Urgence sur les limites de fonctions

Salut!
Me revoici pour un exercice sur les limites qui est assez divisé : j'arrive à faire les formes que je considère facile (en gros que j'ai déjà rencontré) mais, pas celles qui sont plus subtiles... J'aurais donc besoin d"'un petit coup de main à ce propos .

Voici l'énoncé :


[Pour chaque question, commencer par expliquer s'il y a ou pas forme indéterminée en précisant à chaque fois quel type.

Dans chacun des cas suivants, préciser la méthode (ou les méthodes) employée(s) pour étudier la limite de la fonction f. Etudier cette limite.

a) f est définie sur R par f(x) = 2x - sin(x), en +∞.
b) f est définie sur R par f(x) = (2e^x -1)/(e^x+3), en +∞.
c) f est définie sur R - {π/2} par f(x) = cos(x) / (x - (π/2)), en π/2.
d) f est définie sur R par f(x) = e^{x² + 2}, en -∞.
e) f est définie par ]0 ; +∞[ par f(x) = xsin(2/x), en 0.
f) f définie sur R - {1} par f(x) = (x²+3) / (x-1), en +∞.
g) f est définie sur R par f(x) = Racine Carrée (9x² + 1) - 3 x, en +∞


Et voici pour mes résultats :

a) f(x) = 2x - sinx
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
DONC forme déterminée
DONC :


b) f(x) = (2e^x - 1) / (e^x + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2e^x - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) e^x + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2e^x (1 - (1/(2e^x))] / [(e^x (1 + (3/e^x)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2e^x (1 - 2e^-x)] = 2 * [(1 - 2e^-x) / (1 + 3e^-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e^-x) = 1 (car e^-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e^-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :


c) Ici, je tente de le faire avec x --> π/2 en tentant de voir ce que ça donne niveau courbe à la calculette mais, je n'ai pas la même en la mettant en degré ou en radian et, en radian, je ne vois pas vers où cela tend donc, je suis bloqué... Je peux juste dire que :
lim (x --> π/2) cos(x) = 1


d) Ici, on a une exponentielle je n'ai jamais vu ce genre de forme mais, je vais traiter ça en la décomposant :

lim (x --> -∞) e^x = 0
lim (x --> -∞) e^x = 0
lim (x --> -∞) e² = 2
DONC, lim (x --> -∞) = 2 ---> FAUX


e) f(x) = xsin(2/x) en 0
lim (x--> 0) x = 0
lim (x --> 0 ; x<0) 2/x = -∞
lim (x --> 0 ; x>0) 2/x = +∞
Après, je tente de chercher la limite de sin(2/x) mais, je trouve une courbe ressemblant plus à un électrocardiogramme qu'à autre chose donc, impossible de distinguer quoi que ce soit...


f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

Comme je l'ai donc dit, cette exercice et plutôt divise... il me faudrait donc quelques explications sur les cas "à problème".
Merci d'avance.

Bonsoir,

Attention aux erreurs classiques:

Citation :

lim (x --> +∞) -sin(x) = -1

La fonction Sinus est une sinusoïde et si tu as le graphique de cette fonction en tête tu devrais visualiser le fait qu'il n'y a pas de limite en +∞ de cette fonction.
Donc la fonction Sinus n'a pas de limite en +∞ et c'est ce qui donne l'indétermination. Par contre ta réponse est juste mais comment le montre-t-on ?


La b) est tout à fait juste, rédaction comprise.

pour la c), il y a une erreur dans ta limite du Cosinus. Refais ton cercle trigo, tu vas constater qu'en π/2, le Cosinus est nul . De même x-π/2 tend vers 0 en π/2. Conclusion, nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)


Pour la d)

Citation :

DONC, lim (x --> -∞) = 2 ---> FAUX

La remarque est judicieuse vu que ta réponse est fausse. Mais elle est fausse car tu as oublié un détail qui est que l'exponentielle d'une addition c'est égale à la multiplication des exponentielles. Donc 0*0*2=0 Déjà la réponse serait plus cohérente.
Mais ta démarche n'aboutira pas.
Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée .


Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas". Mais il y a un moyen de se débarrasser du sinus, une idée ? (Conseille, il existe des encadrements du Sinus )


Pour le f), il est juste et la rédaction aussi.

