barycentre

j'ai un meme problème qui a déjà été posté dans ce forum mais je pense que la solution proposée est fausse ( le sujet a été verrouillé donc je suis obligé de le poster une autre fois )
le problème : Soient ABCD un quadrilatère . I = A*C , J= B*D
K bary de (A,1) et (B,2) et L bary ( D,2) ( L ,1 )
M=K*L
montrer que I, J et M sont alignés
Réponse :
si on admet que M est le barycentre de {(I,α) ; (J,β)}, la deuxième relation fondamental nous donne:

Quelque soit P un point du plan, on a α*PI + β*PJ= (α+β)*PM

Vu que cette relation est valable pour tout P, nous pouvons prendre P=I, ce qui donne:

α*II + β*IJ= (α+β)*IM

Le vecteur II est le vecteur nulle. Nous avons donc: β*IJ= (α+β)*IM

Donc IJ et IM sont colinéaires ce qui implique que les trois points, I, J et M sont dont bien alignés.

La faute que je pense :
la supposition faite au premier lieu : α*PI + β*PJ= (α+β)*PM a engendré une autre écriture β*IJ= (α+β)*IM qui n'est pas encore démontré .. en fait IJ et IM sont colinéaires de faite que α*PI + β*PJ= (α+β)*PM . alors on a rien fait !! non ??

j'ai essayé de répondre mais je doute fortement de ma réponse :
K est barycentre de {(A,1) ; (B,2)}
L est barycentre de {(D,2) ; (C,1)}
pour tout point G de plan on a GA+2GB=3GK et GC+2GD = 3GL
3GK+3GL= 0 pour G=M
donc GC+2GD+GA+2GB =0 SI G=M
ce qui signifie MA+MC+2MB+2MD = 0
MI+2MJ=0 signifie M bary(I,1) (J,2)

Bonsoir,

Ta réponse est tout à fait juste.

Ce que je proposais était une démarche menant à la résolution et non la solution:

Citation :

si on admet que M est le barycentre de {(I,α) ; (J,β)}

Encore fallait-il trouver α et β et c'est ce que tu viens de faire en fait vu que tu viens de montrer que M est le barycentre de (I,1) et (J,2) comme le montre ta conclusion.

Sinon, au niveau de la rédaction, vu que tu écris que la relation est valable pour tout point G. Dès que tu l'utilise pour un point précis la relation autant écrire la relation directement avec le nouveau point pour éviter toute confusion:

Citation :

donc GC+2GD+GA+2GB =0 SI G=M

Deviendra plutôt: posons G=M, on a donc: GC+2GD+GA+2GB =0

Bonne continuation!

mercii )
j'ai un autre problème qui m'a gêné
ABC un triangle . I=A*C et D bary(A,2) ( B,-1) (C,2)
1/ montrer que D bary ( I,4) ( B,-1)
G centre de gravité de ABC ..
2/montrer que D bary(G,2)( B,-1) en déduire que I=G*D
ici j'ai pas pu démontré que D bary(G,2)( B,-1) sans passer par la déduction qui est demandée après
en fait puisque G est le centre de gravité de ABC et I=A*C on peut démontrer que G bary ( B,1) (I,2)
donc on a G bary ( B,1) (I,2)
D bary ( B , -1) (I , 4 )
I bary (A,1) (C,1)
que peut on faire alors ?

Bonsoir,

L'idée serait d'utiliser ceci:

G=bar (A,2),(B,2),(C,2)


On a: D= bar (I,4),(B,-1) et I= bar (A,1),(C,1)

Donc D= bar (A,2),(C,2),(B-1)

On injecte, le vecteur nul: 0= bar (B,2),(B,-2) pour faire apparaître G et ainsi conclure.

Bon courage!