Intégration par partie

Bonjour!

Je pensais avoir compris l'intégration par partie mais ce n'est pas vraiment le cas. J'ai lu tes explications mais je n'y arrive toujours pas

But de l'exercice:approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsque a appartient à l'intervalle [0,+Inf[.

A. Soit a dans l'intervalle [0,+Inf[; on note I₀(a)= Intégrale (que je note ~) de 0 à a de dt/(1+t) et pour k appartient à N*, on pose:

I_k(a)=~[0 à a] [[(t-a)^k]/(1+t)^k+1]dt

1. Calculez I₀(a) en fonction de a. (Je précise que pour I₀, le 0 est en indice!)

I₀(a)=~[0 à a] dt/(1+t)=[ln(|1+t|)] de0 à a
=ln(1+a)-ln1
=ln(1+a)

2. A l'aide d'une intégration par partie, exprimez I₁(a) en fonction de a.

Alors là, je ne suis sûre de rien!
I₁(a)=~[0 à a] [(t-a)/(1+t)²]dt
On pose u(t)=t-a et dv(t)=dt/(1+t)²
soit du(t)=dt et v(t)=-1/(1+t)
donc I₁(a)=[uv] de 0 à a -~[0 à a] vdu
=[(a-t)/(1+t)] de 0 à a -~[0 à a] -dt/(1+t)
=-a-[1/(1+t)²] de 0 à a
=-a+[-1/(1+a)²]+1

3. A l'aide d'une intégration par partie, démontrez que I_k+1(a)=[(-1)^k+1a^k+1]/(k+1)]+I_k(a) pour tout k appartient à N*

J'ai essayé et je n'ai pas réussi! Impossible de trouver les primitives à partir de u et v que j'avais posé (calculs trop compliqués )
Je note la suite de l'exercice.

4. Soit P le polynôme défini sur R par P(a)=[(x⁵)/5]-[(x⁴)/4]+[(x³)/3]-[x²/2]+x. Démontrez en calculant I₂(a), I₃(a) et I₄(a), que I₅(a)=ln(1+a)-P(a)

B.1. Soit J(a)=~[0 à a] [(t-a)⁵]dt. Calculez J(a).

J(a)=[[(t-a)⁶]/6] de 0 à a
=(a⁶)/6

2.a. Démontrer que pour tout t appartenant à [0,a[, [[(t-a)⁵]/(1+t)⁶] ≥ (t-a)⁵
b. Démontrer que pour tout a appartenant à [0,+Inf[, J(a) ≤ I₅(a)≤ 0
3. En déduire que pour tout a appartenant à [0,+Inf[, |ln(1+a)-P(a)| ≤ (a⁶)/6
4. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel P(a) est une valeur approchée de ln(1+a) à 10^-3 près.

Re-bonjour,

Voilà un exercice très intéressant. Une question parmi d'autre qu'on peut se poser avant même de faire l'exercice, c'est:

A quoi ça sert d'approcher Ln(1+a) sous forme d'un polynôme (peu importe le degré de celui-ci dans un premier temps)?

Il y a une raison simple en fait mais après, je ne sais pas si on te la donnée c'est pour cela que je vais ne parler un peu car savoir à quoi sert ce qu'on fait c'est souvent plus facile pour l'assimiler ou motiver la démarche au moins. Alors admettons que je t'enlève toute forme d'appareil te permettant de faire du calcul numérique. Il ne te reste plus qu'une feuille et un crayon pour effectuer des calculs donc!

Maintenant, la question piège, calcule-moi Ln(2) à 10^-2 près? Infaisable! Car on n'a pas de méthode de calcul pour effectuer cette opération à la main. Pourtant des tables de logarithme (en base 10 ou népérien) existe alors comment sont-elles faites? Et bien on approche notre logarithme par une fonction dont on sait faire les calculs à la main tout simplement! Et rien de mieux qu'un sympathique polynôme car élever des nombre à une puissance donner, on sait faire sans machine (même si cela peut prendre du temps). Voilà l'utilité de ce genre de démarche scientifique et c'est ce qu'utilise ton ordinateur ou un logiciel calcul formel pour te sortir un résultat cohérent de ton logarithme népérien. Bon après, la puissance des ordinateur permettre de l'approcher à une précision telle que tu ne feras pas de différence avec la valeur exacte (car la valeur exacte existe bien entendu).

