Dérivation.

Non pas maximum mais plutôt il représente le coefficient limite de la droite orange c'est à dire exactement le coefficient de notre tangente.

Est-ce que du coup c'est plus clair la relation entre une tangente et un nombre dérivée? Le nombre dérivée te donne la pente de ta tangente tout simplement c'est à dire la vitesse qu'aurait ton mobile à l'emplacement d'abscisse a.

Bon courage!

d'accord.. On ne nous l'avais jamais expliqué comme ça.. Et est ce que cette vitesse est en rapport avec l'incurvation de notre courbe?

Il y a un lien en effet. La vitesse est lié à la trajectoire de ton mobile en fait.

Pour revenir aux mathématiques, nous avons donc le fait que la dérivée d'une fonction a un lien avec la fonction elle-même (heuresement ).

bon maintenant, pour ne finir avec cette tangente, nous savons que son coefficient directeur est F'(a) vu que c'est la limite du taux d'accroissement. De plus, nous savons qu'une tangente est nue droite et par conséquent son équation est de la forme y=c*x+d avec c=F'(a) donc ce qui nous donne y=F'(a)*x + d

Maintenant, comment trouver d sachant qu'il s'agit de la tangente au point d'abscisse a bien entendu?

Bon couarge!

C'est pas ce qu'on appelle l'approximation affine??

bonsoir,

L'approximation affine d'une fonction F en un point d'absccisse a ce n'est autre que l'équation de la tangente en a. Pourquoi?

Car si on zoom très très près de la courbe représentant F au point d'abscisse a, on pourra presque voir qu'il s'agit d'un segment. Ainsi, la première approximation d'une courbe en un point va consister à considérer l'équation de la droite passant par le segment et il s'avère que la plus proche des droite est bien la tangente. C'est ce qu'on appelle une approximation polynômiale de degré 1. C'est une approximation très grossière car dès qu'on s'éloigne de l'abscisse a, on s'éloigne de plus en plus de la véritable valeur de notre fonction (sauf si notre fonction est une fonction affine bien entendu vu que son approximation sera elle-même).

Il existe plusieur moyen d'approcher une fonction et l'approche la plus classique c'est une approche par morceaux de segment c'est à dire qu'on considère en des points donnés les approximation affine au point et cela nous donne une allure grossière de la courbe. Ensuite, il existe des approximation plus évoluée qu'on ne voit pas en terminale et qui se base sur le même principe "approcher une fonction du mieux qu'on puisse par des polynôme" mais au lieu de prendre des polynôme de degré 1 et bien on peut augmenter le degré du polynôme par exemple.

Mais ceci ne répond pas à la question comment trouver la valeur de d dans l'équation de notre tangente en a: y=F'(a)*x + d.

Bon courage!

Je vois pas du tout..

Sachant que F'(a) est fixé, la seule inconnue est bien d dans l'équation y=F'(a)*x+d.

Par conséquent, si nous connaissons une relation entre un x et un y donnée, nous allons pouvoir conclure. C'est à dire connais-tu un point de cette tangente dont les coordonnées vérifieraient l'équation de celle-ci?

Bon courage!

Le point ou l'on fait la dérivation?

Tout à fait!!

Quelles sont ces coordonnées vu que son abscisses c'est a et que notre fonction ici c'est F ?

Bon courage!

(a ; f(a) )

Excellent!

Alors allons-y, qu'est-ce que cela signifie que ce point appartient à la tangente? Et que vaut d du coup?

Bon courage!

Il aurait pour coordonnées (a+d ; f(a+d) ) ?? Et d serait l'erreur alors?

Oulà, tu traîtes plusieurs choses en même temps là.

En effet, ci, nous cherchons la valeur de d dans l'équation de la tangente c'est à dire y=F'(a)*x+d

Tu m'as dit que le point A(a,F(a)) appartenait à cette tangente. Conclusion, que vaut la valeur de d?

Nous reviendrons sur l'erreur commis lors d'une approximation affine par la suite si tu veux.

Bon courage!

Je crois qu'on a y = f(a) = f'(a) +d
d'ou d = f(a) - f'(a)

Petite erreur tout de même. En effet, où est passé la valeur de x dans tout ça? En effet, tu prend y=F(a) mais pour x, tu as oublié de repporter sa valeur dans l'équation.