Pourl e g) pense à l'expression conjugué car tu a une forme du type "∞-∞"


Il s'agit d'un exercice à "astuce" lorsqu'on a pas encore vu l'astuce ou la méthode précise pour résoudre le problème, il est souvent difficiles de trouver quelque chose seul (même si ça arrive ). Donc j'espère que ces premiers conseils pourront débloquer plusieurs des situations.

Bon courage!

Merci d'avoir répondu si vite !

a) f(x) = 2x - sinx
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = - ∞
Au numérateur, on est encore sur une forme indéterminée de type "∞ -∞"
lim (x tend vers + ∞) 2x = +∞
lim (x tend vers + ∞) sin(x) = IMPOSSIBLE car nous venons de voir que la fonction sinus n'avait pas de limite possible et précise en +∞.

Après, j'ai essayé de factoriser 2x puis 2x² puis sinus et... ça a rien marché, je trouve toujours une indétermination ou alors quelque chose du genre 2x/sin...


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement : [f(x + h) - f(x)] / h avec, x = π/2 je présume donc :

[f(π/2 + h) - f(π/2)] / h avec :
f(π/2) = 0
f(π/2+h) = h / (x + h - π/2)
DONC : [h / (x + h - π/2) - 0] / h mais après...


d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
On a donc 2 fonctions ici : e et (x² + 2).
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?
lim e (x --> - ∞) = e
lim (x² + 2) (x --> -∞) = -∞
DONC :



e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Comment trouver la limite en 0 à partir de cela? Encore, si c'était en +∞ ou en -∞ on l'aurait tout de suite (2 et -2) mais là.... Je sèche un peu...


f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Oups! J'ai oublié de mettre ma réponse pour le g)... De toutes façons je trouvais rien j'avais pas la méthode mais bon...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[(Racine(9x²+1))² - 3x²] / [Racine(9x²+1) + 3x] = (9x²- 3x² + 1) / [Racine(9x²+1) + 3x] = (6x² + 1) / [Racine(9x²+1) + 3x]
--> Nouvelle indétermination de type "∞ / ∞"
Là, aucun facteur n'est en commun donc, factorisation assez difficile... La racine au dénominateur gêne... On pourrait peut-être décomposer certains facteurs en d'autres pour en trouver un en commun mais, ça va ramer tout de même assez fortement je pense...

[Encore merci pour ta réponse]

Bonjour,

Citation :

lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = - ∞

Si la fonction sinus n'a pas de limite la fonction sinus au carré n'en a pas plus. Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une concéquence du théorème d'encadrement.

Pour la c), il faut connaître l'autre forme du taux d'accroissement:

Citation :

Taux d'accroissement : [f(x + h) - f(x)] / h avec, x = π/2 je présume donc :

[f(π/2 + h) - f(π/2)] / h avec :
f(π/2) = 0
f(π/2+h) = h / (x + h - π/2)
DONC : [h / (x + h - π/2) - 0] / h mais après...

Ceci aboutira mais au prix de beaucoup de calcul. Donc essayons de faire plus simple et prenant une autre définition du taux d'accroissement:

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).


Pour la e),

Citation :

-1 < ou égal sin < ou égal 1
-x < ou égal sin(x) < ou égal x

D'où tu sors celà? La fonction Sinus prend des valeurs mais elle reste encadré par les même constante!

Citation :

Quelque soit le réel y, -1≤Sin(y)≤1

Donc ici y=x/2 tout simplement, et il nous restera à multiplier par x. Attetnion au sens des inégalité lorsqu'on multiplie par x vu qu'on prend la limite en 0, il y a deux cas soit c'est positif soit c'est négatif. La conclusion, se fait pas le théorème d'encadrement.


Pour la dernière, une erreur c'est glissée dans ton calcul. En effet, (a-b)*(a+b)= a² - b². Attetnino de ne pas oublier de mettre les constantes au carré .


Bon courage!

a) f(x) = 2x - sinx
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]


On a toujours le problème du sinus au carré et de sa "non-limite en l'infini...

Je pensais appliquer la quantité conjuguée sur les 2 valeurs encadrant f(x) mais, on aurait des sinus⁴ donc ça serait encore pire....

b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on en remplace pas x.