Ceci dit, passons à ton exercice. La première question est tout à fait juste et la méthode aussi (les valeurs absolu font plaisir à voir d'ailleurs et il en manquerait plus qu'une petite phrase de justification pour dire que 1+a est positif car a l'est tout simplement pour avoir une rédaction parfaite).

Pour la question 2) cela se corse. Alors j'avais parlé d'intégration par partie donc un autre exercice mais c'était sous forme de rappel sur le fond et donc son utilité mais pas sur la forme. En en l'occurrence c'est la forme qui pose un léger problème. Alors essayons au lieu de subir les calculs (et donc l'intégration par partie) de les comprendre et j'espère qu'en les comprenant son application sera plus logique et intuitive qu'elle ne l'est actuellement.

Alors, jusqu'à présent et depuis la 1ère, tu as appris à faire des dérivation de fonction à moins que tes souvenirs ne remonte pas si loin et s'arrête à la terminal ou la dérivation se mélange un peut à l'intégration. Cependant, tu as vu la dérivation d'une multiplication et c'est à partir de là que nous allons pouvoir comprendre d'où vient l'intégration par partie. Le lien entre la dérivation est l'intégration sont très grands comme tu le sais déjà mais là cela prend encore plus de sens car la dérivation est vraiment au service de l'intégration. Regarde:

Si je prend u et v deux fonctions. Je les considère continue et dérivable sur un ensemble I. Ainsi je peux définir la dérivée de leur produit pour x appartenant à I:

[u(x)*v(x)]'=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) (on constate déjà que nos fonction u et v sont des fonction tout ce qu'il y a de plus banal, il n'y a pas de dx à l'intérieur par exemple)

Maintenant, si j'intègre cette égalité sur un intervalle J inclus dans I, on a:

∫_J [u(x)*v(x)]' dx= ∫_J [u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) ] dx

Maintenant, on sait que l'intégrale est linéaire c'est à dire que l'intégrale d'une addition est égale à l'addition des intégrale. Par conséquent, on a:

∫_J [u(x)*v(x)]' dx= ∫_J u'(x)*v(x) dx + ∫_J u(x)*v'(x) dx

Maintenant, si j'isole l'un des deux termes de gauche, on arrive à l'expression de notre intégration par partie. Sa démonstration est donc élémentaire mais encore faut-il bien la comprendre pour pouvoir l'appliquer.

alors pour ta question 2), ton intuition est tout à fait juste, il faut bien dériver le numérateur, on pose donc u(t)=t-a pour t dans l'intervalle d'intégration. Et il nous reste plus de choix pour v' qui sera donc v'(t)=1/(1+t)²

J'insiste fortement sur le fait, qu'il s'agit bien de v'(x) et non de dv(x) qui n'a pas grand sens en soi. Je sais que pour le changement de variable la "dérivation formelle" dx=f(u)*du est déconcertante car on ne sait pas comment cela se passe concrètement mais, il ne faut pas confondre cette "dérivation formelle" avec une dérivation d'une fonction u ou v.

Cependant, tu t'es repris ensuite en calculant les bonne primitive et les bonne dérivée: u'(t)=1 et v(t)=-1/(1+t). Ton application de l'intégration par partie est juste. Par contre, n'oublie pas les variables car [uv] pris entre 0 et a c'est pas très juste dans le sens où c'est u(x)*v(x) qui va être calculs pour x=0 et x=a donc autant bien faire apparaître la variable x ou t pour bien comprendre de quoi on parle.

Par contre le dernier calcul est inexacte car tu n'as pas remarqué que ton intégrale qui reste n'est autre que l'intégrale calculer en 1) tout simplement. Je te laisse donc reprendre ton calcul.


