[Probleme à résoudre] Fonctions et représentation graphique

Bonjour

me revoilà pour un nouvel exo, je voudrais le résoudre mais je n'arrive pas à finir

merci d'avance à ceux ou celles qui m'aiderons !

Une entreprise fabrique et vend un produit. On note f(x) le coût de
production (exprimé en milliers d'euros) de x tonnes de ce produit.
Pour [0 ; 11], des études ont montré que: f(x)=x³−12x²+50x .

1. 1. Dresser le tableau de valeurs de la fonction f (donner à x les
valeurs entières de 0 à 11).

1.2. Tracer sur l'intervalle [0; 11] la courbe représentative de la
fonction f sur l'écran de la calculatrice puis sur une feuille (unités: 1cm
pour 1 tonne en abscisses et 2 cm pour 100 000 euros en ordonnées.)
Attention aux unités.

2. L'entreprise vend son produit 30 000 euros la tonne; on note g(x) la
recette exprimée en milliers d'euros et B(x) le bénéfice:
B (x)=g (x)−f (x).

a. Exprimer g(x) en fonction de x.
b. Représenter graphiquement la fonction g dans le même repère que la
fonction f.

3. a. Déterminer graphiquement les quantités de produit pour lesquelles
l'entreprise est bénéficiaire.

b. Développer (x −2)(x −10).

c. Résoudre alors de manière algébrique l'inéquation B (x)>0,

-----------------------------------------------------------------------------------------------

1.1)a/
f(0)=0
f(1)=39
f(2)=60
f(3)=69
f(4)=72
f(5)=75
f(6)=84
f(7)=105
f(8)=144
f(9)=207
f(10)=300
f(11)=429


1.2. en abscisse (x) de 0 à 11 (1 trait tout les cm); en ordonnée (y) de 0 à 429000 € (1 trait tout les 2 cm pour 100 000€) donc jusqu'à 500 000€ (soit 5 traits).

...

Bonsoir,

La difficulté de ce genre d'exercice est de bien poser les choses au fur et à mesure. C'est à dire qu'il ne faut pas se précipiter dans les calculs mais bien entendu prendre le temps au brouillon de renoter chaque partie de l'énoncer qui nous permet de comprendre quel objet correspond à quelle valeur concrète.

Par exemple, ici, il faut commencer part noter quelque part que x appartient à l'intervalle [0;11] et son unité c'est la tonne du produit (c'est à dire que x varie de 0 tonne à 11 tonnes de produit). Ensuite, il faut écrire aussi au brouillon qu'il y a un lien entre le coût de production d'un objet et le nombre de tonne de produit qu'on va avoir. Et ce lien c'est la fonction f qui le donne en disant que dans l'intervalle considéré le coût de production de x produit est donné par la formule F(x).
Et par la suite compléter ce brouillon avec les données qu'on pourrait nous transmettre en plus (le bénéfice, le prix de vente, ...).

Voilà, une démarche assez simple à faire je pense pour bien aborder et mieux comprendre ce genre d'exercice.

Sinon, venons-en à l'exercice en lui-même. Je n'ai pas refait tous les calculs mais la méthode est juste pour la première question. En effet, on nous dit de prendre quel es valeurs entières dans l'intervalle [0;11] et il y a bien 12 calculs à effectuer en effet. Pour la représentation sous forme de tableau, le plus classique c'est un tableau avec deux ligne où sur la première, on met les valeurs de x et sur la deuxième, on met les valeurs de l'image par la fonction F c'est à dire F(x). Ainsi construit, tu as bien un tableau de valeurs de ta fonction.

La question 1.2) est exacte aussi, il faut juste faire attention que par rapport à d'habitude où on considère un repère orthonormé, ici, il n'est que orthogonale.

Rappel:

- Un repère (O,I,J) est orthogonale si (OI) est perpendiculaire à (OJ) mais OI n'est pas forcément égale à OJ. On dit que les axes sont perpendiculaire tout simplement (ou orthogonaux si on veut être pompeux et c'est de là que vient le nom du repère)

- Un repère (O,I,J) est orthonormé si d'une part (OI) perpendiculaire à (OJ) et d'autre part OI=OJ. On dit quel es axes sont orthogonaux (le préfixe ortho- vient de là pour le nom du repère) et que les unités sur chacun d'eux sont identique et les unité sont appelé soit des distance (la distance OI, OJ) mais aussi on peut leur donner le nom de norme et c'est de là que vient le "normé" pour le repère.