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2) --> Problème : Dénominateur = 0...
Donc, il ne faut pas prendre y = π/2...
Là, je ne vois pas...



d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = -∞
et après, je ne saisis pas les histoires de limite de g"Rond"F... J'ai les 2 limites en a (ici -∞) mais, je ne sais as comment conclure...


e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :


lim_x-->0 -x = +∞
lim_x-->0 x = +∞
DONC, selon le théorème des gendarmes (encadrement) :
lim_x-->0 xsin(y) = +∞


f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :



g) Oups! J'ai oublié de mettre ma réponse pour le g)... De toutes façons je trouvais rien j'avais pas la méthode mais bon...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 3x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
9x² + 1 - 3x² / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
6x² + 1 / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]

avec lim_x-->+∞ = +∞
et lim_x-->∞ = +∞
On a donc une nouvelle indétermination?

Merci pour ta réponse

Alors pour le a),

Encadre plutôt l'expression du départ ça sera "beaucoup plus simple" que d'encadrer après tout tes calculs.


Pour la c), si tu prend y=π/2

lim_x->y[F(x)-F(π/2)]/(x-π/2) = F'(π/2) lorsque F est dérivable en π/2. Et ceci est vrai que F(x)=Cos(x) qui est dérivable sur R, donc on peut appliquer la limite du taux d'accroissement tel qu'il est énoncé au-dessus.


Pour la d),

lim_x-->-∞ x²+2 = +∞ (attetnion au carré !!! La limite ici c'est bien +∞) Donc ça c'est la limite de notre fonction F(x)=x²+2 en -∞

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)


Pour le e) fait attention c'est en 0 qu'on doit calculer la limite .


Et pour le g) tu ne l'as pas corrigée pour le moment.


Bon courage et t'inquiète pas tu vas y arriver !!

a) f(x) = 2x - sinx
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]
-1 < [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)] < 1
Encadrer directement f(x)? Ca ne sera pas - 1 et 1 aussi...


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)
Je ne comprends pas....

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

La fonction g(x), c'est laquelle? Désolé mais encore le début je saisis on décompose la fonction en 2 mais là...


e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :


lim_x-->0 -x = x ???
lim_x-->0 x = x???
DONC, selon le théorème des gendarmes (encadrement) :

lim_x-->0 xsin(y) =x???

Je n'avais pas fait la limite en 0 là?


g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 3x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
Problème dans la racine au carrée je pense...

[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 3x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
après, je factorise par (Racine(9x²+1))

Racine(9x²+1)[Racine(9x²+1) - (3x /(Racine(9x²+1))] / [(Racine(9x²+1)(3x/Racine(9x²+1))]
(Racine(9x²+1) - (3x /(Racine(9x²+1) / [3x/Racine(9x²+1)]
??

Citation :

Encadrer directement f(x)? Ca ne sera pas - 1 et 1 aussi...

Il faut encadrer F(x) pour la a) tout à fait. Le sinus reste toujorus encadré par -1 et 1 et du coup cela va marcher tout seul à l'aide du théorème des gendarmes.

Pour la c) ma notation est peut-être mal choisie vu qu'on a déjà une fonction F. Alors disons que j'utilise le taux d'accroissance avec la fonction G(x)=Cos(x) et y=π/2

On a bien F(x)= [G(x) - G(π/2)] / (x-π/2)

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

Citation :

La fonction g(x), c'est laquelle? Désolé mais encore le début je saisis on décompose la fonction en 2 mais là...

Vu que notre fonction, c'est H(x)= e^x²+2, notre fonction F(x)=x² +2 et notre fonction G(y)=e^y (Mes notations sont mal choisies à chaque fois car j'oublie que toutes tes fonctions s'appellent F dans ton exercice)

Citation :

limx-->0 -x = x ???

Hum . La limite d'une fonction en un point lorsque la fonctino est continue c'est la valeur en ce point. Ici notre fonction c'est g(x)=-x donc ça limite en 0 est ???
De même pour l'autre limite.


Pour le g) le soucis réside ici: (3x)² = ??? Tu as mal calculer ton identité remarquable tout simplement (a-b)(a+b)= a² - b²


On touche au but .

a) f(x) = 2x - sinx C'est bien maintenant?
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]
-1 < [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)] < 1
Oui mais là, -1 et 1 n'ont pas pour limite en + ∞ +∞ alors qu'à la calculatrice, je conjecture +∞...


