[1ère S] Fonctions trigonométriques

Je viens de finir mon chapitre sur les fonctions et j'ai un blocage sur les fonctions cosinus et sinus je comprend le cercle trygonometrique mais lorque dans les exercices on me demande par exemple :démontrer que la fonction xcosx est periodique sur 2 PI or je ne sais pas comment faire ou encore on me demande d'etudier la parité de f(x)=-x+sinx et d'autre questions icomprehensible pour moi (le prof ne ma montrer aucune methode) merci d'avance pour votre aide

Pour la périodicité de 2Pi il faut prouver que pour tout x, f(x)=f(x+2Pi), ainsi si tu prend la courbe de la fonction et que tu décales les abscisse de 2Pi tu retrouve la même chose.

A partir de la pour la parité c'est presque le même système, je te laisse chercher pour voir si tu as compris.

Bonsoir,

Je pense qu'il y a une légère erreur dans l'énoncer d'une de tes question. En effet, la fonction x*cos(x) n'est pas de période 2π et de loin. Tu le constateras grâce à la méthode que te donne Cuicui Masqué.

La fonction qui elle est 2π périodique est x |--> cos(x).

Un conseil vu que tu comprend le cercle trigonométrique (aussi compliqué soit le mot, il s'écrit bien comme je viens de l'écrire et non avec un y . J'ai corrigé le titre du sujet aussi ), utilise-le un maximum. En effet, c'est un support visuel très utile pour comprendre les égalités telles que sin(x+π/2)= cos(x). Même si celà n'est pas une preuve en soi, le cercle trigonométrique est vraiment une mine d'or au niveau des informations .

Puisque Cuicui Masqué a donné la méthode pour montrer qu'une fonction avait une période 2π. Je propose les trois exemple suivant:

Soient:
f(x)= cos (2*x),
g(x)= cos(x)*sin(x)
h(x)= sin(x/2)

1)Montrer que:
f est périodique de période π
g est périodique de période 2π

2) Déterminer la période de h.


Bon courage et n'hésitez pas à poser vos questions!

je ne comprend toujours pas comment faire le calcul je sais juste que cos(x+2pi)=cosx de même pour le sinus et après je ne comprend pas pi est égal a 180 degré mais le x comment je sais ce que vaut x et comment je montre que cos(x)=(x+pi)
je suis desole mais j'ai vraiment du mal

non mais tu as raison de posé des questions.

Tu sais la seule chose qu'il faut savoir en fait. C'est à dire que les fonction sinus et cosinus sont 2π-périodique (tu peux copier le symbole π d'un post à l'autre ).

C'est à dire que pour tout y, cos(y+2π)=cos(y) et de même avec le sinus.

Maintenant si je prend le premier exemple que je propose:

f(x)=cos(2*x)

Je demande si f est π-périodique. Cela revient à demander si f(x+π)=f(x)

Or f(x+π)=cos[2*(x+π)]

Et donc f(x+π)=cos[2x + 2π] (je distribue le 2)

Et enfin tu sais que le cosinus est 2π-périodique
Donc pour tout y, cos(y+2π)=cos(y)

Ici on a y=2x, donc f(x+π)=cos(2x)=f(x)

On a bien pour tout x, f(x+π)=f(x)

Conclusion la fonction f est π-périodique.


Cela va peut-être être plus clair maintenant, je te laisse faire les deux suivants.

Bon courage et n'hésitez pas à poser vos questions!

(1ER S) G(x)=cos(x)*sin(x)
G(x)=cos(x+2π )*sin(x+2π ) on sait que sin(x+2π )= sin(x) de même pour cos(x+2π )=cos(x) car les fonctions sinus et cosinus sont 2π périodique donc g(x+2π )=cos(x)*sin(x)=g(x) donc pour tout x cos(x)*sin(x)=f(x)la fonction g est périodique sur 2π .
Pour H(x) je supose qu'elle est périodique aussi en 2π mais je ne vois pas comment le démontrer merci pour ces deux exemples.J'aurais une autre question dans mon cours j'ai une definition que je n'arrive pas a comprendre celle -ci est :soit f une fonction definie sur un ensemble de definition D soit T un réel non nul on dit que f est T périodique si et seulement si D est T stable (pour tout x appartenant à D x+T appartenant à D je ne comprend pas la partie soulignée merci d'avance .

