Comment résoudre une équation?

Bonjour @toutes et tous,

Pour répondre à  la question: "Comment résoudre une équation", il n'y a en fait que deux choses à savoir:

1) Les méthodes directes
2) Un théorème à connaître

Mais avant de savoir comment cela se résout essayons de répondre à la question fatidique "Quel est le but de cette résolution?". En effet résoudre une équation c'est bien joli mais savoir où on va serait plus intéressant en soi, vous ne pensez pas?

En fait, le but de la résolution d'une équation c'est de trouver la ou les valeur(s) que peut prendre x pour laquelle (ou lesquelles) l'égalité est vérifiée.

Prenons un exemple tout bête: "Résoudre dans R l'équation: x+1=0"

On constate que si on pose x=-1, on a bien -1+1=0. Par conséquent, la solution de cette équation contient au moins la valeur -1 car elle vérifie l'égalité tout simplement.

A partir de là, une autre question se pose avant même d'aborder la résolution c'est de savoir "est-ce qu'il est intéressant d'étudier la résolution d'une équation?". En effet, si cela ne sert à rien autant passer à autre chose. Mais essayons de voir un exemple concret où la résolution d'équation s'impose d'elle-même:

Je souhaite acheter un objet à 10€ et j'ai 15€ sur moi. Combien doit-on me rendre?

Vous allez me dire que la réponse est évidente, il suffit de faire 15-10=5 et ainsi on doit nous rendre 5€. Mais en fait rien que le fait d'écrire cela revient à la résolution d'une équation somme toute très bête et qui est la suivante:

Si j'appelle x ce qu'on doit me rendre ne monnaie. Je sais que ce qu'on me rend ajouté au prix de l'objet doit être égale à ce que je donne comme argent. En conclusion, nous avons l'équation suivante: x+10=15. Et la solution c'est bien x=5 car 5+10=15 tout simplement.

Cela paraît très simple et un peut superficiel comme exemple mais cela s'applique dans d'autre domaine comme les soldes par exemple ou encore le taux d'intérêt d'un banque. Mais sans parler d'argent, il y a des application concrète aussi dans le domaine de la construction d'objet ou tout autre chose comme cette exemple-ci: On pourrait chercher combien de bouteille d'eau il faut pour remplir une piscine dont on connaît la contenance (= le volume maximale d'eau pouvant être mis dans la piscine). Vous voyez donc que la résolution d'équation est assez omniprésente et s'avère plutôt utile dans la vie courante et bien entendu ses applications au sein même des mathématiques, de la physique, de la chimie ou encore de la biologie sont très grandes.

Maintenant que nous avons vu à peu près l'intérêt et le but de la résolution d'équation, il serait peut-être temps de rentrer dans le vif du sujet c'est à dire la résolution en elle-même.

1) Méthode de résolution directe d'équation du type a*x+b=0 avec a un réel non nul et b un réel quelconque

Alors la méthode est assez intuitive et elle se fait en deux étapes:

a) On constate que si j'ajoute la quantité (-b) de chaque côté de l'égalité je ne change rien à l'égalité (j'ai deux sac et j'ajoute la même quantité d'ingrédient dans chacun des sacs, on voit qu'on ne change pas les différences initiale qu'il y avait dans les deux sacs). ET bien regardons ce que cela donne:

(a*x+b)+(-b)=0+(-b)

Puis en réduisant les expressions à gauche et à droite, on obtient: a*x=-b (car à gauche on trouve b-b=0)

b) A partir de cette nouvelle égalité, on constate que si je multiplie par l'inverse de a (qui existe car a est différent de 0) de chaque côté cela ne change rien à l'égalité (si j'ai deux sac égaux et que je double ce qui s'y trouve cela ne change rien à l'égalité entre les deux sac et bien cela est la même chose si je multiplie ce qu'ils contiennent par n'importe quel nombre). L'inverse de a c'est 1/a et par conséquent, on obtient:

(1/a)*[a*x]=(1/a)*[-b]

Et si je développe de chaque côté sachant que a/a=1, j'obtiens: x=-b/a

Attention ici au conclusion trop hâtives! En effet, pour le moment, on a considéré que l'égalité était vraie puis on a trouver une solution potentielle sous la forme x=-b/a. En tout logique, il faut vérifier que cette quantité vérifie bien l'équation ce que nous allons donc faire:

a*(-b/a) + b = -b + b
Donc a*(-b/a)+b=0

En conclusion, la solution de l'équation a*x+b=0 est x=-b/a

(pour celles et ceux qui souhaitent aller un peu plus loin, on pourrait se demander pourquoi, il n'y a qu'une unique solution à cette équation car après tout rien ne nous dit qu'il n'existerait pas une deuxième valeur de x pour laquelle l'égalité serait respectée).