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = 1

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :


lim_x-->+∞f(x) = 2





f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
Racine(9x²+1)*Racine(9x²+1)
[Racine(9x²+1)]²= 9x² + 1

Il ne reste plus qu'à cherche la limite de 9x²+1 avec :
lim_x-->+∞ 9x² = +∞
Donc :
lim_x-->+∞ f(x) = +∞

Erreur EDIT

Bonsoir,

Pour la a), il faut encadrer la fonction de départ! f(x) = 2x - sinx car dès que tu as effectué ton calcul d'expression conjugué tu enlève la possibilité de conclure.

Pour la c),
Ceci est inutile et faux comme je te l'avais écrit.

Citation :

limx->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
limx->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Par contre la suite est juste,

Citation :

donc limx-->π/2 f(x) = -sin(π/2)

Il faut conclure! A quoi est égale -sin(π/2)?

Pour la d), cettel igne là est inutile:

Citation :

limx-->-∞ ex = 0

Sinon la réponse est jsute, le limite vaut bien +∞.


Pour la e)

Citation :

lim_x-->0 -x = x ???

Comment la limite d'une fonction lorsque x tend vers 0 peut encore dépendre de x ???? Quelle est la limite de la fonction identité lorsque x tend vers 0?


Pour la g),

Citation :

[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
C'est cela pour l'instant?

C'est tout à fait ça poru le moment, il ne reste plus qu'à calculer: Racine(9x²+1)*Racine(9x²+1) sachant que [Racine(a)]²=a.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

a) f(x) = 2x - sinx C'est bien maintenant?
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]
-1 < [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)] < 1
Oui mais là, -1 et 1 n'ont pas pour limite en + ∞ +∞ alors qu'à la calculatrice, je conjecture +∞...


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = 1

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :


lim_x-->+∞f(x) = 2





f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
Racine(9x²+1)*Racine(9x²+1)
[Racine(9x²+1)]²= 9x² + 1

Il ne reste plus qu'à cherche la limite de 9x²+1 avec :
lim_x-->+∞ 9x² = +∞
Donc :
lim_x-->+∞ f(x) = +∞

Bonsoir,

a)Lorsque je t'ai dit de reprendre la fonction de départ ce n'était pas pour la mettre dans ta résolution (même c'est c'est plus cohérent ainsi). En effet, le but est que tu encadre cette fonction de départ tout simplement.

Il faut encadrer ça pour pouvoir trouver une limite:

Citation :

f(x) = 2x - sin(x)

c) -sin(π/2) = 1 Allons regarde ce que tu écris . π/2 est en haut de ton cercle trigo, donc sont sinus est égale à 1 mais il y a un "-" devant ton sinus là. Donc -sin(π/2) = -1


d) Nickel


e)

Citation :

)-x ≤ xsin(y) ≤x
lim_x-->+∞f(x) = 2

Voyons MrTheYo!! On a trouvé -x ≤ F(x) ≤x (si on pose y=x/2)

Quelle est la limite de la fonction G(x)=x lorsque x tend vers 0???? Fais simple .


g)

Citation :

F(x)=Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Racine(9x²+1)*Racine(9x²+1)
[Racine(9x²+1)]²= 9x² + 1

Hé ho l'asticot, regarde ton calcul . Tu trouves que [Racine(9x²+1)]²= 9x² + 1, donc d'après la première ligne que tu donnes, on a:

F(x)= [(9x² + 1) - 9x² ] / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Ça se simplifie encore un peu au numérateur et après tu vas pouvoir calculer la limite de façon agréable car tu connais la limite du dénominateur lorsque x tend vers l'infini.


Aller un dernière effort, c'est presque terminé .

a) f(x) = 2x - sinx C'est bien maintenant?
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]
-1 < [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)] < 1
-1/(2x²-(sin(x))²) < 2x - sin(x) < 1/(2x²-(sin(x))²)


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = -1
--> Le pire c'est que j'ai fait le cercle est je l'avais bien placé en bas....

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :


lim_x-->+∞f(x) = Pi/2


f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
[9x² + 1 - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
1 / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Il ne reste plus, là, qu'à trouver la limite du dénominateur si j'ai bien compris n'est-ce pas?

Oublie ce que tu as fait pour la question a) !!!! Je t'ai dit il y a bien longtemps que l'entité conjugué n'avais pas lieu d'être ici car nous n'avions pas de racine carrée tout simplement.