Bonsoir,

La fonction G est en effet 2π-périodique et l'explication à tout à fait juste mis à part le "pour tout x cos(x)*sin(x)=f(x)". Je pense que pour conclure, le "donc pour tout x, g(x+ 2π)=g(x)" est tout à fait suffisant pour affirmer la périodicité .

Pour la fonction h, c'est l'inverse d'un exercice d'application de cours direct. En effet cette fois-ci, je demande pas de vérifier la périodicité mais de la trouver ce qui est en soi plus compliquer lorsqu'on commence.

En fait, la seul chose que tu sais, c'est que sinus est 2π-périodique. A partir de là, c'est à toi, de trouver un y tel que h(x+y)=h(x) pour tout x.
Mais vu que la seul chose que tu connaisses c'est la périodicité du sinus, il faut que ton y soit de tel sorte que:

sin[(x+y)/2]=sin(x/2+2π)

Et là tu conclus avec la périodicité du sinus, tu as sin(x/2 + 2π)=sin(x/2)=h(x).

Il ne te reste plus qu'à trouver le y pour lequel ça marche. Cela ne devrait plus être trop compliqué maintenant.

Je te donne donc un autre exercice: Trouver la périodicité de f(x)= cos[(3*x)/2)].

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Pour répondre à ta question sur ton cours, je n'ai pour ma part pas vu cette notion et je ne pense pas que les Cuicui dans leur totalité est vu cette notion écrite ainsi en tout cas. Cependant,

Élodie a écrit:

soit f une fonction definie sur un ensemble de definition D soit T un réel non nul on dit que f est T périodique si et seulement si D est T stable (pour tout x appartenant à D x+T appartenant à D

Alors, en fait ce qu'on veut te dire c'est que l'ensemble de définition est stable par ajout de la période T. C'est à dire que si je note [a,b] l'ensemble de définition de la fonction T périodique, alors la fonction est aussi définie sur l'ensemble [a+T,b+T] mais aussi sur [a-T,b-T] et encore dans un cas générale, elle est définie sur tout les ensemble de la forme[a+k*T,b+k*T] avec k dans Z. Elle est donc définie sur la réunion de tous ces ensemble là et cette réunion est invariante par ajout ou suppression de chaque côté d'un multiple de la période T. C'est ce qu'on appelle est stable par ajout d'un α*T ou encore être T-stable (=stabilité par T pour l'addition et la soustraction).

Exemple:
La fonction Tangente est définie sur ]-π/2,π/2[ dans la forme que tu vois le plus mais tu c'est que cette fonction est 2π-périodique donc sont ensemble de définition globale est de la forme:
A=]-π/2+ k*(2π), π/2+ k*(2π) [ avec k dans Z

Cette ensemble est 2π-stable car pour tout x dans A, x+k*2π est dans A.

En espérant avoir été assez clair. Je laisse à l'équipe le soin de compléter au cas où.

Bon courage!

Bonjour à toutes et tous,

Pour conclure cette partie, je vais rédiger les deux exercices qu'il restait.

Je demandais de trouver la périodicité de H(x)=Sin(x/2) et de F(x)=Cos[(3*x)/2].

Dans les deux cas nous cherchons un h Є R tel que H(x+h)=H(x) et pour l'autre fonction ce sera F(x+h)=F(x). La période h ne sera pas forcément la même pour les deux fonctions.

Nous savons que les fonctions Cosinus et Sinus sont 2π-périodique c'est à dire que Cos(x+2π)=Cos(x) et que Sin(x+2π)=Sin(x) pour tout réel x.

Donc pour la fonction H, on a:
H(x+h)=H(x) si et seulement si (x+h)/2 = x/2+2π

C'est à dire si et seulement si h/2=2π donc h=4π

Et en posant h=4π, on a bien H(x+4π)=H(x) pour tout réel x.

Donc H est 4π-périodique


Pour la fonction F, on a:

F(x+h)=F(x) si et seulement si 3*(x+h)/2 = 3*x/2 + 2π

Donc si et seulement si 3*h/2=2π donc h=4π/3

Et en posant h=4π/3, on a bien F(x+4π/3)=F(x)

Donc la période de F est 4π/3

Ceci conclut donc une méthode pour déterminer la périodicité d'une fonction lorsque nous sommes face à des fonctions 2π-périodique.

Je vous souhaite une bonne continuation à toutes et tous et @bientôt au sein du forum!