Transformation du plan

Salut Cuicui.

Voici le début d'un énoncé :

"Soit f la transformation du plan dans lui même qui au point M daffixe z associe le point M' daffixe z' tel que : z' = -ie^ipi/6z + e^ipi/6

a) Donner la nature et les éléments caracteristiques de f"


Alors ne sachant pas trop comment faire, j'ai cherché les points invariants par f et j'ai trouvé qu'il y en a qun seul : z = e^-ipi/6.
Je me doute qu'il s'agit dune rotation mais je ne vois pas comment finir la question là.

Merci d'avance.

Bonsoir,

Il doit y avoir une erreur dans ton calcul. En effet, si on considère que ton point invariant est juste. Cela signifierait donc que l'image du point d'affixe e^-iπ/6 a pour image lui-même.

Or z'=-ie^iπ/6*(e^-iπ/6)+e^iπ/6=-i+e^iπ/6 qui est différent de e^-iπ/6

Un point M est invariant si son image par l'aplication F est lui même c'est à dire F(z)=z. Il faut résoudre l'équation mais je pense que ton erreur vient d'une erreur assez classique. Que vaut e₀??? .

Ensuite, pour conclure, on sait que F est une similitude si elle a un point fixe z0 donc elle s'écrit de la forme: F(z)-z₀=k*e^iθ*(z-z₀)

Donc lorsqu'on a le point fixe M(z₀), il nous reste à calculer le rapport k de la similitude ainsi que son argument θ.

Est-ce que la démarche te paraît claire? En tout cas la première chose à faire, c'est de savoir s'il s'agit d'une fonction avec un point fixe ou plusieurs ou sans point fixe. Cela permet de savir s'il s'agit d'une similitude, d'une symétrie axiale ou d'une translation. Les similitude de rapport k=1 étant des rotation.

Bon courage!

Jusqu'à preuve du contraire : e^ipi/6 - i = e^-ipi/6 (suffit de passer par l'écriture algébrique) donc je ne pense pas m'être trompé.

Oulà oui en effet, c'est tout à fait juste.

Du coup, que vaut le rapport et l'angle de cette similitude? Pour aller au plus rapide, on peut remarquer que dans tous les cas si on développe l'expression théorique, on a toujours k*e^iθ comme coefficient devant le z. Ainsi, il est aisé de refaire les calculs pour retrouver le rapport et l'angle de cette similitude.

Il s'agit bien d'une rotation d'ailleurs.

Bon courage!

Avec une identification, je dirais k=1 et l'angle de la rotation -pi/3.

Donc en fait dans ce genre dexercice, quand la transformation est "cachée" comme ici, faut d'abord chercher les points invariants, puis conjecturer son résultat et ensuite faire une identification, et comme lidentification est possible, on peut affirmer que notre hypothèse était bonne et donc les éléments caractéristiques et la nature de la transformation ?

C'est tout à fait exacte!

En fait, lorsqu'on a une transformation de la forme z'=a*z+b avec a et b des complexes. Il faut d'abord avoir les points invariants de cette transformation pour savoir s'il s'agit ou non d'une similitude.

Et s'il s'agit d'une similitude alors k=|a| et θ=Arg(a) tout simplement.

On le vérifie facilement, en disant que s'il y a un point fixe celui-ci est solution de l'équation z=a*z+b c'est à dire que z=b/(1-a) si a différent de 1. si a=1, alors c'est une translation de vecteur d'affixe b tout simplement.

A partir de là, z' - b/(1-a)=a*z + b - b/(1-a)=a*z - [b-(1-a)b]/(1-a)=a*z - a*b/(1-a)

Donc z' - b/(1-a)= a*[ z - b/(1-a) ] et on retrouve bien la forme z'-z₀=k*e^iθ*(z-z₀) si j'écris a sous forme exponentielle.

Est-ce que le raisonnement est plus explicite ainsi?

Bon courage!

Très clair !!

Merci beaucoup pour toutes ces précisions.