Pour la question 2), il faut commencer par comprendre l'ajout d'énoncer qu'on fait c'est à dire à quoi correspond exactement B(x) et g(x) c'est à dire à quoi correspond les images de x (qui est un fait un nombre de produit en tonnes) par les deux fonctions respectifs. Et c'est là qu'on écrit à la suite de son brouillon mis à part avec toutes les premières données du texte.

Ensuite, lorsqu'on ne comprend pas les question car les chiffres sont trop gros ou que rien n'a l'air concret, il faut essayer de se ramener à la modélisation du texte. En effet, ici, nous avonsl a chance d'avoir un problème vraiment concret qui est le principe d'une entreprise qui produit (coût de production), qui vent (argent qui rentre à la vente) et qui essaie autant que faire se peut de faire des bénéfices (genre, il y aura peut-être des machines à changer l'année prochaine et des personnes à ambaucher ou à augmenter voire même à payer tout simplement). Voilà en gros l'idée générale de notre problème.

Maintenant, la première question de la partie 2) c'est de savoir combien il gagne lorsqu'il vend x tonnes de produit. Bon, dit ainsi, ce n'est peut-être pas plus clair et bien essayons d'abord de regarder pour quelque valeur de x tout simplement. C'est ce qu'il faut absolument faire au brouillon lorsqu'on est bloqué par les lettres c'est d'y mettre des valeurs et essayer de comprendre comment ça marche.

Alors essayons, en question intermédiaire avant la question 2.1 essayons la question 2.0 suivante:

2.0) Calculer la recette d'une vente de 1 tonne de produit. Puis de 2 tonnes de produit. Est-il possible de calculer le prix de la recette pour une vente de 11 tonnes de produit? Si oui, la calculer.

2.1) Exprimer g(x) lorsque x varie de 0 à 11.

Bon courage!

oui vais faire un tableau plus compréhensif : et un pti coup d'excel
Merci en tout cas c vrai que c plus facile en mettant tout sur papier et prendre comme exemple (la fabrication d'une chaise, lol un peu chere j'avoue lol)

x 000 001 003 004 005 006 007 008 009 010 011
f(x) 000 039 060 072 075 084 105 144 207 300 429

x f(x) f(x) g(x)=30*x B(x)=g(x)-f(x)
0 f(0)=0 0 0 0
1 f(1)=39 39 30 -9
2 f(2)=60 60 60 0
3 f(3)=69 69 90 21
4 f(4)=72 72 120 48
5 f(5)=75 75 150 75
6 f(6)=84 84 180 96
7 f(7)=105 105 210 105
8 f(8)=144 144 240 96
9 f(9)=207 207 270 63
10 f(10)=300 300 300 0
11 f(11)=429 429 330 -99


x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(x) 0 39 60 69 72 75 84 105 144 207 300 429
g(x) 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330
g(x)-f(x) 0 -9 0 21 48 75 96 105 96 63 0 -99
] [

Pour le 3

3.1 : on voit bien sur le tableau sur excel et sur le graph de la calculatrice que l'entreprise commence a faire des bénéfices ]2;10[ tonnes de productions (là cependant je ne sais pas si faut prendre ou pas 0 ??

... pour la suite je regarde

la suite :

3.2. developper (x-2)(x-10)
x²-10x-2x+20= x²-12x+20

3.3. resoudre algébriquement l'équation b (x) > 0
B(x)>0
g(x)-f(x)>0
30x -( x^3 - 12x² + 50x)
= 30x-x^3+12x²-50x
= -20x-x^3+12x²
=-x^3+12x²-20x

B(x)>0
-x^3+12x²-20x>0
-x(x²-12x+20)>0 -----> ici on retrouve le meme cas que le 3.2 donc :
-x (x-2)(x-10)>0

je cherche les valeurs annulant :

x=0 x-2=0 x-10=0
x=2 x=10
S= (0;2;10)La société ne réalise aucun bénéfice si la quantité produite est égale à 0, 2 ou 10 tonnes

Excellent pour le g(x) !!!

