factorisation

Bonjour ! Je dois factoriser le polynome suivant. . Peux tub m'aider a débuter stp ?

Bonsoir,

La factorisation des polynôme de degré 3 étant hors programme, il doit y avoir un moyen simple de factoriser ce polynôme là. J'avoue que sur le coup, je ne vois pas de factorisation évidente du dit polynôme.

Dans quel contexte travailles-tu pour trouver ce genre de polynôme?

Bon courage!

Eh bien, c'est un exercice hors-programme en fait. On suggère d'utiliser des outils au programme (méthode de Hörner ou division polynomiale). L'exercice a simplement pour but de factoriser les polynôme.

En fait, il est même plus que hors programme car il n'est même pas au programme de terminale et ne sera pas abordé non plus en Bac+1 d'ailleurs.

La méthode de Hörner n'est pas applicable ici car nous n'avons pas de racines évidentes pour se ramener à une factorisation via un polynôme de degré 1 et ainsi retrouver un polynôme de degré 2 à factoriser.

Il y a toujours la méthode de Cardan à la rigueur mais avec autant de paramètre cela va être vraiment horrible à rédiger d'une par et à résoudre d'autre part. Je pense que dans un premier temps, il serait plus intéressant si tu souhaite faire quelque chose de hors programme motivant, de regarder la factorisation de d'un polynôme de degré 3 sans paramètres. Le plus intéressant dans ce genre de "défi" technique c'est de comprendre la méthode. La méthode comprise, tu pourras l'appliquer formellement à cette exemple avec paramètre.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si cela t'intéresse!

Bonsoir !

Si l'on effectue le changement de variable y=a+bx on peut factoriser ce polynôme et diviser non ?
Pourrais tu m'expliquer la méthode de cardan aussi ?

Bonsoir,

Citation :

Si l'on effectue le changement de variable y=a+bx on peut factoriser ce polynôme et diviser non?

Le changement de variable est viable si b est non nul sinon, il n'a pas de sens. Ensuite, tu souhaites diviser P(y) par quoi exactement?

Si au moins, tu proposais le contexte de la factorisation de ce polynôme peut-être y verrait-on un intérêt à ce genre de calcul. Si c'est juste pour faire du calcul pour du calcul, j'avoue que je ne vois pas trop l'apport mathématique de ce genre de chose surtout si le but est de déduire un changement de variable à l'aveugle. La division de polynôme est intéressante mais son intérêt se voit plus vers Bac+1 pour la décomposition en élément simple d'une fonction rationnelle par exemple mais là, c'est vraiment sortir du très lourd sans avoir la base sur l'algèbre des polynômes. De mon point de vu le problème que tu proposes n'a vraiment pas d'intérêt mathématique même si tu souhaites faire du calcul pour du calcul.

Essaie déjà de factoriser le polynôme suivant par exemple: F(x)=x² + x +1 ou encore celui-ci: G(x)=x³+x²+x+1 cela t'apportera peut-être quelque piste intéressante à fouiller si tu souhaites vraiment apprendre quelque chose de neuf mais ce que tu proposes en l'état et pour moi n'a pas d'intérêt mathématique sauf si tu m'en trouve un bien entendu.

Bon courage!

Arfff ! J'ai fait une erreur !
J'ai oublié de préciser une donnée de l'exercice... Il faut démontrer en fait que ce polynôme horrible est factorisable par le polynôme Q(x) défini par : Q(x)=abx²+(a²+b²)x+ab
Cela simplifie t il la résolution ?

Bon alors ça change l'intérêt de l'exercice en effet t surtout ça le rend plus abordable en un sens.

Maintenant cela rentre dans le programme de première car c'est un exercice de factorisation d'un polnyôme du second degré et non plus du troisième degré. Essayons de voir comment s'en sortir.

Si le polynôme P est factorisable par le polynôme Q cela signifie qu'il existe un polynôme T tel que: P(x)=Q(x)*T(x), est-ce que tu es d'accord là-dessus?

