[Nouveau problème à résoudre] Géométrie et équation

Bonjour , je reviens parmis vous avec un nouveau problème à résoudre.

Enoncé :

On désigne par ABCD un carré de côté x, exprimé en centimètres, avec x>6
Soit E le point du Segment [AB] tel que EB=6cm

1 . Exprimer en fonction du réel x l'aire S(x) du triangle AED

2.2.1 : Ecrire de manière mathématiques la phrase suivante :
"l'aire du carré ABCD est stritement supérieur au triple de l'aire du triangle AED"

2.2.2 : Déterminer alors, par calcul, à l'aide d'un tableau de signes les solutions du problème de la question 2.1

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ce que j'ai deja fais
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1. l'aire du triangle AED

S(x) = (Coté * (Côté -6)) / 2
S(x) = (x * (x-6)) /2

2.2.1 : je ne sais pas comment l'écrire

peut etre x²>3*S(x)

2.2.2 :
l'aire d'un carré = x²

donc l'aire du carré > 3*S(x)

x² > 3 * ((x * (x-6))/2)
x² > 3 * ((x²-6x)/2)
x² > (3x²-18x)/2
2x² > 3x²-18x
-x² > -18x
0 > x² - 18x
x²-18x < 0
x(x-18) <0

c pas plutot x(18 - x) > 0 ???

je trouve les valeurs qui annule

x=0
x-18 = 0 ==> x=18

pour le tableau je ne c pas trop comment le faire

x - 18 +
x-18 - 0 +

mais bon je pense avoir oublier quelque chose

et pour l'ensemble des solutions je mets koi ?

S=[0;+inf[U]18;+inf[ ???

Merci par avance pour la correction

Re-Bonsoir,

Ta démarche est excellente! Fais-toi confiance, tu le mérites! En effet, tu manques un peut de confiance ne toi poru le coup, car l'exercice est bien traîté et ton doute pour la question 2.1 n'a pas lieu d'être vu qu'à la question 2.2 tu es persuadé de ton écriture du problème sous forme d'équation.

En effet, en 2.1, il faut bien lire "l'air du carrée" > 3*"aire du triangle" c'est à dire x²>3*S(x).

Pour la question 2.2, ce qui te pose problème, je pense c'est qu'en fait, tu ne penses pas les choses dans le bon sens ici. En effet, le but de la question c'est de montrer que: x²>3*S(x)

En conséquence, on ne peut pas écrire en première ligne de la résolution: x²>3*S(x) car cela reviendrait à supposer le résultat vraie et démontrer qu'il est vraie ce qui n'est pas notre but .

Alors comment s'y prendre pour regagner de la rigueur?

Il y a un moyen ici c'et de raisonner par équivalence ce que tu as explicitement fait d'ailleurs mais que tu n'as pas écrit.

En effet, dire que x²>3*S(x) c'est bien équivalent à dire que x²>3*x*(x-6)/2

C'est à dire que:

Les valeurs de x vérifiant l'inégalité x²>3*S(x) sont bien exactement (c'est à dire pas plus ni moins) qui vont vérifier l'inégalité x²>3*x*(x-6)/2

Ce qu'on peut encore dire ici:

x²>3*S(x) <=> x²>3*x*(x-6)/2 (résoudre la première inéquation revient bien à résoudre la deuxième et inversement)

Avec une telle rédaction on regagne le côté rigoureux mais bon, il faut toujours vérifier qu'il y a équivalence pour être sur de ne pas écrire de bétises. N'y a-t-il pas plus intuitif?

Bien sur que si, il y a plus intuitif!

En effet, il suffit d'étudier le signe de la différence tout simplement: 3*S(x)-x² par exemple. Et on espère que cela reste tout le temps strictement négatif.

Est-ce que cela estp lus clair?

Je te laisse par contre, revoir ta conclusion qui s'avère fausse alors que ton étude est exacte. Regarde les solutions sur un graphique (une droite graduée par exemple) si cela peut t'aider à mieux visualiser les choses.