Donc maintenant, tu connais un encadrement de la fonction Sinus. Cette fonction est comprise entre -1 et 1. Du coup que donne l'encadrement de l'expression F(x) ?


Pour la e), c'est le théorème des gendarme qu'il faut utiliser !!!! Nous voulons calculer la limite lorsque x tend vers 0.

Comment tu applique le théorème des gendarmes vu qu'n a trouvé -x ≤ F(x) ≤x ?



Pour la g),

Citation :

F(x)=1 / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Il ne reste plus, là, qu'à trouver la limite du dénominateur si j'ai bien compris n'est-ce pas?

C'est tout à fait ça! Aller plus que 3 et on va s'en sortir . Les vacances n'ont pas fait que du bien on dirait . Va falloire se remettre dans le bain et faire des révision sur les limites de fonction et les encadrements de fonctions.

a) f(x) = 2x - sinx C'est bien maintenant?
--> lim f(x) (x --> +∞) = ?

lim (x --> +∞) 2x = +∞ --> Méthode standard
lim (x --> +∞) -sin(x) = -1
La fonction sinus n'a pas de limite en +∞ (je rédige ça comme cela?)
DONC forme indéterminée de type "sinus n'a pas de limite en +Infini"
Je vais tenter d'employer la méthode de la quantité conjuguée :

-->[(2x - sin(x)) * (2x + sin(x))] / [1 * (2x + sin(x)]
= [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]

Avec :
lim (x tend vers + ∞) 2x² = +∞
lim (x tend vers + ∞) -(sin(x))² = Pas de limite.

Citation :

Pour s'en sortir, il va falloir minorer ton expression et utilisé une conséquence du théorème d'encadrement.

Théorème de l'encadrement? Ah oui, théorème des gendarmes... (M'en suit rendu compte en faisant le calcul..)

f(x) = [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)]
-1 < [2x² - (sin(x))²] / [2x + sin(x)] < 1
Donc lim_x-->+∞ f(x) = +∞


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = -1
--> Le pire c'est que j'ai fait le cercle est je l'avais bien placé en bas....

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :

Il suffit de trouver la limite en 0 de x et -x et logiquement via théorème des gendarmes : les deux tendent vers 0 donc :



f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
[9x² + 1 - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
1 / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Je n'ai plus qu'à trouver la limite du dénominateur soit :
[(Racine(9x²+1) + 3x]
lim_x-->+∞ Racine(9x²+1) = +∞
lim_x-->+∞ 3x = +∞
donc :
lim_x-->+∞ [(Racine(9x²+1) + 3x] = +∞
donc :
lim_x-->+∞ f(x) = +∞


J'ai toujours eu des grosses lacunes sur les limites.... et faudrait mieux que je sois calé là-dessus ce week-end...

La question a) n'a pas eu de prise ne compte de mon commentaire . Recommence la question a) à 0 en ne parlant à aucun moment d'entité conjuguée. Encadre le sinus simplement puis ajoute ce qui manque pour retrouver F(x) encadrée entre 2 fonction et avec le théorème des gendarmes tu vas pouvoir conclure que F(x) tend bien vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.

Citation :

donc limx-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = -1
--> Le pire c'est que j'ai fait le cercle est je l'avais bien placé en bas....

J'en doutais même pas mais tu fais beaucoup d'erreur d'étourderies en ce moment et va falloir savoir à quoi cela est dû pour y remédier. Trop rapide? Pas assez concentré? Manque de relecture?

Citation :

Il suffit de trouver la limite en 0 de x et -x et logiquement via théorème des gendarmes : les deux tendent vers 0 donc :

limx-->0 f(x) = 0

Ba tu vois quand tu veux, tu peux me faire un truc nickel chrome .

Citation :

lim_x-->+∞ [(Racine(9x²+1) + 3x] = +∞
donc :
lim_x-->+∞ f(x) = +∞

Erreur d'étourderie! A quoi est égale F(x) ??

a) On a ici une forme indéterminée : la fonction sinus n'ayant pas de limite en + ∞.
J'encadre le sinus :


J'applique ici le théorème des gendarmes :

lim_x-->+∞ -1 + 2x = lim_x-->+∞ 2x = +∞
lim_x-->+∞ 1 + 2x = lim_x-->+∞ 2x = +∞
DONC :
lim_x-->∞ f(x) =∞


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = -1
--> Le pire c'est que j'ai fait le cercle est je l'avais bien placé en bas....

