Inéquation irrationnelle

Bonjour !

Alors là je suis bloqué avec une inéquation irrationnelle. J'ai essayé pleins de trucs mais je n'arrive pas à m'en sortir !

Pouvez-vous m'aider svp ?

Merci d'avance !

Bonsoir Natty!

Joli équation que voilà!

Dans un premier temps, il faut regarder quelle sont les restriction qu'on a sur l'ensemble des solutions. C'est à dire que d'entrée, on peut savoir si x peut prendre certaine valeur ou pas.

Cela a un avantage majeur surtout lorsqu'on travail avec des racine carrée car on voudrait bien passer au carré ça serait si simple mais encore faudrait-il qu'on puisse comparer les carrés comme les nombres eux-même. En effet,

3>-4 mais 9<14 !!!! Il faut faire très attention lorsqu'on élève au carré une inéquation car cela revient en fait à appliquer la fonction carré qui n'est pas croissant partout! Donc il faut être vigilent.

Alors ici, est-ce qu'on pourrait pas déjà retreindre l'ensemble des valeurs de x qui sont possibles?

Bone courage!

Et bien oui Mr. Cuicui on le peut ^^
En cherchant bien évidemment <<l'ensemble de définition>> de l'inéquation.

On a alors une première condition :

x⁴ + 4x - 4 ≥ 0

Mais voilà un des problèmes pour lesquels je suis venu vous voir Je n'arrive pas à résoudre cette fichu inéquation Je suis même passé par une étude de fonction, mais je n'y suis toujours pas arrivé !

En effet, cette inéquation là est un peu compliqué à résoudre.


Par contre, l'étude de fonction a dû te montrer que cette fonction admettait un minimum en -1 égale à -7. Et de plus, aux extrémités des bornes de son ensemble de définition, on a deux limites égales à +Infini. Donc intuitivement, il doit y avoir existence de deux solutions réelles à l'équation x⁴+4x-4=0 (on te donnera d'ailleurs cette année un théorème qui te donnera le moyen d'affirmer l'existence mais aussi l'unicité de solution).

Le problème est que tu cherches une solution exacte j'imagine, ça sera si simple. Cependant, ici, cela ne nous intéresse pas réellement, on sait qu'elles existent et on a qu'à les appeler a et b si tu le souhaites. Ainsi, on a notre "ensemble de définition".

Mais en fait, ce qui nous intéresserait ici c'est de pouvoir dire que le carré et les nombres qu'on a sous les yeux sont ranger dans le même ordre. C'est à dire que si on montre que notre ensemble de solution est forcément positif, cela nous suffit. On pourrait aussi utiliser le fait que des nombres négatifs sont ranger dans l'ordre inverse de leur carré et ainsi, pouvoir conclure.

Ici, on peut faire le travail sur les deux intervalles séparément pour pouvoir conclure ce qui marche tout à fait d'ailleurs. Mais on peut faire mieux et n'en considérer qu'un seul! Est-ce que tu vois comment faire?

En gros, est-ce qu'il est possible d'avoir des valeurs de x négatives ici?

Alors, on peut facilement montrer que a est négatif et b positif (et plus grand que 3/4).

Donc : * si x appartient à ]- infini ; a], 4x - 3 est négatif, et sachant qu'une racine carré est toujours positive, l'inéquation est alors toujours vérifiée pour tout x appartenant à ]- infini ; a].

On a donc une partie de la solution qu'on va appeler S₁ = ]- infini ; a]

* si x appartient à [b; + infini[, 4x - 3 est positif, alors on peut élever au carré les deux membres, mais après ça va aussi se compliquer :-s


Donc là c'est la méthode en utilisant les deux intervalles séparément, comme tu l'a mentionné.

Sinon pour la méthode en utilisant un seul intervalle je ne vois pas trop pour l'instant...
Et pour réponde à ta question, si je l'ai bien comprise, oui il est possible d'avoir des valeurs négatives de x

En effet, tout est juste!

Pour m'a part j'avais travaillé que avec le côté positif dans un premier temps et j'avais omis le côté négatif car la solution est l'opposée de celle qu'on va trouver dans les positifs mais bon je pensais pouvoir le démontrer mais ce n'est pas la peine après tout car les deux vont se traité de la même manière.

Alors allons-y, pour la partie positive: Lorsque deux nombres sont positifs, ils sont rangé dans le même sens que leur carrée (démonstration par la croissance de la fonction carré sur la partie positive tout simplement).

Et maintenant, des idées pour avancer dans la résolution?

