Exo "introduction" aux exponentielles

Salut!
Bon, je vais être direct : les exponentielles je vois à peu près ce que c'est mais ça s'arrête là... Il y a des mécanismes que j'ai beau voir et tenter de comprendre ça va pas et comme c'est récent ça aide pas des masses. Donc j'ai du mal sur un exercice qui paraît pourtant relativement simple... J'aurais donc besoin d'un coup de pouce svp...

Voici l'énoncé :

On injecte à l'instant 0 une quantité A de médicament dans le sang d'un malade.
On note f(t) la quantité de ce médicament présente dans le sang après t heures.

On démontre que la fonction vérifie :


On suppose A = 2.5 cm³

1. Montrer que, si h est une durée proche de 0, f(t+h) = (à peu près) (1-(1/24)h)f(t)

En déduire une table de valeurs approchées de la fonction f pour t = 0 ; 1 ; 2 ; ..... ; 12. ( Avec explications claires)

2. Donner l'expression explicite de la fonction f.

3. Etudier les variations de f, quelle est sa limite en +Infini?
Pouvait-on prévoir cette limite?

4. Tracer la courbe de f sur [ 0 ; 12], en déduire le temps au bout duquel la quantité de médicament a baissé de moitié.


Bon, déjà je bloque sur la 1... :

f'(t) = (à peu près) [ f(t+h) - f(t)] / h
f'(t) * h = (à peu près) f(t+h) - f(t)
f(t+h) = (à peu près) f'(t)*h + f(t)
f(t+h) = [(1 - (1/24)h) f(t)] h + f(t)

Problème : h proche de 0 donc ma grande parenthèse * h sera très proche de 0 non?

Merci d'avance.

Bonsoir,

Pour le moment la fonction exponentielle n'est pas explicitement dans l'exercice ce qui signifie donc en soi que tu doit pouvoir faire cette exercice sans forcément parler de la fonction exponentielle (tout du moins au début).

Pour la première question, il s'agit de l'approximation affine qu'on peut écrire comme tu l'a écrite c'est à dire:

F'(t)≈ [F(t+h) - F(t)]/h lorsque h est proche de zéro

Je te conseille plus de l'écrire comme suit:

pour h proche de zéro, on a: F(t+h)≈ F(t) + h*F'(t) (c'est d'ailleurs celà que tu écris en 3ème ligne)

A partir de là, il te reste à remplacer, F'(t) par l'expression que l'on te donne et cela devrait te donner le résultat si tu ne fais pas d'erreur de factorisation .

Merci pour ta réponse

J'ai refait la question 1 ce qui donne :

1)
avec : A = 2.5 cm³

f'(t) ≈ [f(t+h) - f(t)] / h
f'(t) * h ≈ f(t+h) - f(t)
f'(t) * h + f(t) ≈ f(t+h)

[(-1/24) * f(t)]h + f(t) ≈ f(t+h)
f(t) [1-(1/24)h] ≈ f(t+h)

--> En déduire une table de valeurs approchées pour t= 0 ; 1 ; 2 ;.....; 12
----> On a donc un pas de 1 soit : h = 1

f(t) [1-(1/24)*1] ≈ f(t+1)


Explications :

Pour trouver cette table de valeurs approchées, je pars de f(0) = A = 2.5 cm³
--> Je remplace x par 0 dans :

----> Je trouve donc f(1). Ensuite, je remplace f(x) par f(1) dans l'expression pour trouver f(2) etc...
OU : Méthode plus intelligente : Je fais : (2.395)/(2.5) = f(1)/f(0) = 0.958 et, je me sers du fait que la seconde ligne de ce tableau de valeurs est une suite géométrique --> Sa raison est donc q = 0.958. Il suffira ensuite de multiplier f(1) par q pour trouver f(2) puis, f(2) par q pour trouver f(3) etc... jusqu'à f(12).

Voilà pour le moment.
Là, je bosse les autres questions!

