[1ère S]Exercice sur les dérivés

Alors, je ne pensais pas que la factorisation d'un polynôme du second degré poserait des problèmes mais je vais donc faire un rappel sur la factorisation des polynômes de degré 3 (il suffira de généraliser si un jour ton polynôme est de degré supérieur):

Soit P un polynôme de degré 3. On considère que le polynôme P admet trois racines réel: x₁, x₂ et x₃.

On a donc P(x₁)= P(x₂)= P(x₃)= 0.

Donc le polynôme P se factorise sous la forme P(x)=(x-x₁)*(x-x₂)*(x-x₃) (il s'agit bien d'un produit de trois facteurs de degré 1).

Je pense que celà va te permettre de conclure maintenant.

Pour la 8, autant pour moi, j'avais fait une simplification dans mes calculs, il faut bien avoir G(x)/x ≥ 0 pour que C soit au-dessus de H.

Pour cette question, il te dit que (C est au-dessus de H) <=> F(x) ≥ 1/x

Il faut donc que tu utilises cette équivalence et montrer que F(x) ≥ 1/x <=> G(x)/x ≥ 0 en effectuant les calculs.

Après, n'oublie pas qu'on a une expression factorisé de G depuis la question précédente et donc pour déterminer l'ensemble des x qui vérifie G(x)/x ≥ 0, il suffit de faire le tableau de signe.

7) g(x)=(x-1)(3x²-4x+1)

G(x) a 2 racines : 1 et 1/3 donc :

g(1) = g(1/3) = 0

g(x) = (x-1)*(x-1-3)

Mais au final, j'ai dû louper quelque chose mais je ne trouve pas g(x) en développant pour vérifier.

8 ) f(x) ≥ 1/x
g(x)/x = 0

avec g(x) = (x-1)(3x²-4x + 1)
et f(x) = 3x² - 7x + 5

3x² - 7x + 5 ≥ 1/x
3x²-7x -1/x + 5 ≥ 0

Je comprends pas trop..

Alors pour la factorisation c'est presque celà, u as juste oublié un détail d'importance: 1 est une racine double c'est à dire que 1 est deux fois racine pour la fonction G. Il faut donc mettre un carré pour le facteur (x-1). On a souvent tendance à dire que celà ne sert à rien de ire qu'une racine est double ou simple (malgré qu'un professeur répète son importance assez souvent) car on ne vois pas trop à quoi celà sert. Et bien voilà un exemple qui prouve l'importe de préciser l'ordre d'une racine (simple, double, triple, ...)

Sinon la question 8, tu est d'accord avec le fait que C est au-dessus de H si et seulement si F(x) ≥ 1/x ? Pour le visualiser, il faut le voir en terme d'ordonnée des courbes car celà veux dire que pour une même abscisse x, l'ordonnée du point de la courbe C (c'est à dire F(x) ) est au-dessus de l'ordonnée du point de la courbe H (c'est à dire 1/x).

A partir de là, il faut que tu fasses les des calculs sur cette inégalité ce que tu as déjà commencé à faire en mettant tous les terme à gauche pour avoir quelque chose de supérieur ou égale à 0. Maintenant, il faut que tu regardes ce que tu peux faire sur la partie de gauche pour retrouver G(x)/x.

Si tu regarde bien ton calcul, tu l'as déjà fait dans une des question précédente.

7 ) g(x) = (x-1)²(x-1/3)

8 )f(x) ≥ 1/x
g(x)/x = 0

C est au dessus de H si et seulement si F(x) ≥ 1/x

avec g(x) = (x-1)(3x²-4x + 1)
et f(x) = 3x² - 7x + 5

3x² - 7x + 5 ≥ 1/x
3x²-7x -1/x + 5 ≥ 0
3x²- 7x-1 + 5 ≥ 0
3x²-7x + 4
Presque mais c'est pas ça...

La factorisation est donc juste.

Pour la question 8, commence la rédaction directement là:

C est au dessus de H si et seulement si F(x) ≥ 1/x

Puis après entame les calculs. G interviendra à la fin du calcul.

Sinon, tu n'es pas loin en effet, ton erreur vient de ce passage là:

Citation :

3x²-7x -1/x + 5 ≥ 0

=> 3x²- 7x-1 + 5 ≥ 0

Où est passé le -1/x ?

Il faut que tu mettes juste au même dénominateur en fait et le résultat tombe de lui-même normalement .

En fait là, j'avais mis au même dénominateur :

3x²-7x+5 ≥ 0
3x²-7x -1/x + 5 ≥ 0
(3x^3 -7x²+5x-1)/x ≥ 0
x(3x²-7x+5)-1 / x ≥ 0
3x²+7x +5 -1 ≥ 0 ...