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :

Il suffit de trouver la limite en 0 de x et -x et logiquement via théorème des gendarmes : les deux tendent vers 0 donc :



f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
[9x² + 1 - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
1 / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Je n'ai plus qu'à trouver la limite du dénominateur soit :
[(Racine(9x²+1) + 3x]
lim_x-->+∞ Racine(9x²+1) = +∞
lim_x-->+∞ 3x = +∞
donc :
lim_x-->+∞ [(Racine(9x²+1) + 3x] = +∞
donc :
lim_x-->+∞ f(x) = 0


Je suis pas à l'aise avec les limites et oui, probablement fatigue ou autre...

Bonjour,

Le w-e est porteur de repos, la preuve !

Citation :

-1 + 2x ≤ f(x) ≤ 1+2x


J'applique ici le théorème des gendarmes :

limx-->+∞ -1 + 2x = limx-->+∞ 2x = +∞
limx-->+∞ 1 + 2x = limx-->+∞ 2x = +∞ Ceci n'est pas utilie car le théorème des gendarme nous dit que si c'est minoré par une fonction qui tend vers +∞ alors ça tend vers +∞ (on ne peut pas être au-dessous de quelque chose qui tend déjà vers +∞)
DONC :
limx-->∞ f(x) =+∞

Nickel!

Citation :

limx-->+∞ [(Racine(9x²+1) + 3x] = +∞
donc :
limx-->+∞ f(x) = 0

Rien n'a redire! Avec un peut d'entraînement cela devrait le faire ne t'inquiète pas.

Ce qu'il faut retenir ici c'est toutes les méthode pour trouver les limites:

- minoration par une fonction qui tend vers +∞ (ou majoration par une fonction qui tend vers -∞, celle-ci est plus rare)

- encadrement par deux fonctions qui tendent vers la même limite (application du théorème des gendarmes)

- limite de fonctions composées

- ne pas oublier les méthode de calculs: entité conjugué (seulement utile lorsqu'il y a des racines carrées)

- ne pas oublier les fonction usuel qui n'ont pas de limite: Sinus et Cosinus.

- ne pas oublier les indétermination: "∞-∞", "0/0", "∞/∞", "0*∞" ou "∞*0", "fonction n'ayant pas de limite"

C'est pas ce qu'il y a de plus simple les limites mais c'est une partie du programme qui n'est vraiment à maîtriser car elle sert autant pour les fonction que pour les suites numériques. Donc n'hésites pas à faire des exercices dessus ou poser tes questions.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

a) On a ici une forme indéterminée : la fonction sinus n'ayant pas de limite en + ∞.
J'encadre le sinus :


J'applique ici le théorème des gendarmes :

lim_x-->+∞ -1 + 2x = lim_x-->+∞ 2x = +∞

Citation :

Le théorème des gendarme nous dit que si c'est minoré par une fonction qui tend vers +∞ alors ça tend vers +∞ (on ne peut pas être au-dessous de quelque chose qui tend déjà vers +∞)

DONC :
lim_x-->∞ f(x) =∞


b) f(x) = (2ex - 1) / (ex + 3) --> lim (x --> +∞) = ?

--> lim (x --> + ∞) 2ex - 1 = +∞
--> lim (x --> + ∞) ex + 3 = +∞
DONC : forme indéterminée de type : "∞ / ∞".

f(x) = [2ex (1 - (1/(2ex))] / [(ex (1 + (3/ex)] --> Méthode : Factoriser terme de plus haut degré
f(x) = [2ex (1 - 2e-x)] = 2 * [(1 - 2e-x) / (1 + 3e-x)]

lim (x --> + ∞) (1 - 2e-x) = 1 (car e-x tend vers 0)
lim (x --> + ∞) (1 + 3e-x) = 1
lim (x --> +∞) 2 = 2
DONC :
lim (x --> +∞) f(x) = 2


c) lim (x --> π/2) cos(x) = 0
et

Citation :

x-π/2 tend vers 0 en π/2

Citation :

Nous sommes devant une forme indéterminée du type "0/0". As-tu une idée pour lever l'indétermination? (une piste: pense au taux d'accroissement...)

Taux d'accroissement :

Citation :

lim_x->y[F(x)-F(y)]/(x-y) = F'(y) lorsque F est dérivable en y.