Je te laisse modifier.

f(a)*x - f'(a)*x ??

Heu là, il y a une conusion.

Que cherchons-nous à faire?

On cherche à trouver la valeur de d dans l'équation y = F'(a)*x + d

Nous savons qu'il s'agit de l'équation d'une droite dont le coefficient directeur est celui de la tangente en a à la courbe représentant la fonction F. ainsi, tu m'as dit que le point A de coordonnées (a,F(a)) appartenait à la courbe ainsi qu'à la tangente en a.

Maintenant qu'est-ce que cela signifie que A appartient à la tangente T? Qu'est-ce que cela signifie sur les coordonnées de A?

Bon courage!

Que son ordonnées sera égale à F'(a)*x + d ?? avec son abcisse = x ?
Je vois pas ou tu veux en venir

Bonjour,

L'abscisse d'un point quelconque sur cette droite vaut en effet x et son ordonnée y est donnée en effectuant le calcul F'(a)*x +d. Le soucis qui nous incombe ici c'est qu'on ne connaît pas la valeur de d. En conséquence, nous sommes bien incapable à partir d'une abscisse x d'avoir accès à l'ordonnée y du point sur cette droite.

Est-ce que jusque là, tu constates bien le soucis?

En conclusion, il nous faut expliciter d en fonction de terme connu ou calculable pour avoir une équation de droite valide mais surtout utilisable. Maintenant, comment faire?

Et bien, il y a un moyen plutôt simple c'est de se dire que tous les points de notre droites ont des coordonnées qui vérifient l'équation de notre droite. Ainsi, en explicitant un seul point de cette droite, on aura une relation entre son abscisse et son ordonnée en fonction de la valeur de d qui sera la seule inconnue de notre équation vu qu'on connaîtra l'abscisse x, l'ordonnée y et que F'(a) est supposé connu.

Est-ce que c'est plus clair au niveau de la démarche?

Ensuite, tu as dit judicieusement que le point A d'abscisse a appartenait à la courbe et par conséquent son ordonnée c'était F(a). Mais en plus de cela vu que A est le point de tangence entre la courbe et sa tangente, c'est qu'il appartient aussi à la tangente d'équation y=F'(a)*x+d.

i)En conclusion, que vérifie a et F(a) en fonction de d?
ii) Conclure sur la valeur de d.

En espérant que les choses s'éclaircissent un peu avec ceci.

Bon courage!

Attends, ça veut dire que le point A peut avoir pour coordonnées:
a ; f(a) ou bien :
x ; f'(a)*x +d

C'est exact!

Or un point ne peut pas être à deux abscisses en même temps (un point a des coordonnées unique dans un repère, heureusement d'ailleurs).

Du coup, qu'avons-nous?

Bon courage!

f(a) = f'(a) x +d
équivaut à d = f(a) - f'(a)x

Tu as considéré l'égalité entre les ordonnées ce qui est exacte.

Mais qu'en est-il des abscisses?

Bon courage!

Pour les ordonnées j'ai a = x.
D'ou d serait égal à : f(a) - f'(a)*a
Mais j'ai comme l'impression de ne pas être arrivé au bon endoirt..

C'est pourtant excellent!

On a donc d=F(a)-F'(a)*a

Donc l'équation de notre tangente en a est y=F'(a)*x + F(a)-F'(a)*a

Enfin, si je mets F'(a) en facteur sur les deux termes où il apparaît, j'obtiens une formule fort connue:

L'équation de la tangente au point d'abscisse a est y=F'(a)*(x-a) + F(a) !!!

Le lien entre la dérivation est la tangente d'une fonction est donc que le nombre dérivée est le coefficient directeur de notre tangente c'est à dire la direction qu'a notre tangente et de plus sont équation s'écrit y=F'(a)*(x-a) + F(a). Donc l'équation est totalement déterminé à partir du moment où on connaît le nombre dérivée en l'abscisse considérée ainsi que l'image de cette abscisse par la fonction.

Est-ce que cela te paraît plus clair maintenant pour le lien entre nombre dérivée et tangente à une courbe? Est-ce que l'équation de la tangente te paraît plus intuitive et cohérente après avoir redémontrer son allure?

Bon courage!