Pour la 3), on voit la puissance de l'intégration par partie dont je parlais dans mon autre message pour nous mettre en évidence des relation de récurrence. Lorsqu'on a une telle inégalité à montrer, il faut rester concentré et faire apparaître ce qu'on veut exactement à la fin. Je m'explique:

On par du membre de gauche, et on regarde ce qu'on vient de faire à la question 2). Ensuite, on s'inspire de la méthode avec dans l'optique de mettre en évidence I_k(a) c'est à dire que l'intégrale qu'il doit nous rester après intégration par partie n'est autre que I_k(a). Donc il faut écrire I_k(a) à côté et regarder qu'est-ce qu'il faut intégrer et quelle puissance de polynôme il va falloir baisser pour avoir une puissance k à la place d'une puissance k+1. Je 'ai presque donné la méthode là d'ailleurs . Regarde bien la question 2), c'est le même principe avec quasiment les mêmes fonctions.

Nous continuerons les autres questions par la suite.

Bon courage d'ici là!

Re-bonjour

Citation :

les valeurs absolu font plaisir à voir

Ben oui, je fais attention à ce que tu dis quand même

Bon alors pour les dv et du etc... C'est ce que je pensais aussi! J'ai toujours utilisé des u' et des v'! Je sais pas ce qui leur a pris cette année de changer!! C'est même marqué dans le cours d'utiliser dv et du!! C'est pour ça que j'y comprenais plus rien (enfin, c'est pas la seule raison mais bon... )

Enfin bref, je reprend la question 2):

I(a)=~[0 à a] [(t-a)/(1+t)²]dt
On pose u(t)=t-a et v'(t)=1/(1+t)²
soit u'(t)=1 et v(t)=-1/(1+t)
donc I1(a)=[u(t)*v(t)] de 0 à a -~[0 à a] v(t)*u'(t)
=[(a-t)/(1+t)] de 0 à a -~[0 à a] -1/(1+t)
=ln(1+a)-a

Maintenant, question 3):

I1_k+1(a)=~[0 à a] [(t-a)^k+1/(1+t)^k+2]dt

On pose u(t)=(t-a)^k+1 et v'(t)=1/(1+t)^k+2
soit u'(t)=(k+1)(t-a)^k et v(t)=-1/[(k+1)(1+t)^k+1]
I_k+1(a)=[(t-a)^k+1]/[(k+1)(1+t)^k+1] de 0 à a - ~[0 à a] -[[(k+1)(t-a)^k]/[(k+1)(1+t)^k+1]dt
=[a^k+1/[(k+1).1^k+1]-~[O à a] -[(t-a)^k/(1+t)^k+1]dt
=[[(-1)^k+1a^k+1]/(k+1)]+I_k(a), pour tout k appartenant à N*



4. Alors pour cette question, je n'ai pas eu de difficultés particulières! J'ai réussi à démontrer la relation.
B1. J'ai déjà répondu
Par contre, c'est pour les inéquations, je n'ai jamais vraiment su comment faire! A chaque fois que je fais une démonstration, j'ai quasiment toujours faux
Alors, heu si tu veux bien encore m'expliqué...

Bonjour,

Je ne suis jamais avare d'explications bien au contraire (c'est d'ailleurs un soucis pour certain vu la longueur de mes messages mais bon, on se refait pas ). Je ne doute pas d'ailleurs que tu fais attention à ce que je dis .

Par contre, je serais très curieux d'avoir la rédaction de ton cours sur les intégration par partie si tu as du ton pour le copier dans la partie cours car cela m'intéresse de savoir comment évolue certain cours en fonction des professeurs. Cela me permettra peut-être de pouvoir t'expliquer les notation de ton professeur et le lien avec celle que tu connais depuis la Terminale ce qui ne serait pas du luxe car savoir de quoi on parle est vraiment important en mathématiques. Car es mathématiques c'est avant tout un langage qu'on apprend alors si on change l'alphabet en cours de route, j'imagine assez bien que tu puisses te perdre.

Sinon, pour ma part ta rédaction est juste maintenant et la question 2) avec donc!

La question 3) est excellente mis à part un oublie (je pense du au recopiage) du "-" devant le 1 à cette ligne ci:

Citation :

=[a^k+1/[(k+1).(-1)^k+1] - ..

Car (-a)*^k+1=(-1)^k+1*a^k+1 ce que tu donne bien la valeur en 0 de ta primitive. Mis à pas cela c'est juste!

Pour la 4), si tu trouves la bonne relation c'est que tes calculs doivent être justes en effet. Toute fois fait attention au erreur qui se compense, on ne sait jamais deux vérification valent mieux qu'une de temps en temps. Tu te sert d'ailleurs de la question 3) pour conclure rapidement à cette question 4).