Bon courage!

bonsoir j'ai fais le graph et il est vrai que c plus simple a comprendre

-inf 0 6 +inf
+ 0 - 0 +inf

S= ]-inf;0[U]6;+inf[

je pense que c ca

https://i.servimg.com/u/f65/14/75/11/34/graph210.jpg

Q'as-tu représenter sur ton graphique? ET surtout que cherches-tu à lire sur celui-ci?

La représentation graphique aide à regarder les choses mais ne remplace pas la démonstration. Qu'avais-tu trouvé en résolvant ton inéquation?

Enfin, quelque chose que tu as oublié en route c'est ce que représente x ici. Peut-il être négatif? Pourquoi?

Bon courage!

j'ai représenté

X² et S(x) 3*x*(x-6)/2

S(x)=l'aire du triangle soit x*(x-6)/2

Aire du carré = 3 *S(x)

oui j'ai vu mon erreur

je recommence

Ok pour les représentations!

Maintenant que cherches-tu à lire dessus par rapport à notre question? Il faudrait en effet pouvoir le lire sur le graphique ça serait intéressant pour mieux fixé les objectifs de la démonstration et donc fixer les idées. Même si ta résolution était bonne suffisait juste d'améliorer la rédaction et surtout de ne pas se planter sur la conclusion par rapport au tableau de signe.

Bon courage!

g representé x , x-18 et x(x-18)

-inf 0 1 +inf
x - 0 + | +
(x-18) - | - 0 +
x(x-18) +0 - 0 +

mais en fait je ne sais pas trop ce que je cherche, c koi en fait ? peut etre la longueur x

Nickel, ce n'estp as mal de représenter celà en effet! Car sur l'autre graphique, on n'avait pas le visuel pour x=18 où il y a un point d'intersaction entre les deux courbes comme tu le constantes.

Par contre, tu es en effet déconnecté du problème. Ici, on modélise un objet géométrique en l'occurence un carré et x représente quoi sur ce carrée?

i)Quelles sont les valeurs possibles pour x d'après l'énoncer?

ii) Conclure

Bon courage!

S=[0;18}

x représente un coté du carré

mais le 18 représente quoi ?

c''est vrai a force je suis déconnecté lol

Alors x représente en effet, une longueur donc positive.

Mais regardons de plus près:

Citation :

On désigne par ABCD un carré de côté x, exprimé en centimètres, avec x>6

Ainsi, x n'est pas que positif et n'est pas majoré d'après l'énoncer (il n'y a pas de borne limite supérieur pour la valeur du côté du carré qu'on considère à première vu).

i)Maintenant, qu'elle est la question à laquelle nous répondons?

ii)Ensuite, quel signe nous intéresse ici pour répondre à la question? (qu'allons-nous lire dans le tableau de signe c'est en gros cela la question)

iii) Conclure

Bon courage!

ce que l'on cherche c l'aire du carré par rapport à l'aire du triangle

on c que l'aire du Carré et > 3 * A du triangle

x<18. x est donc compris entre 6 et 18 .

Comme on a x > 6 d'après l'énoncé , alors :

L'aire du carré ABCD est strictement supérieure au triple de l'aire du triangle pour x]6;18[.

Excellent !!!

La difficulté en fait de ce genre d'exercice ce n'est pas de fairel e tableau de signe qui avec de l'entraînement fini par se faire en 10minutes grand maximum (résolution/factorisation + tableau de signe). Le plus difficile dans ce genre d'exercice c'est surtout de savoir ce qu'on fait et surtout pourquoi on fait tels ou tels calculs.

L'autre dimension de la difficulté c'est le lien constant qu'il faut essayer de faire entre les objets qu'on manipule (ici x) et le lien concret avec l'exercice (ici une longueur sur laquelle on fait des hypothèses).

