[1ère S] Exercice Intro Produit Scalaire

Enoncé :

Soit un repère orthonormal (O ; Vecteur i ; Vecteur j) (unité graphque de 3 cm).
Dans le repère polaire (o; Vecteur i), A est un point de coordonnées polaires (r ; Têta) avec : 0 <ou égal Têta <ou égal (pi/2)
ABC est un triangle équilatéral de centre O tel que (Vecteur AB ; vecteur AC) = (pi/3)

1. Faire une figure avec Têta = (Pi/4) et, r = 2 en laissant les traits de constrution apparents.

2. (a) Donner les mesures principales des angles (OA ; OB) et, (OA ; OC).
(b) En déduire les mesures des angles (i ; OB) et (i ; OC) en fonction de Têta.
(c) Donner alors les coordonées polaires de B et C dans le repère (O; Vecteur i) en fonction de r et Têta.

3. Déterminer les coordonnées cartésiennes de A, B et C en fonction de r et Têta dans le repère (o; Vecteur i; Vecteur j).

4. Soit E le milieu du côté [AB];
(a) Exprimer le Vecteur OE en fonction du vecteur OA et du vecteur OB.
(b) En déduire l'expression du vecteur OC en fonction des vecteurs OA et OB.
(c)prouver que O est l'isobarycentre de A, B et C.

5. En déduire que :

cos Têta + cos (Têta + (2Pi/3)) + cos (Têta - (2Pi/3)) = 0

ET

sin Têta + sin (Têta + (2Pi/3)) + sin (Têta - (2pi/3)) = 0



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Voici mes résultats :

(1) Figure
(2) (a) (OA ; OB) = 2Pi /3 [2Pi] = (OA ; OC)
(b) (i ; OB ) = 5Pi / 12 [2Pi]
(i ; OC ) = 11Pi / 12
(c) Ici, r est "négligeable", on se préoccupe uniquement de Têta.

Têta B appartient à [ -Pi / 6 ; -2pi / 3 ]
Têta C appartient à [ 2Pi / 3 ; 7Pi / 6 ]

(3) A (0 ; r)
B (xb ; yb) avec : xb appartient à [ (r(Racine carrée de 3) / 2) ; r (-1 / 2) ]
ET : yb appartient à [ r(-1/2 ; (r(- Racine carrée de 3) / 2) ]


C (xc ; yc) avec : xc appartient à [ r(Racine carrée de (-1/2) ; r(Racine carrée de 3) / 2 ]
ET : yc appartient à [ r(Racine carrée de 3) / 2 ; r(-1/2) ]


Voilà mes résultats.
Désolé pour la mise en forme j'ai fait tout ce que j'ai pu.
Merci d'avance.

Bonsoir MrTheYo,

Voilà un exercice bien complet sur les angles et tout ce qui se calcule dans un repère orthonormé et polaire .

Alors, je vais commencer et un collègue finira peut-être l'entre-aide.

1) Pour la figure, je te fais confiance .

Quelques rappels de propriétés (qui servent pour la construction mais aussi pour l'exercice) vu que le triangle est équilatéral et que O est son centre, on sait que O est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle et que par conséquent, B et C se trouve sur le cercle de centre O passant par A.
De plus, la propriété sur le centre de gravité te dit que O est au 2/3 de chaque médiane en partant du sommet ce qui te permet de trouver par où doit passer le segment [BC] vu qu'on connaît AO.
Enfin, on sais qu'une médiane est aussi hauteur dans une triangle équilatérale et par conséquent, on peut conclure sur l'emplacement de B et C.

2) Petit rappel pour cette question, θ n'est plus égale à π/4 !!!!!! On travaille avec r et θ quelconque, maintenant !! (je pense que tu as vu se définir une erreur dans la question 2)b), du coup )

a) La réponse est juste en effet pour (OA ; OB) et la justification vient que l'angle au centre mesure deux fois l'angle inscrit qui intercepte le même arc (l'arc en question est l'arc AB) et du fait que le triangle est équilatéral avec (CA,CB)= π/3 [2π]

Là, tu as la justification totale pour la première partie de la question. La deuxième partie a la même justification MAIS attention au sens des angles !!!! On travaille dans un repère qui est orienté dans le sens trigonométrique.

b) Ton erreur vient du fait que tu as pris θ=π/4 alors qu'il fait laisser θ maintenant. D'ailleurs la question, te le précisait "en fonction de θ".
Pour l'angle (i,OC), je te conseille fortement d'utiliser la question précédente et donc de donner un angle négatif. Pour ma part, je n'aime pas trop travailler avec des angles supérieurs à π surtout quand l'énoncer nous propose de faire sans .


c) Alors, comme je te l'ai fait remarquer au début, B et C sont à même distance de O que A, donc la première coordonnée polaire ne change pas c'est toujours r (la justification que j'ai donnée plus haut doit être remise, sinon on va te demander d'où ça sort car celà n'est pas forcément évident, la preuve).
Maintenant, tu as calculé (recalculer) les angles (i,OB) et (i,OC) dans la question 2)b).
Or en coordonnée polaire:

B ( distance à l'origine O, angle(i,OB) )
C ( distance à l'origine O, angle (i,OC) )

Tu peux donc conclure pour cette questions.

