Exercice Spé. Cylindre

Salut!
Me voici pour une série d'exercices de spécialité Maths sur les surfaces de l'espace. Ici, un petit exercice avec un cylindre où, je ne comprends pas la dernière question... J'aurais donc besoin d'un petit coup de main svp.


On considère le cylindre d'équation x² + y² = 1 t les points A (0;0;1) et B (4;3;0).
a. Quel est le rayon du cylindre?
b. Préciser l'intersection du cylindre avec le plan d'équation z = 2.
c. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
En déduire les coordonnées des points d'intersection I et J du cylindre et de la droite (AB).


Et voici mes résultats :

a. Un cylindre a pour équation :
avec R le rayon du cylindre.
Ici, on a : x² + y² = 1 donc :
R² = 1 --> R = 1.
Notre cylindre aura donc un rayon égal à 1.


b. Plan d'équation z = 2 donc, plan horizontal.
--> Cette intersection avec notre cylindre sera donc un cercle de rayon 1 et de centre C (0;2;0).


c. Ici, que signifie "représentation paramétrique de la droite (AB)"?

Bonsoir,

Il y a une chose qui me semble bizarre dans ton énoncer même. En effet, pour moi un cylindre est un objet en trois dimension et par conséquent, il a une équation qui met en relation trois variable (x;y;z) et non seulement x et y comme dans cette phrase:

Citation :

On considère le cylindre d'équation x² + y² = 1

Et z où est-il? Bon peut-être que par convention vous ne considérez que des cylindre d'axe (Oz) et par conséquent c'est sous entendu que z est un paramètre libre mais bon je ne trouve pas celà très logique. La véritable équation de notre cylindre d'axe (Oz) et de rayon 1 est:

{x²+y²=1
{zЄR

Donc la rédaction de la question a) n'est pour moi pas tout à fait juste car l'équation d'un cylindre d'axe (Oz) et de rayon R est:

{x²+y²=R²
{zЄR

La rédaction suivante est juste quant à elle. Mais après j'avoue que je ne sais pas comment ton professeur rédige cela mais pour moi ce n'est pas cohérent de donner une équation x²+y²=R² et dire que c'est l'équation d'un cylindre alors qu'on pourrait bien dire qu'il s'agit de l'équation d'un cercle centré en O et de rayon R en deux dimensions. Tu vois le problème de rigueur que je soulève?


Pour le b) avec l'écriture de l'équation d'un cylindre que je t'ai rappelé au-dessus, celà tombe directement sous le sens. En effet, on sait déjà que déterminer une intersection revient à résoudre un système qui ici à donc trois équation à trois inconnues (les deux premières pour l'équation du cylindre et la dernière pour l'équation du plan):

{x²+y²=1
{zЄR
{z=2

Ce qui nous donne bien:

{x²+y²=1
{z=2

Et tu te rend compte qu'il y a une erreur pour les coordonnées du centre du cercle d'ailleurs. Je te laisse modifier.


Pour la c), il faut en effet savoir ce qu'est une "représentation paramétrique" d'une droite. Alors essayons de savoir de quoi il en retourne en décomposant l'expression:

- Il s'agit d'une représentation d'une droite
- A l'aide d'un paramètre

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre. Que savons-nous sur les équation de droite dans l'espace?

Et bien elles sont définies comme intersection de deux plan sécants ce qui nous amène donc à parler d'équation de droite comme système de deux équations de plan tout simplement. Mais ceci n'est pas encore une représentation paramétrée car nous n'avons pas introduit de paramètre, par exemple.

Pour avoir ce qu'on cherche, il faut donc exprimer x,y et z en fonction d'un paramètre t dans R.

Mais la plus simple des façon est de dire qu'une droite c'est aussi un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite. Ce qui revient donc à dire:

M(x;y;z) est un point de la droite (AB) <=> AM=t*AB avec tЄR

Et on voit ici que c'est t qui joue le rôle de paramètre non fixé. C'est pour cela qu'on appelle cela une représentation paramétrée de la droite (AB).

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

Salut!
A bien regarder mon cours, en fait, tu as raison : TOUS les cylindres étudiés sont d'axes (Oz).

a. Oui, je vois ce que tu veux dire mais alors, comment le rédiger? Dans mon cours et exercices ils sont tus d'axe (Oz) donc, je pense que ma rédaction colle plus à l'exo bien que je comprenne ton raisonnement : le cylindre n'est pas forcément d'axe (Oz) mais sinon, je n'ai rien là dessus...

b. On retrouve donc un cercle de centre z=2 non?

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec tЄR
--> Reste à calculer AB ?