EDIT :

2. Donner l'expression explicite de la fonction f :

On a vu que la fonction f était la fonction associée à une suite géométrique que l'on va nommer U_n et qui s'écrit sous la forme :

--> avec u0 = A = 2.5 et q = 0.952
----> Donc U_n = 2.5 *0.958^n
------> f(x) = 0.958x

(Déjà ça me semble étrange vu que la dérivée sera un constante donc, pour l'étude de variations de la question 3. ça le fait bizarre...)

3. f'(x) = 0.958 * (x)'
--------> f'(x) = 0.958

Je dresse donc un tableau de signe sur l'intervalle [0 ; 12] et en déduit donc le sens de variation de f(x) qui est croissante sur tout l'intervalle.

Etrange non?
PS : Désolé pour la qualité du tableau de valeurs...

Bonsoir!

La première question est bien menée et ta remarque est bonne vu qu'on prend des valeur de entière pour t, tu peux donc voir cela comme une suiteen posant U_n=F(n)

Ce qui nous donne donc U_n+1= (1-1/24)*U_n et donc ta raison est donnée de façon exacte du coup vu qu'on peut la calculer: 1-1/24=23/24 ce qui est bien snesiblement égale à 0.958 comme tu le marque.

Là je te donne la théorie qu'il y a là-dessous mais ta méthode pour trouver la raison est tout ce qu'il y a de plus correct doncp as de soucis pour ça.

Par contre tu fait nue légère erreur dans ta conclusion ce qui te donne desinterrogations d'ailleurs:

Citation :

----> Donc Un = 2.5 *0.958^n
------> f(x) = 0.958x

Si Un=f(n), on a donc f(n)=2.5*(0.958)^x (c'est puissance x et non multiplié par x ).

Par contre ta démarche est très bonne et si un jour ne devoir tu te retrouve avec une incohérence la phrase que tu as mis entre parenthèse tu pourrais la mettre sur ta copie pour montrer que t'es pas une machine à faire des calcul et que tu comprends que tu as fais une erreur sans pour autant savoir où. C'est très aprpécié par les correcteur avec modération tout de même car marqué qu'on se plante à toute les ligne ne donnera pas de points mais si c'est des exercice intéressant de réflexion comme celui-là cela peut te valeur un +0.25 ou un arrondie de ta note qui sait.

Du coup je te laisse reprendre les questions suivantes.

Bon courage!

2. Donner l'expression explicite de la fonction f :

On a vu que la fonction f était la fonction associée à une suite géométrique que l'on va nommer Un et qui s'écrit sous la forme :
u0 * 0.958ⁿ

--> avec u0 = A = 2.5 et q = 0.952
----> Donc Un = 2.5 * 0.958^n
------> f(x) = 2.5 * 0.958^x


3. Là, j'ai un doute sur la dérivée...
f'(x) = 0.958x^(x+1) ?

Hé ho du bateau! La dérivé on nous l'a donne .

Ne dérive pas la fonction F car ce que tu trouve c'est une approximation de la véritable fonction F, il ne faut la l'oublier. Donc tu doit te servir de la fonction dérivée qu'on te donne si tu veux que tes approximations soit cohérente.

Sinon, tu ne sais pas encore dériver une telle fonction à l'heure actuelle et je ne suis pas sur que tu sera la dériver à la fin de l'année j'ai un doute car comme tu le remarques la variable x est en puissance ce qui change beaucoup de chose en fait. Mais on en reparlera si tu veux en complément si tu veux aller plus loin .

Je te laisse reprendre cette question. Donc tu utilise la forme de F'(x) et tu va doc chercher son signe totu simplement.

Salut!
Je suis matinal et envoie donc la suite de l'exercice qui cette fois-ci est juste!

3.
f'(t) = (-1/24) f(t)
f'(t) = (-1/24)*2.5*0.958^x
f'(t) = (-1/24) * (5/2) *0.958^x
f'(t) = (-5/48) * 0.958^x

Je dresse le tableau de signes sur [0 ; 12] :



DONC :



f(t) sera donc décroissante sur [0 ; 12] et sa limite en +Infini sera 0.
Oui, on pouvait deviner cette limite car, au bout d'un certain nombre d'heures, le malade n'aura plus de médicament dans le sang soit 0cm³.

