[Term S] (DM pour le 12.10.09) Sur les suites

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour un DM de math que je n'arrive pas à faire:

Soit a et b deux réels positifs. On définit alors les deux suites récurrentes par :
a₀ = a et b₀ = b
les relations a_n+1 = (a_n + b_n) / 2 et b_n+1 = √(a_nb_n) pour n ≥ 0.

1) On suppose que b=0 et a ≥ 0.
Calculer alors a_n et b_n en fonction de n, a et b.
Déterminer la limite de ces deux suites.


Si je pouvais avoir de l'aide. Merci beaucoup.

Bonsoir Lucie,

Ton exercice est un peu brut mais le but est de te faire appréhender les choses par toi-même et te faire découvrir des moyens pour se sortir de situation un peu bloquante comme celle-ci.

En effet, tu as deux expressions qui dépendent l'une de l'autre. Par conséquent, on ne connait pas beaucoup de résultat sur le sujet voire même qu'on connaît rien du tout sur le sujet.

Alors comment faire? Et bien on peut déjà regarder ce que donne le calcul des premier terme de chacune des suites au cas où cela ne nous donnerait pas quelques idées sur la forme de l'une ou de l'autre suite.

A quoi sont égaux les 4 premiers termes de chacunes des deux suites?

Merci, j'ai finalement réussi à faire la question.
J'ai trouvé que: a_n = (1ⁿ/2) * a et b_n = 0
Et donc la lim a_n = 0

Ensuite les autres questions de cette partie de l'exercice je pense pouvoir m'en sortir.

Par contre dans l'autre partie de l'exercice je ne comprend pas l'énoncé (car je n'ai jamais utilisée cette écriture) :

On vient d'établir que pour tout couple (a,b) de réels positifs, les deux suites (a_n) et (b_n) convergent vers une même limite.
On note L(a,b) leur limite commune, appelée moyenne arithmético-géométrique.
Cherchons quelques propriétés de L(a,b).
1) Calculer L(a,0) et L(0,b).

Pourriez-vous m'éclaircir svp? Merci.

Bonsoir,

En effet, on montre par récurrence que b_n=0 puis à partir de là, on déduit que (a_n) est une suite géométrique de raison q=1/2 et le tour est joué!

J'image que les questions suivantes étaient de montrer que (b_n) et (a_n) étaient des suites adjacentes et par conséquent, elles tendent vers la même limite.

Maintenant, il s'agit d'une notation qu'on introduit pour mieux comprendre le lien entre la limite qu'on trouve et la condition initiale qui est continue dans le coupe (a,b). En fait, on pourrait noter la limite commune à ses deux suites L.

Cependant, nous ne savons pas à priori si la limite ne dépend pas des conditions initiales c'est à dire des valeurs que peut prendrel e couple (a,b). Par conséquent, on dit que cette limite est une fonction de deux variable a et b ce qui se note (et il ne s'agit que d'une notation) "L(a,b)".

"L(a,b)" signifie que L dépend de deux nombres qui sont a et b (c'est à dire la valeur de a₀ et b₀). Maintenant, le but va être de savoir comment va varier la limite en fonction de ses conditions initiales là.

Donc la première question, on revient au début pour bien entrevoir comment fontionne cette fonction et on te demande de "calculer" L(a,0).

Mais en fait qu'esst-ce que L(a,0) ??? Il s'agit de la limite des deux suites lorsque la condition initiale est a positif ou nul et b=0 c'est à dire les conditions de la toute première question en fait.

Donc en fait L(a,b) sera la valeur de la limite de nos suites pour des conditions initiales a et b positifs ou nuls tout simplement.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage!

Oui merci ça m'a éclairé, j'ai donc réussi a faire toute cette deuxième partie.
Mais pour en revenir a la première partie, je bloque à un endroit.

J'ai donc a_n+1 = (a_n + b_n) / 2 et b_n+1 = V(a_nb_n)

Je dois montrer que b_n+1 < ou = a_n+1

Je dois donc faire la différence a_n+1 - b_n+1 et montrer que cette différence est positive.

Ce qui donne [ (a_n + b_n) / 2 ] - [ V(a_nb_n) ]

Mais là je reste bloquée, je ne sais pas comment continuer.

Mon professeur nous a dit qu'on doit tomber sur une identité remarquable, mais je n'arrive pas à la trouver...

Bonjour,

Il y a en effet apparition d'une identité remarquable. Mais, il faut mettre tout au même dénominateur et regarde la forme que tu obtiens au numérateur, elle est caractéristique d'une des identités remarquables.

Bon courage et n'hésite pas si tu ne trouves pas à me demander des précisions surtout!

C'est bon j'ai enfin fini mon DM !

Merci beaucoup pour tout !