4) Rappel de cours:

Si A à pour coordonnées polaires (r, θ)
Alors A a pour coordonnées cartésiennes (r*Cos(θ), r*Sin(θ))

Je pense qu'avec celà, tu vas pouvoir refaire cette première partie avant d'attaquer la suite.

Bon courage en tout cas et n'hésite pas à poser des questions!

@bientôt au sein du forum!

ps de mise en forme:
Les vecteurs en gras et pour Téta et Pi, un copier coller de ceux-ci suffit: θ et π. Mais c'était compréhensible ne t'inquète pas.

3) cf le rappel de cours de blagu'cuicui pour la question 4). Puisque tu as les coordonnées polaires de ces points.

4)a)en utilisant la relation de chasles pour exprimer OE de façons différentes en injectant A dans un cas et B dans l'autre tu peut trouver le résultats.

b)en utilisant la propriétés que blagu'cuicui à rappelé sur les médianes tu trouve OC = -2/3*OE, et de là tu arrive au résultats.

c)LA faire la somme des 3 vecteurs OA, OB, OC, ppour obtenir la définition vectorielle de l'isobarycentre.

5)pour cette question, il faut réutiliser la somme obtenu dans la question 4)c), puis calculer séparemment les composante selon (O,i) puis selon (O,j).

en espérant avoir répondu à tes questions.
bonne chance pour finir cette exo.

Salut!
Pour calculer l'angle (OA ; OC) , pourquoi ici, le sens de l'angle changerait-il?
La réponse serait donc (OA ; OC ) = - 2π / 3?

Sinon, pour calculer (i ; OB) , comme on sait que Têta appartient à [0 ; π/2] alors, ( i ; OB) pourrait être égal à θ?
Mais, (ça serait aussi le cas de (i ; OC)... J'ai un peu de mal..

Il ne me manque qu' à comprendre la démarche et après, avec les instructions données, la 3) ne devrait pas me poser de problème majeur.
Merci

Pour la question 4)(a) :

OE = OA + AE et OE = OB + BE

Bonjour,

Il faut que tu te souviennes que le sens de l'angle est donné par l'ordre des vecteurs c''est à dire qu'on va du premier vecteur vers le deuxième.
Donc quand on écrit (OA ; OC), l'angle est orienté de OA vers OC et là nous sommes dans le sens indirect ce qui implique donc le résultat que tu as trouver.

Alors pour calculer (i ; OB), il faut utiliser la relation de Chasles pour la angle. Ici, on connaît (i ; OA) qui est égale à θ (d'après les coordonnées polaire de A) mais on connais aussi (OA ; OB) (on vient de le calculer)
Donc le but est de faire intervenir le vecteur OA dans l'angle (i ; OB).
On écrit donc (i ; OB)= (i ; OA) + (OA ; OB)

Il ne reste plus qu'à remplacer les valeurs et tu auras ce qu'on te demande. Il ne faut pas que tu te focalise sur la donner que θ appartient à[0 ; π/2]. Cette donnée sert surtout à te dire que A est dans le première cadran de ton repère tout simplement dans un premier temps.

Dans un deuxième temps, cette donner te servira pour les coordonnée polaire de B et C car le plus souvent on prend l'angle principale c'est à dire compris entre -π et π.

Pour la 4)a), la décomposition est juste maintenant tu ajoutes le deux égalité et tu te souvient que E est le milieu de [AB] ce qui te donne des indication sur les vecteurs EA et EB.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Re.
Donc, pour le 2)(a), je peux écrire :

(OA ; OC ) différent de (OA ; OB) : Ici, bien que les 2 angles aient la même en degrés, ici, les 2 angles n'ont pas la même
valeur en radian du fait du sens , de l'orientation qui ici, est différente. Donc, (OA ; OC ) = -2Pi / 3

b) (i ; OB)= (i ; OA) + (OA ; OB) = Têta + 2 Pi/3 ??

4)a) OE = OA + EA + OB + EB = OA + OB car, EA et EB s'annulent.