Ben quand on élève au carré, on obtient donc :

x⁴ + 4x - 4 ≥ (4x - 3)²
x⁴ + 4x - 4 ≥ 16x² - 24x + 9
x⁴ - 16x² + 28x - 13 ≥ 0

1 est racine évidente, après je ne vois rien d'autre.
Si on passe par l'étude de la fonction f(x) = x⁴ - 16x² + 28x - 13 on doit surement y arriver, mais avant de me lancer dedans, je veux savoir si tu n'as pas quelque chose de mieux à me proposer, ou alors si je fais complètement fausse route

La route est bonne mais celle de l'étude de fonction est bien trop longue (car comment factoriser le polynôme du troisième degré pour avoir son signe après?).

1 est racine du polynôme est excellent! Est-ce qu'on ne pourrait pas réécrire le polynôme d'une autre manière maintenant qu'on sait ça?

On peut le réécrire (x-1)*(ax³ + bx² + cx + d) avec a, b, c, et d des réels.

Après identification, on trouve a = 1
b = 1
c = -11
d = 13

En effet, c'est la bonne démarche:

- Factorisation avec des incoonu
- Identification (qu'on a le droit de faire mais dont on ne vous a jamais donné de démonstration prouvant se droit d'ailleurs)

C'est tout à fait ça. Par contre la valeur du c me gêne énormément pour ma part.

Il suffit de développer pour avoir confirmation de ces calculs, c'est bête à faire mais autant ne pas perdre de point bêtement lorsqu'on peut, c'est mieux .

Oui exact, j'ai recopié sur l'ordi les résultats d'identification d'un autre polynôme.

En fait ici on a :
c = - 15

C'est mieux en effet.

Est-ce que nous n'aurions pas d'autre chose à dire sur ce nouveau polynôme du troisième degré?

x³ + x² - 15x + 13

On voit que 1 est racine évidente :-p

Donc on le factorise en (x-1)(ax² + bx + c) et après identification on trouve :

a = 1
b = 2
c = -13

Donc au final on a : (x-1)²*(x² + 2x - 13) ≥ 0

Les deux racines du polynôme de degré 2 sont x₁ = -1 - √14 et x₂ = -1 + √14

Après avoir fait le tableau de signe, on obtient la solution partielle :

S₂ = {1} U [-1 + √14 ; + infini [

Donc la solution finale c'est S = S₁ U S₂ = ]- infini ; a] U {1} U [-1 + √14 ; + infini [

Voila, on a résolu l'inéquation Mais encore faut-il la valeur de a

Alors la démarche est bonne et nous trouvons donc une solutions pour la partie positive.

Par contre, je ne comprend pas très bien ce que tu écris comme solution de la première inégalité:

Citation :

S₂ = {1} U [-1 + √14 ; + infini [

D'où sort le 1? En effet, nous cherchons à savoir pour quelle valeur de x dans [b;+Inf[, on ait: (x-1)²*(x² + 2x - 13) ≥ 0

Il s'agit donc de faire un tableau de signe, ce que tu as fait en partie sauf que je ne comprend pas d'où sort le 1 pour ma part car (x-1)² est toujours positif, donc dans le tableau de signe c'est toujours vrai peu importe la valeur de x dans [b;+Inf[. La restriction se fait donc sur le polynôme du second degré.

Dont on sait qu'il est positif à l'extérieur des racines c'est à dire sur ]-Inf ; -1 - √14]È[-1 + √14 ; +Inf[.

Or on sati que b est compris entre 3/4 et 1 et que -1 + √14>1. Donc l'intersection entre l'ensemble les deux ensemble, nous donne comme solution pour cette inéquation (x-1)²*(x² + 2x - 13) ≥ 0:

S₂=[-1 + √14 ; +Inf[

Est-ce que tu comprends ton erreur?

Par contre, nous n'avons pas fini car ce n'est pas la solution de (x-1)²*(x² + 2x - 13) ≥ 0 que nous cherchions mais de sa racine carré ne l'oublions pas!

Il nous faut donc considérer sa racine carré sur l'intervalle [b ; +Inf[, sachant qu'on sait que lorsque des nombres sont positifs, ils sont rangés dans le même sens que leur carré. Qu'est-ce que cela nous donne?

Bon courage!

Alors là je suis dans le doute total !

Je suis en désaccord avec tout ce que tu as mis dans ton précédent message.

Nous on cherche bien ≥ 0, et dans le tableau de signe sur la dernière ligne on a un truc du style :

- 0 - 0 + ou kekchose comme ça ! donc faut pas oublier que l'expression s'annule en 1, d'où le zéro entre les deux signes moins, puisqu'on cherche supérieur ou égal à zéro.