La B.1) était juste en effet. C'est une question cadeau d'ailleurs mais si elle est là, c'est qu'elle doit avoir son intérêt il ne faut jamais oublier ce genre de raisonnement.

Pour la question suivante, il y a un soucis dans la question:

Citation :

2.a. Démontrer que pour tout t appartenant à [0,a[, [[(t-a)⁵]/(1+t)⁶] ≥ (t-a)⁵

Le "+" en rouge n'est-il pas en fait un "-" ??? Car au vu de la question suivante et de la définition de I₅(a), je dirais bien que la logique voudrait qu'il s'agisse bien d'un "-". Si ce n'est pas le cas dans ton énoncer c'est que celui-ci contient une erreur.

D'ailleurs, est-ce que tu comprends comment j'arrive à dire cela en regardant la question suivante? C'est important de voir l'enchaînement des questions dans un problème car admettons que tu ne sache pas faire la question vu que celle-ci est de la forme "Démontrez que ..." et bien tu as le résultat qui est donné pour faire la question suivante.

Bon courage!

Bonjour!

Je t'enverrai mon cours, pas de problème pour ça! Il faut juste que tu attendes que je rentre chez moi, je le scannerai, ce sera moins fatigant!

Pour la question 3), c'est pas un oubli lors du recopiage! Je comprend pas pourquoi ce serait -1 d'ailleurs! Je m'explique:

I_k+1(a)=[(t-a)^k+1]/[(k+1)(1+t)^k+1] de 0 à a - ~[0 à a] -[[(k+1)(t-a)^k]/[(k+1)(1+t)^k+1]dt
= [(a-a)^k+1/(k+1)(1+a)^k+1]-[(0-a)^k+1/[(k+1)(1+0)]]^k+1
=a^k+1/[(k+1).1^k+1]-.....
=[(-1)^k+1.a^k+1]/(k+1)-.....

Et pour la question 2a), c'est bien un +! Alors si tu dis que c'est une erreur, je te crois mais je vois pas comment tu as deviné lol

Bonne journée!

Bonjour,

Citation :

= [(a-a)^k+1/(k+1)(1+a)^k+1]-[(0-a)^k+1/[(k+1)(1+0)]]^k+1
=a^k+1/[(k+1).1^k+1]-.....

Il y a un problème entre ces deux lignes là, en effet:

(0-a)^k+1= (-a)^k+1= [-1*a]^k+1= (-1)^k+1*a^k+1

Ce qui explique cette erreur là.

Pour la question 2)a) c'est une erreur en effet mais de ma part, vitesse et précipitation ont fait que je n'ai pas bien regarder toutes les données du problème et surtout le signe du numérateur en l'occurrence. En effet, si je considère t dans l'intervalle [0;a], j'en déduit que (t-a) est donc négatif et non positif comme je l'avais cru!

Avec cela, tu devrait pouvoir conclure cette question car 1+t≥1 => (1+t)⁶≥1 => 1/(1+t)⁶≤1

La conclusion est immédiate pour cette question.

Je m'excuse donc pour mon erreur qui était due en fait à une mauvaise lecture des I_k où j'avais lu (1-t)^k+1 au dénominateur au lieu de (1+t)^k+1. Mon erreur confirme le fait qu'il faut toujours se relire avant de valider un résultat . Toujours apprendre de ses erreurs comme on dit.

Bon courage pour la suite! La question suivante est quasi immédiate par croissance de l'intégrale par exemple .

Bonjour!

Je ne comprend toujours pas! Qu'est-ce que tu fais du - qui se trouve devant?

..... -[(0-a)^k+1/[(k+1)(1+0)^k+1]
=..... -[-a^k+1/[(k+1).1^k+1
=..... -[(-1)^k+1a^k+1]/(k+1)

Pour la question 2a), j'ai compris mais pour la 2b, comment J(a)=a ⁶/6 peut-il être négatif alors que a appartient à [0,+Inf[??
Je vais essayé de démontrer, mais c'est pas gagné lol! Est-ce qu'il existe une méthode pour les inéquations ou est-ce que c'est au feeling qu'on arrive à les résoudre? Parce que j'ai aucun feeling avec les maths

Ah si, j'ai compris pour J(a)! En +, tu l'as marqué, par croissance de l'intégrale!