C'est tout à fait juste pour la a) et la b) (n'oublie pas le deuxième angle de la b) )

Pour la 4) n'oublie qu'en additionnant les deux égalité, nous avons donc 2*OE !!

Sinon tu as bien compris le truc, c'est niquel !

Ce ne te déranges pas si là, je note tout cela de façon reformulée de manière à ce que tu me dises si cela est bon?

Pas de soucis bien au contraire.

Voici le début :

2)(a) (OA ; OB) = ?
Dans le triangle équilatéral ABC de centre O : O est l'intersection des 3 hauteurs (ici, aussi médiatrices) des 3 côtés de ce triangle.

--> Au centre, nous avons donc 3 triangles isocèlez identiques ayant tout 3 pour sommet commun O.

AOB = BOC = COA --> Angles AOB = BOC = COA

Donc : (Angles) AOB = BOC = COA = 2Pi / 3

(OA ; OB) = 2Pi / 3 [2Pi]


----

(OA ; OC ) différent de (OA ; OB) : Ici, bien que les 2 angles aient la même en degrés, ici, les 2 angles n'ont pas la même
valeur en radian du fait du sens , de l'orientation qui ici, est différente. Donc, (OA ; OC ) = -2Pi / 3




2)(b) *(i ; OB)= (i ; OA) + (OA ; OB) avec : (i ; OA ) = Têta et, (OB ; OB) = (i ; OB)= (i ; OA) + (OA ; OB) = 2 Pi/3

--> (i ; OB)= (i ; OA) + (OA ; OB) = Têta + 2 Pi/3


*(i ; OC) = (i ; OA) + (OA ; OC ) avec : (OA ; OC) = -2Pi / 3
--> (i ; OC) = (i ; OA) + (OA ; OC ) = Têta - 2 Pi /3



2)(c) B et C ont la même distance à O que A ,donc la première coordonnée polaire ne change pas (ce sera toujours r)

--> Je sais que : (i;OB) = Têta + 2 Pi/3 ET (i ; OC) = Têta - 2 Pi /3

DONC : B ( r ; Têta + 2 Pi/3 )
et C ( r ; Têta - 2 Pi/3 )

3) A a pour coordonnées polaires : (r ; θ )
--> Coordonnées cartésiennes de A (rcos(θ) ; rsin(θ))

B a pour coordonnées polaires : (r ; θ + 2 Pi/3)
--> Coordonnées cartésiennes de B (rcos(θ + 2Pi/3) ; rsin(θ + 2Pi/3))

C a pour coordonnées polaires : ( r ; θ- 2 Pi/3 )
--> Coordonnées cartésiennes de C (rcos(θ- 2 Pi/3) ; rsin (θ- 2 Pi/3))

4)(a) OE = OA + AE et OE = OB + BE

--> OA + AE + OB + BE = OE + OE = 2OE

(b) OC = OB + BC et OC = OA + AC

--> OB + BC + OA + AC = 2 OC

c) Ici, pour prouver que O est l'isobarycentre, je dois faire la somme des 3 vecteurs OA, OB, OC :

Je dois donc calculer les vecteurs OA , OB et OC :

C'est bon jusqu'ici?

Alors pour moi la rédaction est plutôt bonne jusqu'à la 4 exclue.

En effet, dans la 4) a), il faudrait que tu conclus les calculs vu que comme tu l'as dis EB=-EA, tu peux donc conclure que OE=(1/2)*(....).

Pour la 4) b), Cuicui Masqué te disais d'utiliser la relation des médianes vu qu'il s'agit d'en déduire de la question 4)a). Donc le point d'intersection des médianes est situé au 2/3 de chaque sommet.
Donc OC=(-2/3)CE
Maintenant il faut utiliser la relation de Chasles dans le vecteur CE dans le but de faire intervenir le vecteur OE.

4)c) Rappel de cours sur les barycentres:

Dire que O est l'isobarycentre du triangle ABC c'est dire que:
O est le barycentre de (A,1), (B,1), (C,1).

Et dans ce cas, on a la relation incontournable du barycentre:
OA + OB + OC = 0

La question 4)b) te permet de trouver celà (le "en déduire" n'est le plus souvent pas là pour faire jolie ).

Je pense qu'avec celà tu devrait pouvoir finir cette exercice.

Bon courage en tout cas et @bientôt au sein du forum!