Bonjour,

En fait ce qui est piégeux dans ton écriture c'est que si on ne savait pas qu'on travaillait en dimension trois, on pourrait conclure que l'équation x²+y²=1 est l 'équation d'un cercle. En fait l'équation d'une cylindre s'il est d'axe (Oz) est de la forme:

{x²+y²=R²
{z dans R

C'est un système où au moins on voit apparaître le fait que toutes les valeurs de z peuvent être prise et qu'on translate en quelque sorte notre cercle le long de l'axe (Oz).

Pour ce qui est du centre du cercle, il a trois coordonnées et c'est bien z qui est égale à 2 et non y=2 comme tu avais placé le point C(0;2;0) (simple erreur d'étourderie je pense ).

Pour la dernière question, il s'agit d'exprimer l'égalité tout à fait sachant que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les même coordonnées ce qui te donnera bien un système de trois inconnues dépendant de t et ceci pour tout t dans R. Donc soit tu le dis avant que c'est pour tout t dans R, soit tu le mets à côté du système ou carrément dans le système mais il faut que cela apparaisse pour savoir de quoi on parle (car on pourrait par exemple considérer des segment au lieu de droite et à ce moment là il y a une restriction sur les valeur de t).

Est-ce que tu comprends les nuances lorsqu'on parle de droite, plan, intersection dans l'espace? C'est une question de rédaction mais c'est surtout pour pas que tu fasses des raccourcis qui pourraient te coûter des points si tu tombes sur un correcteur pointilleux.

Bon courage!

Reprenons la rédaction :

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

L'intersection du cylindre avec le plan d'équation z = 2 sera donc logiquement le cercle de centre z = 2 et de rayon 1 selon la question précédente.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

Après, je ne saisis pas tout...

Bonsoir,

La première partie est juste au niveau de la rédaction.


Pour la deuxième,

Citation :

L'intersection du cylindre avec le plan d'équation z = 2 sera donc logiquement le cercle de centre z = 2 et de rayon 1 selon la question précédente.

Les coordonnées (x;y;z) des points d'intersection du cylindre et du plan d'équation z=2 vérifient:

{x²+y²=1
{z=2

Il s'agit donc du cercle de centre C(?;?;?) et de rayon 1.

Il faut donner les coordonnées du centre "z=2" donne la valeur de z mais qu'en est-il pour x et y? Autant donner les coordonnées du centre tout simplement, c'est plus clair je pense.


Pour la dernière question, On sait qu'un point "M(x;y;z) appartient à notre droite" <=> "AM=t*AB" avec t dans R

Tu as donc calculer lescoordonnées du vecteur AM et du vecteur AB:

Citation :

AB(4;3;-1) et AM(x;y;z-1)

Ceci est juste. Maintenant comment on exprime le fait que AM=t*AB en fonction de leur coordonnée?

Bon courage!

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

Il s'agit donc du cercle de centre C(0;0;2) et de rayon 1.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

DONC :
AM=t*AB
(x + y + z-1) = t * (4x + 3y -z)
(x + y + z-1) = 4xt + 3yt - zt
Là, j'isole quoi?

Bonsoir,

Alors les deux premières sont justes maintenant rédaction comprise.

Pour ce qui est del a troisième j'avoue être perplexe:

Citation :

AM=t*AB
(x + y + z-1) = t * (4x + 3y -z) <= D'où viennent les additions entre les coordonnées ???
(x + y + z-1) = 4xt + 3yt - zt

Alors un petit rappel s'impose sur les égalité de vecteur (en dimension 2 ou 3).

u(x;y;z) est égale à v(a;b;c) si et seulement si:

{x=a
{y=b
{z=c

C'est à dire qu'il y a égalité entre les coordonnées. Et tu vois d'ailleurs apparaître le système de trois équations.

Je te laisse reprendre cette dernière question.

Bon courage!

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

Il s'agit donc du cercle de centre C(0;0;2) et de rayon 1.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

DONC :
AM=t*AB
(x + y + z-1) = t * (4x + 3y -z)
(x + y + z-1) = 4xt + 3yt - zt

Citation :

AM=t*AB
(x + y + z-1) = t * (4x + 3y -z) <= D'où viennent les additions entre les coordonnées ???
(x + y + z-1) = 4xt + 3yt - zt

J'ai AB (4;3;-1) soit : x_AB = 4 ; y_AB = 3 ; y_AB = -1 donc :

Vecteur AM = 4x + 3y -z non?

Mais ici, j'ai t en facteur donc, je fais comment?

Bonsoir!!

Attention à ne pas confondre produit scalaire et égalité vectorielle!