Pour tt a appartenant à [0,+Inf[, on a vu que (t-a)⁵<0
donc par croissance de l'intégrale, J(a)<0
mais comment on fait apparaître le < ou égal? Parce que là c'est strictement inférieur à 0. Et comment on démontre que I₅(a)<0?

Je note > pour >ou égal, ce sera + simple!
a>0 => 1+a>1 => ln(1+a)>ln1 => ln(1+a)>0
Il faudrait donc que P(a)>ln(1+a) pour que I₅(a)<0
Mais pour le démontrer...
Surtt qu'il faut aussi démontrer que J(a)<I₅(a)<0

Bonsoir,

Alors pour ta première question, je ne comprenais pas d'où venait le "-" que tu avais mais j'ai fini par comprendre :

Citation :

On pose u(t)=(t-a)^k+1 et v'(t)=1/(1+t)^k+2
soit u'(t)=(k+1)(t-a)^k et v(t)=-1/[(k+1)(1+t)^k+1]

Le "-" en rouge ne s'est pas répercuter dans ton intégration par partie dans sa totalité. En effet, tu l'as bien mis en évidence dans la nouvelle intégrale mais tu l'as oublié dans la partie déjà intégrée:

Citation :

I_k+1(a)=[-(t-a)^k+1]/[(k+1)(1+t)^k+1] de 0 à a - .....

Il manque le "-" rouge dû à l'expression v(t) tout simplement.

Voilà qui réglera le problème et te permettra de faire plus attention toi aussi à l'avenir lorsque tu fera une intégration par partie .


Alors pour la suite,i l y a une erreur de lecture de ta part:

Citation :

Pour tt a appartenant à [0,+Inf[, on a vu que (t-a)⁵<0

Ceci est vrai si et seulement si on considère t dans l'intervalle [0;a] ce qui est le cas mais il faut le dire car c'est pas parce que c'est écrit dansl 'énoncer qu'il ne doit pas être remarqué! Car si je prend un t en dehors de cette intervale cela peut devenir positif.

Mais tu sais que la croissance de l'intégrale marche aussi pour une inégalité comme celle mis en évidence dans le a) par exemple... Franchement, j'y tiens, lisez les énoncers, ils donnent plus d'indications qu'on peut croire. Ici, on a une question qui est divisée en sous question a) et b) ce qui signifie que la question ne petu pas se faire directement mais qu'en mettant des question intermédiaire elle devient accessible avec votre baggage. Par conséquent, lorsqu'on voit se genre de configuration, il faut se metre dans les conditions et se dire qu'il y a forcément un lien entre la question a) et la b) sinon, on travail dans le vide ce qui est rarement le cas en maths.

De plus, que vaut I₅(a) et J(a)? Que nous dit la question a)? Que sait-on de la "fonction intégrale" (je met des guillemet car vous n'avez pas l'habitude de l'appeler comme cela mais il s'agit pourtant d'une fonction comme une fonction carré, racine ou exponentielle malgré les apparence)?

Conclusion, ne cherche pas à faire compliquer mais laisse toi guider par l'énoncer tout simplement:

- J'ai ça
- Je veux ça
- Qu'ai-je comme bagage mathématique pour faire le lien

C'est toujours le même état d'esprit en maths après, il faut adapter bien entendu à chaque question mais c'est une démarche très scientifique en tout cas.

Bon courage!

Bonjour!

Oui, c'est vrai, tu as raison, je ne lis pas assez les énoncés! Je promet de remédier à ce vilain défaut.
Pour la 2b) (je note <_ et >_ pour inférieur (supérieur) ou égal):
Pour tt t appartenant à [0,a[, [(t-a)⁵/(1+t)⁶]>(t-a)⁵
Pour t appartenant à [0,a[ et pour a appartenant à [0,+Inf[ ainsi que par croissance de l'intégrale, on obtient: J(a)<_I₅(a) (grâce à la question a)
or, I₅(a)=ln(1+a)-P(a)
Pour a appartenant à ]0,+Inf[, ln(1+a)>_0 et -P(a)<_0 car le coefficient le plus élevé du polynôme est négatif (est-ce une justification suffisante?
Pour a=0, ln(1+a)<_0 donc I₅(a)<_0
Comment justifie-t-on que ln(1+a)-P(a)<_0 lorsque a appartient à ]0,+Inf[?