4)(a) OE = OA + AE et OE = OB + BE

--> OA + AE + OB + BE = OE + OE = 2OE

Comme EB = -EA alors, OE = (1/2)(OA + OB) --> car 2OE = OA + OB

(b) (b) Je sais que : le point d'intersection des 3 médianes d'un triangle est situé au 2/3 de chaque sommet donc :
OC = (-2/3)CE --> OC = (-2/3)(CO + OE)

Comme, je sais que OE = 1/2 OA + OB ET que, CO = -OA alors :

OC = (-2/3)(-OA + 1/2 OA + OB ) = (-2/3)(-1/2 OA + OB)

Ha non, en fait c'est pas tout à fait juste ! Pourquoi tu as mis (-1/2) ??

Tu as 2*OE= OA + OB

Oups désolé j'ai pas fait attention.
(J'ai édité le post ci-dessus)

4)(c) Ici, je dois montrer que les vecteur OA + Ob + OC = 0?

Oui c'est tout à fait ça mais n'oublie pas que tu viens d'exprimer OC tu devrais pouvoir conclure tout de suite.

Mais le problème viens du calcul de OC, en effet tu écris:

OC = (-2/3)(CO + OE) et OE= (1/2)*(OA + OB)

Ça c'est juste mais dire que OC=-OA voyons !! Il ne sont pas parallèles tes vecteurs .

Non les deux relation du dessus te suffisent. En effet, tu isoles les OC a gauche puis tu fais les calculs au fur et à mesure tranquillement ça va le faire .

(c) Je sais que :

OC = (-2/3)(CO + OE) = (-2/3)(CO +(1/2)*(OA + OB))

Ensuite, il me semble ne pas avoir OA et OB donc...
Je dois les calculer avec les coordonnées cartésiennes trouvées plus tôt donc :

A a pour coordonnées polaires : (r ; Têta )
--> Coordonnées cartésiennes de A (rcos(Têta) ; rsin(Têta))

B a pour coordonnées polaires : (r ; Têta + 2 Pi/3)
--> Coordonnées cartésiennes de B (rcos(Têta + 2Pi/3) ; rsin(Têta + 2Pi/3))



DONC : OA (0-rcos(Têta) ; 0- rsin(Têta)) -->
-->OA (-rcos(Têta);-rsin(Têta))

OB (0-(rcos(Têta + 2Pi/3) ; 0 - rsin(Têta + 2Pi/3))
--> OB(-rcos(Têta + 2Pi/3) ; -rsin(Têta + 2Pi/3))

??

Les coordonnées cartésiennes c'est pour la dernière question ça.

Avant, il faut que tu exprimes OC en fonction de OA et OB. Tu n'a pas OA ni OB mais on veut qu'il soit encore là, à la fin dans l'expression de OC, donc c'est plutôt bien qu'il soient là .
On a:

OC = (-2/3)(CO + OE) = (-2/3)(CO +(1/2)*(OA + OB))

Bon et si on développait tout ça puis on sait que -CO=OC et avec celà on passe les OC présent à droite de l'autre côté et on laisse tout ce qui touche à OA et OB à droite.

Dès que tu vas avoir exprimer OC correctement, tu vas quasiment avoir fini l'exercice, donc on y va tranquille sur le calcul et ça va marcher.

(c) OC = (-2/3)(CO + OE) = (-2/3)(CO +(1/2)*(OA +( OB))
(-2/3)OC + OC = 1/2(OA + OB) car, -CO = OC

Alors c'est presque juste, fait attention au fait que c'est toute la grande parenthèse qui est multipliée par -2/3 ce qui change légèrement le coefficient de droite .

En tout cas, il ne reste plus qu'à faire les calculs pour avoir OC= .....

(c) OC = (-2/3)(CO + OE) = (-2/3)(CO +(1/2)*(OA +( OB))
(-2/3)OC + OC = (-2/3)(1/2(OA + OB)) car, -CO = OC

(-2/3)OC + OC = (-1/3)(OA + OB)

Alors voilà tout est bon maintenant .

Il ne te reste plus qu'à faire le calcul à gauche puis à mettre OC= ....

Et là c'est la satisfaction à l'état pur la question d'après tombe toute seule et celle encore après aussi quasiment .

Oups, désolé j'ai oublié de faire celui à gauche...

(1/3)OC = (-1/3)(OA + OB)

(1/3)-(1/3) = OA + OB + OC = 0

Donc, O est bien l'isobarycentre de A,B et C.

??

Tu peux même dire que OC= -OA - OB

Et en effet, tu conclus à la question suivante directement en disant que OA+ OB + OC = 0

Donc O est le barycentre de (A,1), (B,1) et (C,1), c'est à dire O est l'isobarycentre de ABC.

Pour la dernière question, tu exprimes tout avec les coordonnées cartésiennes comme te l'avait dit Cuicui Masqué et l'addition des coordonnées doit être égale au coordonnées du vecteur nul c'est à dire (0,0). Et c'est ça qui va te donner les deux relation .