4. Je vais faire la courbe

Nickel ça !

Fait attention au sens de la flèche pour la décroissance mais c'est dû au net ça, je pense pas que tu aurais fait ça sur une copie donc pas de soucis.

Pour la limite en +l'infini, il faut bien préciser pourquoi cela tend bien vers 0 et cela réside dans le fait que 0.958<1 (comme une suite géométrique en fait).

Pour tracer la coubre entre 0 et 12, n'oublie pas qu'on a qu'une approximation de la courbe au valeur entière 0; 1; 2; ...; 12. Donc pour tracer la courbe, ne fait pas de tableau de valeur et n'utilise pas une calculatrice car notre fonction F qu'on trouve est une approximation, ça valeur exacte est proche de cette fonction mais pas exacte à celle-ci pour autant donc prendre plus de point pour tracerl a courbe serait je pense mal venu. Mettre les 13 points qu'on a calculé puis lisser la courbe sera déjà une très bonne chose et donnera un visuel assez intéressant de la courbe réel.

Après le tracer de cette fonction je te donnerai la valeur exact de la fonction qu'on étudie réellement et qui est sous jacente à tout ce qu'on fait car pour le moment tu n'as pas vu la fonction exponetielle dans tout ça .

Ah... désolé pour l'erreur dans la flèche...

Sinon, j'ai fait la courbe et, on me demande au bout de combien de temps la quantité de médicament a-t-elle diminué de moitié mais, mon graph s'arrêtant à (12 ; 1.49), je fais comment pour déduire le nombre d'heure désiré pour atteindre 2.5/2 soit 1.25??

En effet, tu ne peux pas répondre et le résultat théorique est proche de 16,5 heures en fait.

Par contre, tu pourrais continuer les calculs avec des valeur jusqu'à t=17 et ainsi pouvoir déduire de la courbe une valeur approchée de A/2=1.25cm³. Mais sur l'intervalle [0;12], la quantité de médicament ne diminue pas de moitié comem tu l'as si bien fait remarquer.

Voilà! ^^
maintenant, tu devais me montrer comment faire pour avoir précisément f(x) ^^

Bonsoir,

En effet, je t'avais dit que cette exercice te donnait une approximation de la véritable fonction F telle que F'(t)=-(1/24)*F(t) avec F(0)=A

En fait, la notion que tu verras au cours de cette année s'appelle "résolution d'une équation différentielle", il s'agit d'un mot barbare pour dire que tu va apprendre à trouver les fonctions F qui sont solutions d'une équation du type

F'(x)+a*F(x)=0 avec a un réel quelconque. Et c'est cette équation qu'on appelle équation différentielle car elle met en relation une fonction F et sa dérivée (différentielle) F'

Et tu verras que les solutions de cette équation sont de la forme F(x)=B*e^-ax (avec B un réel quelconque qui sera fixé par els condition en F(0) ) ceci se lisant "exponentielle de (-ax)" et c'est là que notre fonction exponentielle apparaît concrètement.

Tu constates en fait que notre exercice faisait intervenir une équation différentielle F'(t)=-(1/24)*F(t) <=> F'(t) + (1/24)*F(t)=0

Donc la solution générale de cette équation différentielle est F(t)=B*e^-t/24

Or on sait que F(0)=A par hypothèse de départ, donc A=F(0)=B*e^-0/24 => A=B*e⁰

Et tu apprendras que la fonction exponentielle en 0 vaut 1, on a donc B=A

En conclusion, l'unique fonction F vérifiant les hypothèses de notre exercice est F(t)=Ae^-t/24


Et ton exercice a permis de donner une approximation de cette fonction là sur [0;12]. La notion d'équation différentielle sera vu après la notion sur l'exponentielle et celle sur le logarithme (car il intervient dans la résolution de l'équation différentielle tout comme l'exponentielle). Donc ne t'inquiète pas si tu n'a pas tout compris pour le moment mais les trois notions sont visibles dans ce problème là en tout cas et je ne pouvais pas ne pas t'en parler .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!