanche si tu as des idées ou autre développement voire la solution à un moment donné, cela m'intéresserait de pouvoir la lire.

Bonne continuation!

Bonsoir,

Merci beaucoup pour tes recherches, je vais continuer de chercher avec tes infos.


Hypothese

pour la première question, les produits sont indiscernables, le nombre de bonnes réponses suit une loi binomiale de paramètres 30 et 1/3.
La suite de la question nécessite de disposer d'une table cumulative de cette loi. J'utilise l'usage d'un tableur et de la fonction (pour OooCalc ou excel) loi.binomiale().
K Probabilité
0 5,2151E-06
1 8,34415E-05
2 0,000650583
3 0,003297244
4 0,012229724
5 0,035454172
6 0,083838438
7 0,166782896
8 0,286015553
9 0,431744356
10 0,584759599
11 0,723864365
12 0,833988972
13 0,910229085
14 0,956517724
15 0,981204999
16 0,992777159
17 0,997542166
18 0,999262863
19 0,999806241
20 0,99995567
21 0,999991248
22 0,999998525
23 0,999999791
24 0,999999976
25 0,999999998
26 1
27 1
28 1
29 1
30 1


Calculer pour tous les k
Calcul à partir de quel valeur de k < 5% et on rejette, on doit trouver un k > 14
Quand k > 14 la proba tombe en dessus de 5%

reste la question N°2 à resoudre.

Bonjour,

Ok! Donc d'une manière générale, on considère donc que la distribution est classique c'est à dire une loi binômiale et donc tu utilises le tableur pour connaître les valeurs de la loi pour chaque valeur de k.

Connais-tu l'expression exacte de cette loi sans utiliser le tableur ? Le but étant au cas où de retrouver des petites valeurs si tu n'as qu'une calculatrice dans les mains par exemple. Si ce n'est pas le cas, je peux te donner quelque base sur cette loi ainsi que la loi dite normale qui lui est liée.

Bon courage pour la suite!

Bonsoir,

Merci pour les explications , les probabilités se n'est pas mon truc .
je suis donc preneur pour avoir des infos complémentaire sur l'expression exacte de cette loi ainsi que la loi dite normale qui lui est liée.
Avec utilisation de la calculatrice pour les controles.

A +

Ok! Alors allons-y. Je t'avouerai que les probabilités ne sont pas non plus ma tasse de thé comme tu t'en rends compte mais bon avec l'expérience, on finit par comprendre certaines choses et en les appliquant c'est encore mieux (d'où le problème, je ne les applique plus depuis longtemps au niveau des lois, je reste sur des univers fini avec des cardinale plutôt simple style pioche dans des urnes et compagnie).

En fait, en y réfléchissant, l'expérience proposée est de type "échec" (on distingue les deux produits) ou "réussite" (on ne distingue pas les deux). Donc, nous sommes sur le même principe qu'un pile ou face sauf qu'on complique les choses vu que notre pièce à trois faces etnon deux faces. Mais somme toute, il n'y a que deux issue possible, c'est ce qu'on appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p ou p est la probabilité de la réussite.

Ici, nous avons 1 chance sur trois de réussir notre expérience (vu que nous avons trois produit et seulement 1 des trois qui n'est pas du même type que les deux autres).

Donc notre expérience de Bernoulli est de paramètre 1/3. J'espère qu'ainsi, tu comprends mieux d'où provient le 1/3 que tu as utilisé au cas où tu l'aurais utiliser sans vraiment le comprendre.

Maintenant, pourquoi une loi binômiale ?

Et bien cela provient du fait qu'on itère (on refait) un nombre de fois une épreuve de Bernoulli. A savoir qu'ici, on la fait pour 30 dégustateurs. Donc on effectue de manière indépendante (chaque dégustateur étant différent, il n'y a aucune raison d'avoir une dépendance entre-eux) 30 fois l'expérience de Bernoulli de paramètre 1/3..

Cette expérience la prise dans son ensemble (les 30 expériences de Bernoulli) suit une loi de probabilité qu'on appelle loi binomiale de paramètres 30 (les 30 expériences indépendantes) et 1/3 (la probabilité de la réussite de l'expérience de Bernoulli).

A partir de là, quelle est la probabilité que le k^ème dégustateur déssigne le bon produit ?

Et bien réfléchissons, on prend k^ème dégustateurs parmi les 30 (nombre total de dégustateur). On a donc (k parmi 30) façon de prendre faire le découpage (en effet, nous n'avons pas d'ordre de dégusation).

Ensuite, nous avons 1/3 de chance que le premier est trouver la bonne réponse, de même pour le 2ème et ainsi de suite jusqu'au k^ème. C'est à dire que nous avons exactement (1/3)*(1/3)*...*(1/3)=(1/3)^k qu'ils aient tous réussis.

Mais nous devons prendre aussi en compte que les autres dégustateurs ont pu échoué, nous avons donc 1-1/3 de chance que le 30 est échoué, de même pour le 29ème et ainsi de suite jusqu'au n-k ième dégustateur. Cela nous donne donc (2/3)^n-k

En conclusion: la probabilité que les k dégustateurs réussissent est donné par la loi de probabilité:

p(k)=(k parmi n)*(1/3)^k*(2/3)^n-k


Voilà ce que calcul ton tableur en interne. Par contre, connais-tu le nombre (k parmi n) ? C'est la façon de choisir k personnes parmi n personnes mais je peux te donner une formule permettant d'effectuer le calcul de façon explicite au cas où mais je pense que tu as déjà eu à fait à la fonction factoriel: n! et que par conséquent, tu dois connaître celam ais au cas où n'hésite pas à poser tes questions.

Bonne continuation!

Bonsoir,

Merci beaucoup pour les explications , le cours qui est très detaillé avec l'exemple qui aide à comprendre .
il me restera je pense lors d'un exerce à savoir quelle loi utiliser (student ; X2 ... ), ce n'est pas encore évident .

A+