En effet, g(x) est exprimé en millier d'euros, il faut donc diviser par 1000 le prix de vente qui était de 30 000€pour une tonne. ET ainsi, on obtient bien g(x)=30*x

Il n'y avait pas besoin par contre de refaire un tableau de valeur pour g et encore moins pour B vu que le tracer de B à cette question n'est même pas encore demandé en fait. Donc, tu fais juste un tableau de valeurs pour g à la rigueur et tu traces ta courbe avec le même repère que l'autre et dans le même repère d'ailleurs.

Le but c'est quoi?

Et bien lorsqu'on représentant le coût de production avec le prix de vente, on sait à partir de quelle moment, on vent plus cher qu'on achète. Ce qui est tout de même le but si on veut que notre société de chaise (des tonne de chaise ça fait pas mal en effet ) tourne bien. Le minimum c'est au moins que le coût de fabrication soit égale au prix de vente et ainsi, on gagne rien mais on ne perd rien. Bon à terme, si on se place dans la vie réelle cette fois-ci et non dans l'exercice, il faut savoir que si on gagne autant qu'on touche dans une usine de fabrication et bien en fait à terme on ne pourra plus produire. Pourquoi? Car il faut bien réparer les machine de fabrication qui pourrait planter par exemple ou en acheter des neuve pour suivre la production pour un autre exemple (je ne compte pas payé les salarier et le reste bien entendu comme les augmentation de salaire par exemple pour suivre le coût de la vie). Pourquoi j'insiste sur l'aspect réel alors que cela n'a rien à voir avec notre exercice? Et bien tout simplement parce qu'il faut savoir que ton exercice s'appelle un fait un exercice de modélisation c'est à dire qu'on part d'un problème (ici vendre et produire un produit) et on cherche quel modèle mathématique va pouvoir régir le gain et la perte d'argent de mon entreprise. C'est donc un problème concret qu'on a modélisé en problème mathématique. Le but à partir de là, c'est de savoir si le modèle est cohérent avec la réalité ou si au contraire, il ne l'ai pas du tout. Car en effet, tout n'est pas toujours juste dans les modélisation mathématiques et c'est d'ailleurs pour cela qu'avant de lancer un TGV à 300kms/h, il y a des testes d'effectuer sur la résistance des lignes électrique, des railles, si le tracer du TGV c'est à dire les courbes et donc les fonction qui sont sous jacente sont prenable à une telle vitesse ou pas. Et à partir de là, il y a plusieurs modèle mathématiques possible et il va falloir les tester tous pour savoir lequel est le plus cohérent ou alors complètement revoir sa copie par exemple.
On voit ici toute la puissance des mathématiques à l'oeuvre en fait, il est que trop rare de la voir car avec le bagage mathématiques de secondes, on ne peut que entre voir la multitude de problème qui sont possibles et gérés par des équations mathématiques en fait. C'est pour cela que je me permets une digression qui je l'espère aura été intéressante.


Pour la question 3.1, en effet, il s'agit de regarder le moment où la courbe représentant la vente est au-dessus de la courbe représentant le coût de production (on fait du bénéfice si on vend plus cher que le coût de production c'est évident) et c'est donc entre [2;10] et il y a en effet le x=0 qui permet de rester à compte fixe mais là on produit rien et on vent pour rien aussi donc forcément pas trop de risque de gagner ou perdre quelque chose. Par contre, il faut le signaler et le fait de donner une interprétation sur le cas concret peut être apprécié car montre ton recule sur ce que tu es en train de faire.

Pour la dernière question, tu as étudié les choses en routine c'est dommage d'avoir été grisé par la fin de ton exercice . En effet la question est:

A partir de combien de tonne de produit l'entreprise fait un bénéfice strictement positif c'est à dire qu'on cherche l'ensemble des valeurs de x entre 0 et 11 qui vérifie l'inéquation B(x)>0.

Et toi tu réponds:

Citation :

je cherche les valeurs annulant :

x=0 x-2=0 x-10=0
x=2 x=10

Citation :

S= (0;2;10)La société ne réalise aucun bénéfice si la quantité produite est égale à 0, 2 ou 10 tonnes

Je veux bien mais ce n'est pas la question! La question est: Quand B(x)>0 ? Et tu réponds: B(x)=0 pour x=0;2 ou 10.

Donc je repose la question quand est-ce que c'est strictement positif?

Le meilleur moyen de répondre ici c'est de faire un tableau de signe, je pense.

