[PCSI] Equa diff

Re !

Alors, nouvel exo, je coince dès le début:

L'objectif de cet exercice est de trouver toutes les fonctions f:]0;+infini[ -> R deux fois dérivables telles que f(1)=0 et 4xf"(x) + 2 f'(x) - f(x) = 0 pour tout x € ]0;+infini[. On notera dans toute la suite S l'ensemble des solutions de notre problème.

1) Soit f€S. On définit la fonction g:]0;+infini[ -> R qui à t associe f(t²).

a) Soit x€]0;+infini[. Calculer f(x), f'(x) et f"(x) en fonction de g et de racine(x).
b) En déduire que g"(t)-g(t)=0 pour tout t€]0;+infini[.

Voilà !

J'ai bien essayé des trucs pour la 1a), mais comme je sais pas si f est bijective ou quoi, j'avance pas !

Bonsoir,

Le but va être de résoudre l'équation différentielle du second ordre donc et de façon brute nous ne savons pas tout à fait faire. Donc nous allons essayer d'introduire une fonction auxiliaire pour se ramener à une équation plus sympathique.

Et pour cela, on défini le fonction G par: pour tout t>0, G(t)=F(t²) et vu que t est muet, on peut aussi écrire qu'on a:
Pour tout x>0, G(x)=F(x²)

A partir de là, ne vois-tu pas un moyen d'écrire "F(x)=...."?

idée: penser à un changemetn de variable

Bon courage!

En fait on a g(Racine(x))=f(x). Mais il faut une justification d'injectivité ou quelque chose comme ça ?

Il faut surtout pouvoir prendre la racine carrée c'est la seule chose qui nous bloquerait et bien sur il faut que la racine carrée soit bijective vu qu'on pose x=t² <=> t=√x ce qui est possible car x>0 et t>0 (ce qui nous donne la bijection).

Un changement de variable est toujours bijectif en fait pour justement qu'il soit cohérent et qu'il y ait bien équivalence.

Alors maintenant, F'(x)=? F''(x)= ??

Bon courage!

Je viens de me rendre compte que je n'ai toujours pas terminé cet exo.^^

Alors pour la 1b) j'ai remplacé f(x) et ses dérivées par leurs expressions en fonction de g et de √x. Ayant posé t=√x on trouve que g"(t)-g(t) = 0.

Voici la question 2: En déduire qu'il existe une constante A telle que f(x)=A.sh(1-√x).(1/ch(1))

Et je ne comprends pas... Je veux dire résoudre g"(t)-g(t) = 0, ce n'est pas trouver f(x) ?

Bonsoir,

A fortiori si tu trouves la forme des solution de l'équation différentielle vérifiée par la fonction g, tu pourras en déduire la forme de la fonction f vérifiant la première équation différentielle.

Car dans la question 1), on a montré que:

Si f vérifie l'équation de l'énoncer, alors en posant pour tout t>0, g(t)=f(t²), g vérifie la deuxième équation différentielle.

Mais l'implication est aussi vraie, si je considère g solution de l'équation différentielle g''(t)-g(t)=0 alors en posant pour tout t>0, f(t)=g(√t), alors f vérifie l'équation de l'énoncer.


En conclusion, si on trouve g on trouve à fortiori la forme de f.

Est-ce que tu comprends le raisonnement qu'on utilise ici? Le but était de se ramener à la résolution d'une équation différentielle qu'on sait résoudre.

Bon courage!

Ouaip, c'est bien ce que je pensais. Mais les expressions de g, puis de f, ne ressemblent pas à la solution qu'on doit trouver, si ? J'ai beau écrire les solutions sous forme de ch et de sh au lieu de exp, je ne trouve pas...

Alors tu commences à être habitué à la maison, la question qui va tomber maintenant est....

Quelle est l'expression de G? Ba oui comment veux-tu que je sache d'où vient l'erreur si tu ne m'écris pas la forme que tu trouves .

De même pour F.

Bon courage!

J'ai trouvé que g(t) = A.e^t + B.exp^-t = A.ch(t) + B.sh(t)

Mais pour le passage aux ch et sh je suis pas très sur.

Et pour f(x) bin on a f(x)=g(sqrt(x)) non ?

Heu...

Alros l'équation caractéristique est r²-1=0 non?

Du coup, il n'y ap as des erreur de signe quelque part pour ta fonction G?

Sinon, ne passe pas en Sh et Ch dansl a fonction G, passe à la fonction F d'abord, vu qu'on a une conditionne initiation pour F ce qui nous donnera des précision sur A et B.

Bon courage!

Faute de frappe désolé.

Ok ça marche pour la première expression de G.

La deuxième expression est fausse par contre car si on ajoute des termes, il va falloir les enlever:

Sh(t)=(e^t - e^-t)/2
Ch(t)=(e^t + e^-t)/2

Donc ta deuxième expression ne peut pas être juste.

Par contre au lieu de vouloir faire intervenir Ch et Sh dans G ne pourrions-nous pas déjà passer à l'expression de F et ainsi utiliser l'initialisation que nous avons pour cette fonction là, et donc trouver une relation entre A et B?

Bon courage!

J'y arrive pas^^. Il doit être trop tard.

On a Ae² + B = 0 pis ensuite euh...^^ En fait j'arrive pas le passage exp -> ch

Donc B=-Ae²

Ce qui nous donne donc F(x)=A*[e^√x-e²*e^-√x]

Et bien alors commetn fait-on pour avoir le mêem exposant dans les exponentielle pour effectuer un changement en Sh? Tu sais faire pour les cosinus et les sinus, j'en suis persuadé que si je te donne e_ia+e_ib, tu me trouve sont expression en fonction d'un cosinus grâce à une factorisation simple.

Et bien là c'est pareil, factorisons notre soustractino d'exponentielle pour avoir des exposant opposés.

Bon courage!