AM=t*AB

<=>

{x_AM=x_t*AB
{y_AM=y_t*AB
{z_AM=z_t*AB

Lorsqu'on multiplie par une constante t un vecteur cela multiplie chaque coordonnée par cette constante tout simplement.

Donc ceci est faux:

Citation :

Vecteur AM = 4x + 3y -z non?

Est-ce que tu comprends le lien entre égalité vectorielle et égalité entre les coordonnées car ceci est dans le programme obligatoire, il faut donc bien le comprendre. Donc n'hésite pas si tu as des questions sur le sujet.

Je te laisse terminer cette question.

Bon courage!

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

Il s'agit donc du cercle de centre C(0;0;2) et de rayon 1.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

DONC :
AM=t*AB
<=>
{x_AM=x_t*AB
{y_AM=y_t*AB
{z_AM=z_t*AB

avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1) donc :

x = 4t
y = 3t
z = -t

C'est correct?

Presque .

Les coordonnées du vecteur AM non sont pas exactement (x;y;z), non ?

Je te laisse faire la dernière modification mais en tout cas ce système de trois équation dont les trois coordonnées dépendent de t définit l'équation paramétrique de notre droite tout simplement en fait.

Est-ce que la démarche est claire au moins? Fautl 'avoir fait au moins une fois pour comprendre un peu de quoi il en retourne mais lidée n'est pas compliquée dès qu'on se penche dessus en faite. Donc n'hésite pas si ce n'est pas clair à dire où cela ne l'ai pas.

Bon courage!

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

Il s'agit donc du cercle de centre C(0;0;2) et de rayon 1.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

DONC :
AM=t*AB
<=>
{x_AM=x_t*AB
{y_AM=y_t*AB
{z_AM=z_t*AB

avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1) donc :

x = 4t
y = 3t
z-1 = -t

Voilà non?

C'est tout à fait ça!

Pour conclure, il est plus simple d'écrire le système sous la forme:

{x=4t
{y=3t
{z=1-t
Pour t dans R

Ainsi, on voit mieux l'idée de point dirigée par un vecteur. En effet, si on regarde de plus près:

{x=0+4*t
{y=0+3*t
{z=1+-1*t

On voit aparaître en vert les coordonnées d'un point de notre droite (0;0;1) (il s'agit du point A ici) et en rouge les coordonnées du vecteur directeur qu'on a considéré (4;3;-1) (il s'agit du vecteur AB ici).

Donc si tu as un doute un jour en écrivant l'équation paramétrique d'une droite, souviens-toi qu'à la fin elle doit ressembler à celà. Il faut bien sur écrire la démarche pour avoir tous les point mais c'est un moyen simple de faire la vérification.

Bon courage pour la suite!

a. Equation d'un cylindre :
{x²+y²=R²
{z Є R

Ici, on a : x² + y² = 1
Donc R² = 1 donc R = 1
Ce cylindre aura pour rayon 1.

b.
{x²+y²=1
{z Є R

Il s'agit donc du cercle de centre C(0;0;2) et de rayon 1.

c.

Citation :

On cherche donc l'équation d'une droite en trois dimension en fonction d'un paramètre.

J'introduis un point M(x;y;z) qui est un point de la droite (AB).

Citation :

Une droite c'est un point qu'on translate selon un vecteur directeur de notre droite.

Donc :
AM=t*AB avec t Є R
avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1)

DONC :
AM=t*AB
<=>
{x_AM=x_t*AB
{y_AM=y_t*AB
{z_AM=z_t*AB

avec :
AB (4;3;-1) et AM (x;y;z-1) donc :

x = 4t
y = 3t
z = 1-t

D'accord ^^.
Petite question là-dessus :
{x=0+4*t
{y=0+3*t
{z=1+-1*t
Ce ne sont pas des homothéties?

Non ce n'estp as une homothétie comme on te l'as appris en fait.

En effet, dans une homothétie on te donne la relation entre l'image M' d'un point M par une relation. Or ici, tous nos point M de notre droite sont l'image de B en quelque sorte, il n'y a donc pas unicité de l'image ce qui est génant pour définir une fonction (="à un point on associe une unique image").

Bon courage pour la suite!

Ah d'accord je comprends.
Ca m'a l'air terminé don en tout cas merci pour ton aide et tes remarques c'est sympa.

Dernière petite chose :
AM et AB sont des vecteurs à la question b. ?

Il s'agit en effet de vecteur (je vais corriger les messages concernés d'ailleurs).

En fait, on caractérise le fait d'être colinéaire et par conséquent, il s'agit bien d'égalité entre des vecteurs car l'égalité entre des distances ne serait pas assez forte pour conclure.

Bonne continuation!

D'accord merci!