C'est pour cela que l'idée c'est de systématiquement commencer au brouillon par mettre en corrélation les objets mathématiques et ce qu'ils représentent dans mon exercice. Ainsi, nous avons toujours les hypothèses en fin de calculs qui sont à portée de main pour vérifier si notre résultat est cohérent ou pas.

En l'occurence ici, pourquoi x>6 est très important? On aurait pu d'ailleurs ne pas donner cette hypothèse car elle se déduit de la construction. En effet, on suppose un point du segment [AB] qui s'appelle E tel que la distance EB=6cms. Ainsi, vu que E est sur le segment c'est à dire entre le point A et le point B, il faut au minimum que la distance AB soit au moins égale à EB c'est à dire que je prend E confondu avec le point A (E=A). Et donc la distance AB est supérieur ou égale à EB=6cms. Or AB=x par hypothèse donc x supérieur ou égale à 6. Et l'énoncer lui est plus précis car il veut que E soit différent de A et donc la distance AB>EB=6cms.

C'est assez cruciale d'avoir compris pourquoi cette hypothèse est vraiment non négligeable sinon, c'est comme-ci on construisait un avions mais que le réacteur dans les calculs soit consédéré non solidarisé avec la carlingue ce qui serait absurde. Mais dans cette exemple ça choque alors que dansl e formalisme mathématiques ça ne choque pas car, on a du mal à bien comprendre ce qu'on manipule réellement et donc ce qui représente les objets qu'on manipule et jusqu'où on peut manipuler les objets en question.

Bon courage pour la suite en tout cas!

en fait g compris grace a Excel lol

x Aire carré Aire triangle
6 36 0
7 42 3,5
8 48 8
9 54 13,5
10 60 20
11 66 27,5
12 72 36
13 78 45,5
14 84 56
15 90 67,5
16 96 80
17 102 93,5
18 108 108 -----> ici
19 114 123,5
20 120 140
21 126 157,5

ici on a le moment ou l'aire du carré=celui du triple du triangle et on a x=18

Je pense que c bon pour aujourd'hui.
Je te souhaite une tres bonne nuit Blagu'cuicui

Encore merci et à très bientôt

C'est un autre procédé pour constater le résultat. Le soucis du procédé? Si la valeur n'est pas entière pour le changemetn de signe, tu ne l'as verra plus de façon explicite mais par contre tu pourras l'encadrer ce qui est un bien ne soi car ainsi tu pourras vérifier la cohérence de tes résultats théorique.

Sinon, le tableau de signe nous le donne en disant qu'on cherche l'ensemble des valeurs de x tel que 3*S(x)-x² est strictement négatif. Après calcul, on trouve que 3*S(x)-x²=x*(x-18)

Et on cherche pour quelles valeurs de x, x*(x-18) est strictement négatif. Or on connaît le signe d'un produit de deux facteurs. En effet si les deux facteurs sont de même signe (tous les deux positif ou tous les deux négatifs) alors le produit est positif et si les deux facteurs sont de signes contraire alors le produit négatif.

C'est pour cela qu'on cherche le signe de chacun des facteurs et qu'on construit un tableau donnant le signe de chacun d'eux car il suffira de "multiplier les signes" pour trouver le signe du produit et ainsi conclure. L'avantage ici c'est qu'on retrouve la rigueur de la démonstration et donc le résultat est irréfutable du coup ce qui n'est pas le cas sur la lecture graphique par exemple ou le tableau excel lorsque la valeur n'est pas aussi précise. Par contre Excel ou le graphique sont deux outils très performant pour aider à la compréhension du problème d'une part et aussi à la conjecture de la solution ou à l'approximation de celle-ci. Ce qui permet donc d'avoir une cohérence (éviter de conclure que la vitesse de rotation de la terre est supérieur à la vitesse de la lumière par exemple si on prend le cas d'un problème de physique).

En espérant que la démarche sera plus clair ainsi que l'utilité du tableau de signe.

Bon courage pour la suite et bonne nuit en effet!