Heu..

Tu peux m'expliquer pourquoi tu continues à faire des calculs après cette ligne là:

Citation :

(3x^3 -7x²+5x-1)/x ≥ 0

?

Tu pourrais me rappeler ce qu'on cherche et ce que vaut G(x) .

ps pour ta simplification par x à la fin de ton calcul: ta simplification par x à la dernière ligne est fausse car le -1 n'est pas multiplié par x, donc la simplification n'était pas possible comme tu l'as faisait.

Blagu'cuicui a écrit:

Heu..

Tu peux m'expliquer pourquoi tu continues à faire des caculs après cette ligne là:

Citation :

(3x^3 -7x²+5x-1)/x ≥ 0

?

Tu pourrais me rappeler ce qu'on cherche et ce que vaut G(x) .

A vouloir trop en faire.. Je récapitule :

3x²-7x+5 ≥ 0
3x²-7x -1/x + 5 ≥ 0
(3x^3 -7x²+5x-1)/x ≥ 0
avec g(x) = 3x^3 -7x² +5x - 1 --> g(x) / x ≥ 0

Donc normalement là il ne me reste plus qu'à en déduire les abscisses pour lesquelles C est au dessus de H : comment on peut le déduire? Il faudrait montrer que pour tout x g(x)/x ≥ 0?

Il faut en effet déterminer l'ensemble des x pour que G(x)/x soit positif ou nul.

Et comment fait-on pour déterminer un signe ? Le plus simple est de faire un tableau de signe (ça marhce à tous les coup quand on peut factoriser).

Et pour faire une tableau de signe, il faut prendre la forme factorisée de G sinon ça risque d'être complexe .

On a g(x) = (x-1)²(x-1/3) = (x-1)(x-1)(x-1/3) d'où le tableau de signes suivant :



On en déduit donc que C est au dessus de H sur l'intervalle ]1/3 ; +INFINI [

C'est cela?

C'est presque celà en effet.

Tu as juste oublié qu'on divisait par x et qu'il change de signe lui aussi .

A ok je dois donc rajouter une colonne /x?

Oui car on cherche le signe de G(x)/x nous.

Tu vas constater que celà ajoute une autre ensemble à celui que tu as trouvé.

C'est bien cela?

C'est tout à fait ça !

On a donc g(x)/x positive sur ]-INFINI ; 0[ et sur ]1/3 ; +INFINI[
donc , les points entre ces intervalles répondent à la question.
OK?

Oui c'est tout à fait celà.

Au fait, j'ai oublié de rectifier ta factorisation pour ta factorisation de G(x), en effet, on a oublié le coefficient dominant qui est devant x₃. Car si tu développes l'expression de G(x) que tu as tu ne retrouve pas 3*x³ + .... mais tu vas trouver x³ + ...

Il faut donc multiplier l'expression que tu as par 3 pour avoir la bonne factorisation.

On a donc pour la factorisation :

g(x)=3(x-1)²(x-1/3)


Et enfin la dernière question :

9) Calculer les pentes des tangentes à la courbe f et à la courbe H au point d'abscisse 1.
Comment peut-on interpréter ce résultat?

La formule des tangentes est la suivante :

y = f'(a)(x-a) + f(a) donc ici : y = f(x)(x-x) + f(x)??

C'est bon pour la factorisation.

C'est encore plus simple que celà pour la derrnière question .

On ne te demande que la pente de la tangente (c'est à dire le coefficient directeur de la tangente) et en plus on te le demande en 1 .

Citation :

On ne te demande que la pente de la tangente (c'est à dire le coefficient directeur de la tangente) et en plus on te le demande en 1 Very Happy.

Mais, on n'a pas besoin de cette formule pour trouver le coefficient directeur?

Tu peux me rapeler le lien entre dérivatino en un point a et coefficient directeur de la tangente en ce point a?

Blagu'cuicui a écrit:

Tu peux me rapeler le lien entre dérivation en un point a et coefficient directeur de la tangente en ce point a?

EUh.. C'est le même?

Tout à fait !!

Donc on te demande juste de comparé la dérivé en 1 de F et la dérivé en 1 de x |--> 1/x

Et pour les comparer je dois faire la première = la seconde?

La dérivée de g(x) et de 1/x?

Pour les comparer, il suffit de les calculer séparément en fait.

Mais atention c'est la pente de la tangente à F au point d'abscisse 1 qu'on souhaite. Donc c'est la dérivé de F en 1 qu'il va falloire calculer et non celle de G.