Bonjour,

Un vilain défaut qui est très courant ne t'inquiète pas et ne se remédie pas en peu de temps hélas (on est très conditionné par nos propres réflexes) mais avec le temps ça finira par le faire .

Alors la question b) est quasiment juste en effet, il ne manque plus que la partie de droite. Mais en fait, c'est encore la croissance de l'intégrale qui va faire effet, pour montrer que I₅(a)≤0.

Alors comment le sentir? Car c'est bien beau de l'affirmer mais en devoir faudra bien trouver un moyen de savoir comment trouver à partir d'un énoncer comment les choses s'entremêlent.

Et bien cela vient de la démarche de la question a). Je sais que j'ai sans doute un peu trop diluée cette question et c'est sans doute pour cela que tu ne t'en es pas assez imprégnée mais on va remédier à cela .

En effet, comment a-t-on établie l'inégalité a)? Du coup, de quel signe est (t-a)⁵/(1+t)⁶ pour t dans l'intervalle [0;a[ et pour a dans l'intervalle [0;+Inf[?

En fait, dans la question a) rien ne t'empêche d'être plus précise que la question elle-même en ajoutant le signe de toutes ses inégalités. Ainsi la question b) tombe d'elle-même comme tu vas le constater.

Bon courage! Et n'hésite pas si des choses ne sont pas clairs à me demander, je peux toujours expliquer autrement au cas où.

Bonjour!

Ok j'ai compris pour la 2b)
Pour la 3):
|I₅(a)|=|ln(1+a)-P(a)| or I₅(a<_0 => |I₅(a)|_>0
J(a)=a⁶/6=|J(a)| (jsuis pas sûre de ça lol)
D'après 2b),pour tt a appartenant à [0,+Inf[ et tt t appartenant à [0,a[,
J(a)<_I₅(a) alors |J(a)|_>|I₅(a)
soit |ln(1+a)-P(a)|<_a⁶/6
Et pour la 4),on a vu que:
0<_|ln(1+a)-P(a)|<_a⁶/6
P(a)<_ln(1+a)<_a⁶/6+P(a)
Et donc, l'intervalle, ce serait ça? [P(a),a⁶/6+P(a)]?

Bonjour,

Alors, on est en plein dans le mille sauf qu'il manque un brin de rédaction car une valeur absolue est toujours positive donc, tu n'écris rien lorsque tu écris: |I₅(a)|≥0

Par contre, tu as senti tout ce qu'il fallait, il ne manque plus qu'à organiser tout ça.

Alors, on sait d'après 2)b) que J(a)≤I₅(a)≤0 (**) pour a dans [0;+Inf[.

Vu que tout est négatif, on sait que |I₅(a)|=-I₅(a) et que |J(a)|=-J(a) tout simplement.

Du coup, il faut multiplier par (-1) toute l'inégalité (**) ce qui donne: -J(a)≥-I₅(a)

C'est à dire |J(a)|≥|I₅(a)|

Après le reste est du calcul et tu l'as bien fait pour cette question là. Et on arrive donc à:

Pour tout a dans [0;+Inf[, on a: |ln(1+a)-P(a)|≤a⁶/6

Par contre, pour la question 4), je pense qu'il y a une erreur d'interprétation. En effet, on te demande un intervalle pour a (qui est notre seule variable) pour lequel, on aurait Ln(1+a) proche de P(a) à 10^-3 près.

Qu'est-ce que cela signifie concrètement que P(a) soit une valeur approchée de Ln(1+a) à 10^-3 près? Comment tu pourrais écrire cela sous forme d'inégalité (sans te soucier des questions précédentes, je cherche juste une explicitation mathématique de la question ne fait).

Bon courage!

Bonjour!

Merci pour la question 3)! J'avais répondu sans vraiment comprendre lol mais maintenant c'est bon!