Bon courage pour conclure et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

bonjour cuicui

en fait j'ai lu les courbes à l'envers

Il y aura donc un bénéfice >0 si les recettes sont plus grandes que le coût de production, Les valeurs correspondantes de x sont dans ]2;10[.

je pense que c ca

Merci pour ton aide précieuse ;-)

Bonsoir,

C'est exactement ça en effet!

Maintenant ce qui serait intéressant de regarder c'est:

- Est-ce que nous n'avions pas déjà trouvé le résultat à cette dernière question?
- A ce moment là, quel est le but de cette dernière question ou de ses deux dernières questions?

Mais encore plus intéressant je trouve et même plus fondamentale en soi, je trouve qu'il y a une question qui se pose:

- Quel démarche a été proposée dans l'exercice? C'est à dire: "Comment a été rédigier cette exercice et dans quel but?"

Je sais qu'on vous demande rarement cela car le but est de comprendre et d'appréhender les objets mathématiques ainsi que les notions nouvelles. Mais je trouve qu'à posteriori, il est intéressant de regarder un peut la trame d'un exercice et la démarche de celui-ci. L'intérêt est pédagogique d'une part car cela permet de prendre un peu de recule par rapport aux notions qu'on manipule (type digression sur la modélisation que j'ai faite au-dessus) mais cela permet aussi (tout dépend des élèves bien entendu), je pense, de mieux comprendre une démarche mathématique et donc de savoir pourquoi dans tel cadre d'exercice, on utilisera une méthode plutôt qu'une autre.

Bon courage!

Bonsoir,

J'ai fais un peu de compta etant jeune (quoi que 40 ans, c pas si vieux que ca lol) et cet exo ressemble surtout à un seuil de rentabilité et l'entreprise etabli un model de calcul afin de connaitre quand cela devient rentable.

Mtn le plus difficile est d'expliquer à mon fils les mothodes de calcul de fonction et des tableaux de signes.
Mais c'est vrai il est beaucoup plus simple avec un exercice sur un cas "réel" dans une entreprise.

Grâce à tes conseils et être passé sur mathenpoche et autre site qui proprosent des exercices intéractifs, je comprends un peu mieux les Fonctions.

* Mtn son nouveau cours est sur les Equation de droites (tout un programmen, ca doit ressembler à des vecteurs, je vais regarder ca)

bien évidement je suis preneur de tes conseils précieux ;-)

Encore merci pour tout

cédric

En effet, c'est un cas concret donc il est facile de mieux se représenter les choses mais en plus de cela l'exercice est très linéaire de surcroît ce qui aide aussi pas mal.

En effet, pour répondre à la question:

Citation :

- Est-ce que nous n'avions pas déjà trouvé le résultat à cette dernière question?

Et bien oui! La solution n'est autre quel a solution trouvée à la question 3)a) où on résolvait graphiquement cette dernière question de l'exercice. Et légitimement, la question suivante se pose:

Citation :

- A ce moment là, quel est le but de cette dernière question ou de ses deux dernières questions?

En effet, quel est l'intérêt de retrouver cette réponse par le calcul alors qu'on la connaît déjà? Et bien tout simplement parce qu'une lecture graphique ne démontre rien en mathématiques. Le but de la lecture graphique est de pouvoir avoir une idée de la solution mais cela ne sera en rien une démonstration rigoureuse (épaisseur du crayon, lissage de la courbe car on ne peut pas prendre tous les points dans le tableau de valeurs par exemple). En conséquence, la question 3)b) et 3)c) ont véritablement pour but de démontrer rigoureusement (avec des argument irréfutable c'est à dire de logique ou s'appuyant sur des propriétés et théorèmes démontrés voire même sur des axiomes mathématiques par exemple).

Et en répondant à cette question, j'ai donc répondu à ma dernière question car ici l'exercice propose une démarche d'analyse du problème jusqu'à la question 3)a) comprise où on va mettre en équation le problème (le modéliser) puis tracer les courbes et les observer. Puis, on va déduire des choses de nos observations et enfin et non des moindre, on va tenter de démontrer que nos observation sont en fait authentique.

La démarche est vraiment très linéaire et très intuitif surtout et c'est tout le principe d'une raisonnement par modélisation d'un problème concret (ou par mathématisation d'un problème).

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire ou si tu as besoin de précisions supplémentaires.