Maintenant, cela veut aussi dire que si r est racine du polynôme Q, on a P(r)=Q(r)*T(r)=0*T(r)=0, tu es d'accord aussi?

La première question à se poser est donc de savoir si le polynôme Q a des racines réelles ou non c'est à dire s'il est factorisable ou non.

As-tu des idées là-dessus?

Bon courage!

On peut "bêtement " calculer son discriminant mais ici je pense qu'on peut considérer directement -b/a et -a/b comme racines évidentes

En effet, nous avons donc racines pour un polynôme de degré 2. Peut-on en avoir d'autre?

Du coup, comment peut-on écrire Q(x) sous forme factorisée? Et en déduire la forme factorisée de P(x) en fonction du polynôme T introduit dans mon message précédent.

Que suffit-il de vérifier pour conclure?

Bon courage!

Je ne sais pas s'il pourrait y en avoir d'autres.
Q(x)=ab(x+b/a)(x+a/b) non ?

Bonjour,

En effet, il n'y en a pas d'autre mais cela se justifie en fait si on souhaite être rigoureux. En effet, un polynôme de degré 2 ne peut pas avoir plus de deux racines tout simplement.

Maintenant, que tu as une factorisation pour Q(x) et que tu as mis en exergue les deux racines, il ne restep lus qu'à montrer que les racines du polynôme Q sont aussi racine du polynôme P et nous pourrons presque conclure du coup.

Bon courage!

Je dois utiliser T pour démontrer que les deux polynômes ont les mêmes racines ?

T ne servait qu'à fixer les idées de ce qu'on devait démontrer. Maintenant qu'on a factoriser Q, il suffit de montrer que P à la même racine que Q pour conclure ou presque (il restera à justifier que a*b est non nul aussi pour que la factorisation par Q soit juste).

Est-ce claire comme démarche ou pas du tout?

Bon courage!

c'est clair mais je ne vois pas comment faire

Tu ne vois pas comment savoir si Q et P ont les mêmes racines?

Peut-être revenir à ce qu'est une racine d'un polynôme pourrait t'aider sans doute. Que signifie la phrase "r est racine du polynôme P" ?

Bon courage!

P(r)=0

Faire des phrases seraient tout de même plus agréable à lire:

r est une racine de P si et seulement si P(r)=0

Connaissant les racines de Q, tu vas donc pouvoir tester si elles sont aussi racines de P.

Bon courage!

je remplace x par -a/b et -b/a dans ce cas ?

Toi qui cherchais à faire des calculs, là tu vas être servi .

Il faut en effet vérifier que P(-b/a) et P(-b/a) sont nulles.

Bon courage!

C'est bon, j'ai vérifié qu'elles étaient nulles.
Tu parlais aussi d'un petit truc à rajouter non ?

Alors là, tu as montré que -a/b et -b/a étaient deux racines du polynôme P. Ainsi, P(x) peut s'écrire sous la forme suivante:

P(x)=(x+b/a)*(x+a/b)*R(x) avec R un polynôme (de degré 1 d'ailleurs).

Est-ce que jusque là, tu es d'accord?

Le soucis c'est que Q(x)=a*b*(x+b/a)*(x+a/b), il y a donc un petit décalage avec la factorisation qu'on exhibe en ayant deux racines du polynôme, tu es d'accord? Il faut donc essayer de faire apparaître a*b dans notre factorisation de P(x) si on veut avoir réellement Q(x) en facteur.

Est-ce que tu vois ce qu'il reste à faire du coup?

Bon courage!

Il y a un lien entre ab et R non ?

Il n'y a pas forcément de lien en fait mais il va falloir forcer le lien c'est indéniable.

Par exemple, si je te donne la fonction suivante: F(x)=2x+3 et que je te demande de factoriser par a*b tu ferai quoi concrètement ?

Bon courage!

Je multiplie par ab/ab chaque terme donc ici: F(x)=2ab(x/ab)+3ab/ab=ab(2x/ab+3/ab)