démonstration des formules sur les exponentielles

Bonjour je comprend pas et ne sais pas faire cet exercice pouvez vous m'aider s'il vous plaît.
1/démontrer que 1/e^i teta=e^-i teta= barre e^i teta.
2/démontrer par récurrenceque, pour tout entier naturel n: (e^i teta)^n= e^in teta


merci d'avance

Bonsoir et bienvenu parmi nous, Léa!

Il faut déjà savoir qu'il est difficile le plus souvent de faire des démonstration avec les complexes car vous venez seulement d'entrevoir ce vaste ensemble cette année et en plus on vous demande d'effectuer des démonstrations au sein de cet ensemble. Pour essayer de simplifier un peu les choses, il faut essayer de se ramener à ce qu'on sait faire c'est à dire faire des analogies au niveau des méthodes qu'on avait dans l'ensemble des réels et qu'on a dans l'ensemble des complexes.

Donc ici, nous avons à démontrer deux égalités, nous allons donc essayer de les démontrer séparément c'est tout de même plus simple. Prenons, la première égalité:

1/e^(i*teta)=e^(-i*teta)

Il s'agit en fait de montrer que la propriété de l'exponentiel réelle se transpose dans l'ensemble des complexes. En effet, tu as sans doute déjà vu que pour tout réel x, on avait: 1/e^x=e^-x. Et nous cherchons donc à montrer que cette propriété est aussi valable avec les complexes.

Te souviens-tu comment nous avions démontré l'égalité pour les réels? Aurais-tu des idées pour démarrer la démonstration?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surout!

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir et bienvenu parmi nous, Léa!

Il faut déjà savoir qu'il est difficile le plus souvent de faire des démonstration avec les complexes car vous venez seulement d'entrevoir ce vaste ensemble cette année et en plus on vous demande d'effectuer des démonstrations au sein de cet ensemble. Pour essayer de simplifier un peu les choses, il faut essayer de se ramener à ce qu'on sait faire c'est à dire faire des analogies au niveau des méthodes qu'on avait dans l'ensemble des réels et qu'on a dans l'ensemble des complexes.

Donc ici, nous avons à démontrer deux égalités, nous allons donc essayer de les démontrer séparément c'est tout de même plus simple. Prenons, la première égalité:

1/e^(i*teta)=e^(-i*teta)

Il s'agit en fait de montrer que la propriété de l'exponentiel réelle se transpose dans l'ensemble des complexes. En effet, tu as sans doute déjà vu que pour tout réel x, on avait: 1/e^x=e^-x. Et nous cherchons donc à montrer que cette propriété est aussi valable avec les complexes.

Te souviens-tu comment nous avions démontré l'égalité pour les réels? Aurais-tu des idées pour démarrer la démonstration?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surout!

Je m'excuse de vous décevoir je m'en rappelle plus. Je n'est aucune idée.

Peut-être que dans ton cours la propriété est marqué de façon brute c'est possible après tout.

Il y a deux choses à connaître pour la fonction exponentielle:

*exp(0)=1

*Pour tout réels a et b, on a: exp(a+b)=exp(a)*exp(b)

Et on utilise ces deux propriétés là, pour démontrer que pour tout réel x, on a:
Exp(-x)*Exp(x)=Exp(-x+x)=Exp(0)=1.
Donc Exp(-x)=1/Exp(x)

Est-ce que cela est plus clair?

Maintenant, essayons de montrer cela avec des complexes à la place des réels. Sachant que normalement, tu n'as pas encore démontré que exp(z+z')=Exp(z)*Exp(z'), il va donc falloir calculer proprement Exp(-i*Thêta)*Exp(i*Thêta).

D'ailleurs, comment s'exprime Exp(i*Thêta) en fonction des fonctions cosinus et sinus?

Je te laisse entamer les calculs et si tout se passe bien le résultat donnera encore 1.

Bon courage!

je vous remercie

Blagu'cuicui a écrit:

Peut-être que dans ton cours la propriété est marqué de façon brute c'est possible après tout.

Il y a deux choses à connaître pour la fonction exponentielle:

*exp(0)=1

*Pour tout réels a et b, on a: exp(a+b)=exp(a)*exp(b)

Et on utilise ces deux propriétés là, pour démontrer que pour tout réel x, on a:
Exp(-x)*Exp(x)=Exp(-x+x)=Exp(0)=1.
Donc Exp(-x)=1/Exp(x)

Est-ce que cela est plus clair?

Maintenant, essayons de montrer cela avec des complexes à la place des réels. Sachant que normalement, tu n'as pas encore démontré que exp(z+z')=Exp(z)*Exp(z'), il va donc falloir calculer proprement Exp(-i*Thêta)*Exp(i*Thêta).

D'ailleurs, comment s'exprime Exp(i*Thêta) en fonction des fonctions cosinus et sinus?

Je te laisse entamer les calculs et si tout se passe bien le résultat donnera encore 1.

Bon courage!