Maintenant, qu'on a résolu ce qu'on appelle le "cas d'école", essayons de résoudre plus compliquer: a*x+b=c*x+d avec a,b,c et d quelconque et (a-c) non nul.

Et bien, le but est de se ramener à ce qu'on sait déjà faire c'est à dire une équation du type A*x+B=0 avec A et B à déterminer. Pour cela, l'idée est de tout faire passer du même côté de l'égalité pour avoir un côté égale à zéro.

Ainsi, on ajoute l'opposé du terme de gauche de chaque côté de l'égalité c'est à dire -(c*x+d) ce qui donne:

(a*x+b)-(c*x+d)=(c*x+d)-(c*x+d)

Et ainsi, on obtient: a*x+b-c*x-d=0

Si je regroupe les termes en x ensemble et les termes constants ensemble, j'obtiens: (a-c)*x + (b-d) = 0 (ce qui revient donc à posé A=a-c et B=b-d, nous sommes bien dans la configuration A*x+B=0 !!!). ET à partir de là, on applique la résolution donnée ci-dessus.

Citation :

Exemple: Résoudre dans R, l'équation suivante: 2x+3=x-2
(Je détaille tout mais dans la rédaction, on peut aller beaucoup plus vite bien entendu du moment que les calculs restent compréhensible pour e correcteur et vous-même)

J'isole tout d'un côté: (2x+3)-(x-2)=(x-2)-(x-2)

Donc 2x+3-x+2=0
D'où (2-1)*x + 5 =0
Donc x+5=0

(résolution directe maintenant)
Donc (x+5)-5=0-5
D'où x=-5

Vérification: si je pose x=-5, on a: 2*(-5)+3=-10+3=-7 et -5-2=-7

Donc -5 est bien solution de l'équation 2x+3=x-2

Enfin, que se passe-t-il lorsque nous n'avons pas des équations du premier degré mais d'un degré supérieure?

2) Un théorème fondamentale dans R

Théorème:

Un produit de facteur est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul


Et c'est là qu'on comprend pourquoi savoir factoriser une expression et connaître parfaitement ses identités remarquables. Car pour pouvoir appliquer se théorème là, il va falloir notre équation sous la forme d'un produit de facteur ce qui est le principe même du procédé de factorisation!

Citation :

Exemple: Résoudre dans R, l'équation suivante: (x-1)*(3x+2) + 3x-3 = 0

Première chose mettre en évidence le facteur commun: (x-1)*(3x+2) + 3*(x-1) = 0

Deuxième chose factoriser l'expression: (x-1)*[3x+2+3]=0 c'est à dire (x-1)*(3x+5)=0

Troisième chose énoncer le théorème:
Un produit de facteur est nul si et seulement si l'un de ses facteur est nul.
Par conséquent, (x-1)*(3x+5)=0 si et seulement si x-1=0 et 3x+5=0

Quatrième chose, résoudre les nouvelles équations par les méthodes directes si c'est possible:
x-1=0 donc x=1
3x+5=0 donne x=-5/3

Vérification des solutions: si je pose x=1, je trouve bien 0 et si je pose -5/3 je trouve bien 0.

Conclusion, 1 et -3/5 sont solutions de l'équation (x-1)*(3x+2) + 3x-3 = 0

Ceci conclut les rappels/cours sur la résolutions d'équation et ce qu'il faut savoir faire concrètement sur le sujet. Un exercice d'application de base a été mis dans la partie de la Cage aux exercices si vous souhaitez vous entraîner sur le sujet.

N'hésitez pas à poser vos questions si quelque chose ne s'avère pas clair dans ce rappel/cours ou si vous souhaitez plus de précisions sur le sujet (pour aller plus loin ou non).

Bonne continuation @toutes et tous!

J'ai bien compris cela mais si sa vient d'une fraction, comme je puisse faire ?

Bonjour,

Le but est toujours de se ramener à quelque chose que nous savons faire. Or par exemple, on sait que pour une fraction le dénominateur n'est jamais nul par conséquent, seul son numérateur peu s'annuler.

En conclusion, si on a à résoudre A/B=0 cela est équivalent à chercher les solutions de A=0. Et ensuite, on applique les raisonnements que nous connaissons pour résoudre une équation.

En espérant que ceci soit plus clair. N'hésite pas si des choses restent flous.

Bonne continuation!