dm de math

Eh ui c'est encore moi,
j'ai essayé de me débrouiller seul mais là je bloque sur tous les exercices de ce nouveaux Dm.
Voici le DM :

Citation :

Exercice 1 :
f est une fonction definie sur R, p et i sont deux fonctions definies par P(x) =(f(x)+f(-x))/2 et i=(f(x)-f(-x))/2

1 - Demontrer que p est une fonction paire et i une fonction impaire.
2 - En deduire que toute fonction j definie sur R est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
3 - Application: determiner les fonctions p et i dans chacun des cas suivants :
a - f(x)=2x^3-x²+x-4
f(x)=(2x-1)/(x²+1)

Pour l'exercice 1,
je ne comprend pas comment ont peut démontrer sans avoir de nombres

Citation :

Exercice 2 :
f et g sont les fonctions definies par f(x)=(x+3)/(x+1) et g(x)=x/(x+2). On pose h=g ° f.
1 - Trouver l'ensemble de definition de h et calculer explicitement h (x) .
2 - La fonction k est definie par k ( x) =(x+3)/(3x+5).
Les fonctions h et k sont-elles egales ?

Pour l'exercice 2,
je ne comprend pas le signe entre g et f dans l'intitulé

Citation :

ExExercice 3 :
1 - a Determiner un polynome P du second degre tel que l'on ait, pour tout reel x: P (x +1)- P (x) = x
b - Ecrire l'egalite precedente pour x = 1, x = 2, x = 3, ...x = n .
c - En deduire la valeur de la somme S1= 1²+2²+3²+...+n² en fonction de n

2a- Determiner un polynome Q du troisieme degre tel que l'on ait :
pour tout reel x, Q(x +1)- Q (x) =x²
b. En deduire S2= 1²+2² +3²+...+n² en fonction de n .

Pour l'exercice 3,
là je ne comprend pas du tout l'intitulé de la question

Citation :

Exercice 4 :
Soit la fonction f definie sur R par f (x) = (3 x-5)² . Nous allons dresser son tableau de variations de deux manieres differentes.
1a-Developper f puis mettre le trinome sous forme canonique.
b-En deduire Ie tableau de variations de f .

2a - On considere f comme la composée de deux fonctions u et v . Determiner u et v puis dresser leurs tableaux de variations.
b- A l'aide du théoreme sur la composition de fonctions, et en expliquant votre demarche, retrouvez le tableau de variations de f .

Pour l'exercice 4,
la 1a - f(x)=(3x-5)²= 9x²-30x+25
forme canonique 9(x+5/3)²
la 1b - le coefficient des x² est 9>0
donc

C:\Documents and Settings\Famille\Mes documents\Mes numérisations\Numériser0002.pdf

Merci d'avance, pour ton aide

Alors maintenant qu'on a tout ce qu'il nous faut pour travailler, on va pouvoir commencer.

Pour le premier exercice, le fait qu'une fonction soit paire ou impaire repose sur la définitions des deux propriétés:

Citation :

Une fonction F définie sur un intervalle J est paire si et seulement si J est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de I, F(-x)=F(x)

Une fonction F définie sur un intervalle I est impaire si et seulement si J est symétrique par rapport à 0 et pour tout x de J, F(-x)=-F(x)

Bon à partir de là, sachant que F est définie sur R, cela signifie donc que tes deux fonctions P et I sont aussi définie sur R, je pense que tu avais déjà commencer par remarquer ceci.

Donc R est symétrique par rapport à 0, il n'y a pas de soucis pour celà. Il ne reste plus qu'à calculer P(-x) et I(-x) et montrer dans le premier car que P(-x)=P(x) et dans le deuxième cas I(-x)=-I(x) ce qui prouvera que tes fonctions sont respectivement paire t impaire.

Il n'y a donc pas besoin d'avoir de valeur précise poru savoir si une fonction est paire ou impaire. Est-ce que tu comprend mieux comment il faut procéder?


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Dans ce deuxième exercice, il est question de fonction composée, en fait H=GoF cela signifie que pour tout x dans l'ensemble de définition de H, on a:

H(x)=G(F(x))

C'est à dire qu'on évalue la valeur x d'abord par la fonction F, puis on évalue la valeur de F(x) par la fonction G.

donc pour répondre à la première question par exemple qui te demande de trouver l'ensemble de définition de H, il faut d'abord que x appartienne à l'ensemble de définition de F et à partir de là, il faut trouver l'ensemble des valeurs de x pour que F(x) appartiennent à l'ensemble de définition de G.