Et puis après quand tu dis

Citation :

Par contre, nous n'avons pas fini car ce n'est pas la solution de (x-1)²*(x² + 2x - 13) ≥ 0 que nous cherchions mais de sa racine carré ne l'oublions pas!

Il nous faut donc considérer sa racine carré sur l'intervalle [b ; +Inf[, sachant qu'on sait que lorsque des nombres sont positifs, ils sont rangés dans le même sens que leur carré. Qu'est-ce que cela nous donne?

je ne vois pas du tout de quoi tu parles ^^ je crois bien que tu t'es trompé, puisque selon moi, la résolution s'arrête bien ici.

Et puis j'ai vérifié avec la calculatrice en traçant la fonction 3 + √(x⁴ + 4x - 4) - 4x
et elle est bien positive ou nulle sur l'ensemble que je t'ai donné comme solution dans mon précédent message, donc je ne comprend pas du tout ton message :-s

Oulà, je suis pas réveillé moi. En effet, c'est positif ou nul et non strictement positif ce qui ajoute le 1 dans l'ensemble de solution.

Du plus, vu qu'on travaille sur x et non x² comme je l'ai cru en routine, il n'y a donc pas d'erreur de ce point de vu là.

Donc la solution sur [b; +Inf[ est bien {1}È[-1 + √14 ; +Inf[


Il nous reste par contre à voir les solutions, sur ]-Inf ; a], qu'on n'a pas encore étudiée jusqu'ici. Car sur cette ensemble vu que a est strictement négatif, nous avons inversement de l'ordre lorsqu'on passe au carré. Je te laisse reprendre la démarche donc pour cette partie là qui est identique à celle sur les positifs.

Avec mes excuses pour mon dernier message, ça m'apprendra à ne pas refaire l'exercice en entier lorsqu'il y a un décallage dans le temps des réponses, ça me joue des tour la preuve.

Bon courage!

Ben sur cette partie je l'ai déjà fait dans mes premiers messages. Regarde :

Citation :

Donc : * si x appartient à ]- infini ; a], 4x - 3 est négatif, et sachant qu'une racine carré est toujours positive, l'inéquation est alors toujours vérifiée pour tout x appartenant à ]- infini ; a].

On a donc une partie de la solution qu'on va appeler S1 = ]- infini ; a]

Et on ne peut pas élever au carré ! Puisqu'il y a un membre positif et un autre membre négatif

En effet c'est tout à fait juste, l'égalité est toujours vraie.

Décidément, j'ai du mal ce soir.

Conclusion, on a donc quasiment tous sauf qu'on voudrait une valeur exacte de a c'est ce que tu disais.

Bon alors qu'est-ce qu'on peux faire pour l'avoir? C'est à dire qu'on doit trouver la valeur négative annulant le polynôme x⁴+4x-4. On cherche donc à résoudre x⁴+4x-4=0.

Alors soit, on laisse la valeur exacte soit on tente de faire une approximation par dichotomie à 10^-2 près par exemple. Et ainsi, on marquera les deux borne à 10^-2 près (on calcule la racine carré à 10^-2 près dans la borne positive). Car là, j'avoue que je ne vois pas comment trouver la valeur exacte pour l'instant.

Bon courage!

On pourrait utiliser la méthode de Ferrari qui est détaillée ici : http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/equations.pdf ou encore ici : http://www.sciences.ch/htmlfr/algebre/algebreclcalgebrique01.php#poldeg4


Mais perso je n'ai pas envie de me lancer dedans, comme on l'avait fait pour le troisième degré

Bon ben voilà on a résolu cette fameuse inéquation

Merci beaucoup Cuicui

Dommage, j'allais te proposer la fameuse méthode après qu'on est trouvé une solution convenable (rien ne servait de se lancer dans ce boulot tout de suite).

D'ailleurs, je ne connaissais pas les deux si en question (ayant d'autre source pour ma part).

Je vais écrire la résolution (ça rattrapera mon manque de concentration de ce soir un temps soit peu car ce n'est vraiment pas digne de moi, je trouve).

Bonne continuation!

Oh, si tu écrivais la résolution ce serait génial. (si tu penses que ça pourrait m'apporter quelque chose bien sûr...)

Alors les résolutions des équation du 4ème degré ne sont pas au programme de terminale (ni à aucun programme d'ailleurs lol).

Je ne sais donc pas si cela te servira concrètement mais pour la beauté de la solution et pour la méthode de résolution (qui est assez atypique, il faut l'avouer), elle est intéressante. Et vu que la fin de l'aide que je t'ai apporté était loin d'être de mon niveau habituel, on va dire que je vais faire un effort pour rattraper cela et te donner une solution détailler (autant que je peux) de la résolution de cette équation du 4ème degré. Le but étant de trouver la fameuse solution négative de l'équation en question.