Alors pour la 4), est-ce que l'inégalité ce serait:

-P(a).10^-3<_ln(1+a)<_P(a).10³

Mais, juste une question comme ça. Est-ce qu'on peut dire que la valeur approchée serait la limite de ln(1+a) quand a tend vers P(a)? Juste pour savoir, parce que ça me fait penser à ça.

Bonjour,

En fait, tu n'as pas une bonne notion de ce qu'est une valeur approchée à première vu.

Prenons un exemple simple, je dis que 3.141 est une valeur approchée de Pi à 10^-3 près. Pourquoi?

Car 3.141-0.001≤Pi≤3.141+0.001

C'est à dire que |Pi-3.141|≤0.001=10^-3

Je pense que l'idée d'approcher un nombre avec une précision donnée sera plus clair sur cette exemple là.

Maintenant, si tu as compris le raisonnement, pour quelles valeurs de a, P(a) encadre Ln(1+a) à 10^-3 près?

Bon courage!

Jai compris l'exemple mais impossible de te dire ce qui encadrerait ln(1+a).
Je mettrais, d'après ton exemple:
P(a)-0,001<_ln(1+a)<_P(a)+0,001
Et après...

Ton encadrement est tout à fait cohérent.

Maintenant, nous avons fait une question 3) avant la 4) et par conséquent, on connaît déjà une majoration de |Ln(1+a)-P(a)| sachant que nous voulons arriver à une majoration par 0.001.

a doit se situer dans quel intervalle pour que cela soit vrai?

Bon courage!

Bonjour!

Je sais ce qu'on cherche mais en fait, c'est vraiment pas clair. Je vois pas trop où l'on veut en venir...
Donc, si je te donne une réponse bizarre, c'est normal lol, vu que je ne comprend pas trop.

Donc d'après 3):
P(a)-0,001<_ln(1+a)<_P(a)+a⁶/6 pour a appartenant à [0,+Inf[

Et donc, je comprend pas comment on peut trouver un intervalle.

Bonjour,

Il faut mieux dire "je ne comprend pas" que dire "je comprend" et être incapable de refaire un exercice ayant un raisonnement similaire.

Alors reprenons la trame de l'exercice. On souhait approcher Ln(1+a) par un polynôme de degré 5 pour la raison simple que le logarithme népérien n'est pas calculable à la main alors qu'un polynôme de degré 5 l'est.

Alors l'énoncer, nous a mis en place certain résultat intermédiaire par des considérations d'intégration. On a trouver un polynôme de degré 5 qui est noté P(a) par notre énoncer mais le soucis restait dans le fait de savoir si ce polynôme approchait réellement Ln(1+a) et si on pouvait avoir un précision de cette approximation assez bonne.

Pour cela rien de plus simple, on calcul la différence des deux et on cherche à la majoré et à la minorer par un nombre qu'on peut rendre aussi petit qu'on le souhaite.

Et après quelque manipulation, nous avons fini par trouver |Ln(1+a)-P(a)|≤a⁶/6 pour a dans l'intervalle [0;+Inf[

Qu'est-ce que cela signifie concrètement cette inégalité? Car je pense que c'est là que se situe le problème.

Et bien, cette inégalité signifie que notre polynôme P(a) approche Ln(1+a) avec la précision a⁶/6.

Pourquoi?

Car si on écrit ce que signifie que la valeur absolue, on arrive à:

-a⁶/6≤Ln(1+a)-P(a)≤a⁶/6

On a donc: P(a)-a⁶/6≤Ln(1+a)≤P(a)+a⁶/6 et là on voit bien que Ln(1+a) est proche de P(a) avec une précision est de a⁶/6.

Bon maintennat, nous voulons une précision de 10^-3.

Est-ce que c'est plus clair déjà? Et si c'est le cas, pourrais-tu conclure sur l'intervalle où doit se situer a pour que la précision soit de 10^-3?

Bon courage!

Bonjour!

Merci encore pour tes explications! J'ai vraiment du mal avec cet exercice lol! En tt cas, il vaut mieux que j'utilise la calculette pour calculer les logarithmes
Heu donc... Je vois toujours pas dans quel intervalle a doit se trouver (ne désespère pas )
Je cherche pourtant, mais je trouve pas.
Est-ce qu'il faut multiplier l'inégalité par 10^-3 pour avoir la précision à 10^-3?
Désolé d'être si lente à comprendre!