Avec ici, y = π/2 et, ici, on a f(x) = cos(x)

On calcule donc f(y) = [cos(y)] / (y - π/2)
DONC :
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ]/(x-π/2) = F'(π/2)
lim_x->y[cos(x)-[cos(π/2)] / (π/2 - π/2) ] = F'(π/2)(x-π/2)

Citation :

On en déduit donc que la limite en π/2 de F(x) est égale à la dérivée de G en π/2, c'est à dire G'(π/2) et ceci par définition de la limite du taux d'accroissement.

avec g(x) = cos(x) donc g'(x) = -sin(x)
donc g'(π/2) = -sin(π/2)
donc lim_x-->π/2 f(x) = -sin(π/2) = -1
--> Le pire c'est que j'ai fait le cercle est je l'avais bien placé en bas....

d)

Citation :

Un conseil: utilise la limite d'une fonction composée

Méthode : Limite d'une fonction composée
Ici, nous sommes sous quel type d'indétermination?

Citation :

Pour la d), les deux fonction composant cette fonction sont x |-> e^x et x |-> x² +2

Il s'agit d'une composition de fonction et non d'une multiplication de fonction. Donc la limite de GoF(x) en a. On calcul d'abord la limite de F(x) en a puis la limite de G(x) en F(a).

Dans un premier temps :

lim_x-->-∞ e^x = 0
lim_x-->-∞ x²+2 = +∞

Citation :

Et pour avoir la limite de H(x)=GoF(x) en -∞, il nous reste donc à calcul la limite de G(y) lorsque y tend vers +∞ (vu que F(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers -∞)

avec g(x) = e^y
lim_x-->+∞ g(x) = +∞

e)

Citation :

Pour la e), il n'existe pas de limite au sinus en plus ou moins l'infini donc il s'agit d'une indétermination "la limite n'existe pas"

Citation :

il existe des encadrements du Sinus

Citation :

Quelque soit le réel y, 1≤Sin(y)≤-1

Or, on nous dit dans l'énoncé que f est définie sur ]0 ; +∞[
donc, on s'intéresse à ce cas :

Il suffit de trouver la limite en 0 de x et -x et logiquement via théorème des gendarmes : les deux tendent vers 0 donc :



f) f(x) = (x² + 3) / (x + 1) en +∞

lim (x --> +∞) (x²+3) = +∞
lim (x --> +∞) (x+1) = +∞
DONC : Indéterminé de type : "∞ / ∞"

f(x) = [x²(1+(3/x²))] / [x(1+(1/x)] --> Méthode : Factoriser le terme le plus fort (plus haut degré)
f(x) = x * [1 + (3/x²)] / [1 + (1/x)]

lim (x --> +∞) [1 + (3/x²)] / [1 / (1/x)] = 1
lim (x --> +∞) x = +∞
DONC :

lim (x --> + ∞) f(x) = +∞

g) Je l'avais fait mais j'ai du oublier de le poster vu que je devais le faire et éditer après...

Citation :

pense à l'expression conjugué car tu as une forme du type "∞-∞"

car :
lim (x --> +∞) -3x = -∞
lim (x --> +∞) RacineCarrée(9x²+1) = +∞

Méthode de l'expres​sion(ou de la quantité) conjuguée :

[(Racine(9x² + 1) - 3x][Racine(9x²+1) + 3x] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]
[[Racine(9x²+1)]² - 9x²] / [ 1 * (Racine(9x²+1) + 3x]


[Racine(9x²+1)Racine(9x²+1) - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
[9x² + 1 - 9x²] / [(Racine(9x²+1) + 3x]
1 / [(Racine(9x²+1) + 3x]

Je n'ai plus qu'à trouver la limite du dénominateur soit :
[(Racine(9x²+1) + 3x]
lim_x-->+∞ Racine(9x²+1) = +∞
lim_x-->+∞ 3x = +∞
donc :
lim_x-->+∞ [(Racine(9x²+1) + 3x] = +∞
donc :
lim_x-->+∞ f(x) = 0


Ah enfin fini! Je pense avoir saisi certaines subtilités et surtout celles avec les sinus et les encadrements. Merci pour ton récapitulatif. Il a été imprimé et, l'interro étant proche, il va servir tout ce week-end à réviser.
Merci de ta patience en tout cas et merci pour les conseils et les remarques!