Je rappelle donc l'équation: x⁴+4x-4=0 que je cherche à résoudre.

Je vais procéder par analyse-synthèse. C'est à dire que je vais supposer que mon équation est vérifié et je vais en déduire des propriétés et ensuite lors de la synthèse, il faudra vérifier que les solutions trouvées sont belles et bien exactes. Ce qui est intéressant bien entendu c'est l'analyse et donc la démarche qu'il faut utiliser.

Je vais considérer un réel y quelconque et je calcule (x²-y/2)² ce qui nous donne:

(x²-y/2)²=x⁴ - y*x² + y²/4

Or je suppose que x⁴+4x-4=0.
Par conséquent, x⁴=4-4x

Donc (x²-y/2)²= -y*x² -4*x + (y²/4 + 4)

Jusque là, j'utilise juste mon hypothèse et le reste vient du développement d'un carré. Mais, on aimerait bien au vu de l'égalité que la partie de droite soit aussi un carré et qu'il s'agisse donc d'un polynôme en x de degré 2 dont le discriminant serait nul. En effet, lorsqu'on a l'égalité entre deux carré, nous savons résoudre l'équation (en factorisant par la troisième identité remarquable et ainsi, nous aurions deux polynôme du second degré dans chacun des facteurs et il ne resterait plus qu'à conclure).

Sachant que y est pris de façon quelconque et que le discriminant du polynôme du second degré à droite de l'équation a des coefficients qui ne dépendent que de y, il est donc aisé de cherche une valeur de y pour que le discriminant s'annule. Pourquoi?

Car Δ= (-4)² -4*(-y)*(y²/4 +4)=y³+16y+16

Or on sait qu'une équation du troisième degré a forcément une racine réelle. Par conséquent, on a l'existence d'un y qui permet d'avoir Δ=0.

Cherchons la valeur de ce fameux y

On cherche donc à résoudre Δ=0 c'est à dire résoudre y³+16y+16=0

Est-ce que tu te souviens de la méthode pour résoudre cette équation? Sinon, regarde à cette adresse: https://maths-cuicui.forum-actif.net/problemes-et-exercices-f17/equation-du-troisieme-degre-t326.htm et donne moi la solution de cette équation. après tout, je ne vais quand même pas tout faire ce n'est pas pédagogique et on va voir si tu as retenu quelque chose de la démarche que nous avions vu ensemble .

Voilà j'ai donc considéré z = u + v, comme étant la solution de l'équation, et je trouve :

z = racine cubique(-8 - racine carré(1933)) + racine cubique(-8 + racine carré(1933))

Bonjour,

La démarche est juste mais j'ai un doute sur ta racine carré.

En effet, lorsqu'on utilise la méthode, on arrive au système:

{u³v³=-16³/3³
{u³+v³=-16

Donc u³ et v³ sont solutions de l'équation du second degré suivante: X² + 16*X - 16³/3³=0

On a donc: Δ=16² + 4*16³/3³

Par conséquent, on a: u³= [-16 + √(16²+4*16³/3³)]/2 (v³ étant la même chose avec un "-" devant la racine carré)

On peut simplifier la racine carré en mettant 16² en facteur ce qui donne: 16*√(1+4*16/3³)

Conclusion: u³= -8 + 8*√(1+4*16/3³) et v³= -8 - 8*√(1+4*16/3³)

Donc z=³√[-8 + 8*√(1+4*16/3³)] + ³√[-8 - 8*√(1+4*16/3³)]

On peut mettre -8 en facteur à l'intérieur des deux racines cubiques ce qui se simplifie ainsi:

z=-2*[³√[1 - √(1+4*16/3³)] + ³√[1 + √(1+4*16/3³)]]


Est-ce que tu es d'accord avec ces calculs?


Maintenant, dans notre problème notre variable supplémentaire ne s'appelait pas z mais y ce qui change pas grand chose en soi bien entendu. Et quel était notre but?

On voulais avoir un discriminant nul pour ce polynôme-ci: -y*x² -4*x + (y²/4 + 4)

On a donc trouver un y qui réalisait la nullité du disciminant. Par conséquent, comment se factorise ce polynôme en fonction de y? (on ne va pas écrire écrire à chaque fois sinon ça va être incompréhensible mais on garde en mémoire qu'à partir dem aintenant y est fixé tel que Δ=0 c'està dire que notre polynôme est nue racine double).

Conclure qu'il y a exactement deux solutions à notre problème et les exprimer en fonction de y.

Bon courage!