Bonjour!

si tu es lente à comprendre c'est que je dois mal m'y prendre. donc ne t'inquiète pas, j'ai plus d'un tour dans mon sac .

Alors essayons un calcul simple indépendant de l'exercice.

Soit a un réel positif, et je considère un réel b, tel que b≤a

Donne-moi une valeur de a pour que b≤10^-3. Puis, j'aimerai trouver un intervalle à l'intérieur duquel se trouverai a pour que b≤10^-3.

Si tu arrives à trouver les deux choses ci-dessus, essaie de faire le lien avec notre exercice à ce moment là. Sinon, on avisera .

Bon courage!

Bonjour!

b<_a pour a un réel positif.
Si a=10^-3 alors b<_10^-3
L'intervalle, ce serait [a-10^-3;a+10^-3]?

Et donc, pour l'exo, il faudrait que a=10^-3?
Peut-être que si tu me donnais la réponse, je verrais un peu mieux et je comprendrais le raisonnement.

Bonsoir,

Alors dans le petite exercice à part, on constate en effet que si a=10^-3, alors on a bien b≤10^-3
Mais on constate aussi que si a≤10^-3, on a bien b≤a≤10^-3
Or a est un réel positif dans mon petit exemple, par conséquent, on a:

b≤10^-3 si 0≤a≤10^-3 c'est à dire a dans l'intervalle [0;10^-3]


Alors maintenant, revenons à l'exercice, on a pas tout à fait "b≤a" mais on a |Ln(1+a)-P(a)|≤a⁶/6

Je pose A=a⁶/6 qui est donc positif ou nul et par conséquent, on a: |Ln(1+a)-P(a)|≤A

Donc allons-y par étape, on veut que |Ln(1+a)-P(a)|≤10^-3 pour que P(a) approche Ln(1+a) à 10^-3 près.

Alors quelle condition a-t-on sur A pour que |Ln(1+a)-P(a)|≤10^-3? Il s'agit d'appliquer l'exemple dans cette question.

Ensuite, dès qu'on aura l'encadrement de A, on replacera A par a⁶/6, et il ne rester plus qu'à résoudre les deux inéquations.

Bon courage!

ps: tu commences à la savoir, je donne rarement les réponses mais ne te décourage pas, tu vas finir par comprendre la démarche et dès que tu auras eu se déclic là tu pourra faire des approximation à merveille .

Bonjour!

Je commence à en avoir marre de cet exercice, c'est pour ça que je voulais la réponse lol! Ca fait tellement longtemps maintenant!
Mais bon, je vais tâcher de répondre à la dernière question!

D'après ce que tu dis, il faut que A se situe dans l'intervalle [0;10^-3].
Donc 0≤A≤10^-3
soit 0≤a⁶/6≤10^-3

On obtient alors:

|Ln(1+a)-P(a)|≤10^-3
|Ln(1+a)≤10^-3+P(a)

et:

|Ln(1+a)-P(a)|≤0
|Ln(1+a)|≤P(a)

donc l'intervalle serait [P(a);10^-3+P(a)]?

Bonjour!

J'ai misé sur ta persévérance, je n'ai pas eu tord à première vu, vu que tu es toujours sur l'exercice. Et c'est une très grande qualité en mathématique, ne la perd pas .

Alors tu as tout écrit en fait mais tu tiens absolument que ton intervalle dépende de P(a) mais P(a) c'est notre approximation donc forcément l'intervalle ne dépendra pas de P(a).

Alors tu écris de façon pertinente:

Citation :

D'après ce que tu dis, il faut que A se situe dans l'intervalle [0;10^-3].
Donc 0≤A≤10^-3
soit 0≤a⁶/6≤10^-3

Et si 0≤a⁶/6≤10^-3, alors |Ln(1+a)-P(a)|≤a⁶/6≤10^-3 et c'est ce qu'on cherche!!!

Donc la nouvelle question qui se pose et qui va permettre de conclure:

A quel intervalle doit appartenir a pour que 0≤a⁶/6≤10^-3 ? (Il n'est plus question de Ln(1+a) ni de P(a) mais seulement de a comme tu le constates ).