Plus concrètement, on peut voir cela comme suit:

H(x)=G(X) avec X=F(x), donc ici on voit peut-être mieux comment ça marche concrètement vu qu'on prend l'image de X par G, il faut donc que X appartienne à l'ensemble de définition de G mais X=F(x), celà revient bien à dire que F(x) appartient à l'ensemble de définition de G comme je l'avais mis plus haut.

Si dès fois celà n'est pas tout à fait clair, nous avions eu une question de cours sur le sujet ici: Fonction composée


Je pense qu'il serait judicieux qu'on coupe ton DM en deux car je pense que cela va vite devenir indigeste à suivre, tu ne crois pas? Vu qu'il y a 4 exercice, on pourrait traiter les deux premiers dans ce sujet et traiter les deux dernier dans un autre sujet. Car j'ai grand peur qu'on ne s'y retrouve pas au bout d'un moment. Je te laisse donc ouvrir un autre sujet avec les exercice 3 et 4 et on traitera ici les exercice 1 et 2 car ils sont quand même volumineux l'un comme l'autre surtout au niveau du cours et des astuces de calculs.

N'hésite pas à poser des questions en tout cas!

Pour l'exercice 1,
1 - p(x)=(f(x)+f(-x))/2 <=> -f(x)/2=f(-x)/2 <=> -f(x)=f(-x)
i(x)=(f(x)-f(-x))/2 <=> f(-x)=f(x)
c'est résultat sont bizarre puisque selon l'énoncé p(x) est pair et là on s'aperçoit quelle est impaire ? idem pour i(x)?

Pour l'exercice 2,
1 - Dh=Df+Dg
Comme Df= R/{-1}
et Dg=R/{-2}
Donc Dh=R/{-1;-2}
h(x)=g(f(x)) <=> h(x)=g((x+3)/(x+1)) <=> h(x)= (x+3)/(3x+5)

2 - Oui, elles sont égales puisque h(x)=k(x)

Bonsoir,

Pour l'exercice 1, question 1), il s'agit de calculer P(-x) et de montrer qu'il est égale à P(x) vu que comme tu le remarque P doit être paire. Attention lorsque je citais, il s'agissait del a définition générale pour une fonction F quelconque, il est vrai que ma notation était mal choisie là.

Donc pour montrer que P est paire, il faut montrer que P(-x)=P(x) et pour montrer que I est impaire, il faut montrer que I(-x)=-I(x) sachant qu'on a dit que R était symétrique par rapport à 0 donc il n'y avait pas de problème poru l'ensemble de définition.



Pour l'exercice 2, Donc on a bien Df=R\{-1} et Dg=R\{-2} donc dans tous les cas il faut retirer -1 à R cependant l'ensemble de définition de g ne suffit pas pour conclure.

Car d'après la définition que je t'ai rappelé, H sera définie à partir du moment ou F(x) soit dans Dg c'est à dire qu'il faut résoudre F(x)=-2 pour savoir quelles valeurs sont à exclure.

En effet, c'est pas simple les fonction composée surtout pour l'ensemble de définition mais on peut le voir d'un aspect purement intuitif. Si G est définie sur Dg cela signifie donc que F(x) doit appartenir à cette ensemble Dg vu qu'on calcul G[F(x)]. Il faut donc que F(x) appartienne à Dg pour que cette valeur G[F(x)] existe et c'est cela qui va te donner le bonne nesmelbe de définition qu'il va falloir prendre.


Le calcul de H(x) est tout a fait juste, on trouve bien H(x)= (x+3)/(3x+5) sur l'ensemble de définition Dh qu'on doit encore calculer.

Et attention pour la question 2):

Citation :

Deux donc H définie sur Dh et K définie sur Dk sont égales <=> Gh=Dk et pour tout x de Dh, H(x)=K(x)

Je sais que cela énerve beaucoup les étudiant lorsque les professeur accentue sur les ensemble de définition d'une fonction mais ici c'est capitale! En effet, le fait que H(x)=K(x) ne suffit pas car dans quel ensemble de définition ce situe x? Dans Dh? Dans Dk?

Et on aura l'égalité des deux fonctions si et seulement on a Dh=Dk ce qui ne va pas être le cas comme tu vas le constater après calcul car Dh=? et Dk=?