DM sur les cordonées polaire & cartésienne

Bonjour ,
J'aimerais avoir un peu d'aide car je ne sait pas trop comment commencé !
voilà l'énoncer :
Dans un repère orthonormé ( O ,I ,J) on donne les points A et D de coordonées cartésiennes respectives ( ( racine de 3 -1 ) /2 ; (- racine de 3 -1) / 2 ) et (0;1)

les questions :
1) Montrer que les coordonnées polaires du point A sont ((racine de 6 - racine de 2)/2 ; -pi/4).
déterminer les coordonnées polaires du point B tel que OAB soit un triangle direct et isocèle et ractangle en O

2) On donne le point C de coordonnées cartésiennes :
( (racine de 3 +1)/2 ; ( racine de 3 + 1)/2)
Montrer que les points A et C sont situés sur le cercle de centre D et de rayon racine de 2

3) Construire à la règle et au compas les points A , B et C en utilisant les questions précédentes

Pour la question 1)
pour ma notation -> je prends le V pour racine

les coordonnées polaire sont ( R ; alpha )

j'ai bien trouver que R = (V6-V2) /2
a moins que (V3 -V1)/2 + (V3-V1)/2 ne fasse pas (V6-V2) /2 ?! j'ai un peu de mal avec les racines

et après faut utilisée les formule X = R x cos alpha et Y= R x sin alpha pour trouver alpha
Pour X : cos alpha = X/R
cos alpha =( V3-1)/2 divisé par (V6-V2 ) /2
cos alpha = (V3 - 1 x 2) divisé par (2 x V6 - V2)
cos alpha = 2V6 -2 divisé par 2V6 - 2V2 ( donc les 2V6 au numérateur et dénominateur s'annule)
cos alpha = -2 divisé par -2V2
cos alpha = -2V2 divisé pas -2V4
cos alpha = -V2 /2

est-ce bon jusque là ?!

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Alors, il y a de la recherche mais en effet, il y a quelques difficultés sur la manipulation des racines carrées. Je te conseille vivement de t'entraîner à utiliser et à manipuler les racines carrées car c'est non négligeable pour le changement de coordonnées puis sur les normes de vecteurs et bien d'autres domaines des mathématiques.

Donc, non les racines carrées ne s'ajoute pas comme tu le proposes. En effet, √3+√3=2√3 qui est très différent de √6.

Don pour calculer la distance à l'origine (qu'on appelle aussi le module pour la petit histoire), il faut élever au carré l'abscisse et l'ordonnée. Puis additionner les deux résultats. Et enfin, prendre la racine carrée du résultat.

Si tu procèdes ainsi, tu es quasiment sure de ne plus faire d'erreur dans les racines carrées vu que tu ne prendras la racine carrée que lorsque tu auras fini tes calculs intermédiaires ce qui minimise les risque d'erreurs.

Alors si on prend les choses étape par étape, pourrais-tu me calculer la somme des deux carrées puis seulement après prendre la racine carrée.

Bon courage!

Merci !
Ok je reprends :
les coordonnées polaire sont ( R ; alpha )

R = racine ( (V3² - 1² sur 2²) + ( -V3² - V1² sur 2²)
= racine ( 3-1 sur 4 + 3-1 sur 4)
= V3 -V1 /2 + V3 - V1 /2
=(V3 - V1 + V3 -V1) 2
=(2V3 - 2V1) /2
= (V 3x4 - V1x4) / 2
= (V12 - V4)/2
= (V6 -V2) / 2 là je suis pas sûr qu'on peut passer de l'avant dernière étape a la dernière comme ça ....


la suite :
Pour X : cos alpha = X/R
cos alpha =( V3-1)/2 divisé par (V6-V2 ) /2
cos alpha = (V3 - 1 x 2) divisé par (2 x V6 - V2)
cos alpha = 2V3 -2 divisé par 2V6 - 2V2
et après je ne sais pas comment faire ...

Bonjour,

Oulà, il y a un gros soucis qu'il faut corriger tout de suite.

Pourrais-tu développer l'expression suivante (a+b)² ?
Puis écrire sous une autre forme (a/b)² ?

a) De coup, pourrais-tu mettre au carré l'expression suivante: (√3-1)/2 ?
b) De même, pourrais-tu mettre au carré l'expres​sion(-√3-1)/2 ?
c) En déduire, le calcul de [(√3-1)/2]² + [(-√3-1)/2]² .

Je pense que ton soucis majeur c'est de vouloir faire trop de chose en même temps et que du coup, tout ce mélange lorsque tu essaies d'effectuer les calculs. Il faut mieux y aller étape par étape au brouillon comme sur la copie pour que tu puisses avancer de façon sereine. Normalement, tu ne devrais même pas te soucier du résultat de ton calcul mais simplement effectuer le calcul. En effet, si tout se fait dans l'ordre et de façon logique, le résultat aboutira de lui-même à celui que te propose l'énoncé.

Bon courage!

j'avoue que là j'ai un gros soucis je suis d'accord avec vous !

alors pour développer (a+b)² = a²+2ab+b²
(a/b)² sous une autre forme -> a² / b² ou bien Va/Vb

a) ((V3-1)/2)² = V3² - 1² / 2² = 3 - 1 / 4 = 2/4

b)((-V3-1)/2)² = (-V3)² - 1² /2² = 3-1/4 = 2/4

c) (2/4) + (2/4) = 4/4 = 1

?!

et est- ce bon jusque là -> les coordonnées polaire sont ( R ; alpha )

R = racine ( (V3² - 1² sur 2²) + ( -V3² - V1² sur 2²)
= racine ( 3-1 sur 4 + 3-1 sur 4)
= V3 -V1 /2 + V3 - V1 /2
=(V3 - V1 + V3 -V1) 2
=(2V3 - 2V1) /2
= (V 3x4 - V1x4) / 2
= (V12 - V4)/2

Bonsoir,

Il y a un soucis de concentration je pense. En effet, ton développement du carré est juste alors que par la suite tu ne l'appliques pas le moins du monde.

Sinon, tu as un doute qu'on va lever tout de suite, on a bien: (a/b)²= (a²)/(b²), il n'y a pas de racine carrée dans cette expression là.

Maintenant, dans l'expression: [(√3-1)/2]² qu'est-ce qui joue le rôle de a et qu'est-ce qui joue le rôle de b si on considère l'expression générique que j'ai écrite au-dessus?

Bon courage!

ps: tu peux copier/coller le signe de la racine carrée sans aucun problème: √. Il y a tout un sujet dédié au sigle utile pour le forum.

Oui je ne suis pas sûr de ce que je fait alors je perds mes moyens ...

alors 'a' = √3-1 et 'b' =2 !

Alors il y a même pas de guillemet à mettre, on va dire qu'on pose a=√3-1 et b=2.

Ainsi, on doit bien calculer (a/b)² et tu as bien écrit que (a/b)²=(a²)/(b²)

Donc que va valoir, [(√3-1)/2]² ?

Bon courage!

Donc

a= (√3-1)²
b=2²=4


a) [(√3-1)/2]² = (√3-1)²/4

Vu que a c'est l'ensemble (√3-1) donc on ne peut pas mettre √3² et 1² ...
A moins qu'il faut utiliser l'identiter remarquable

(√3-1)²= √3² - 2x√3x1 + 1²
=3-2√3 +1
=4 - 2√3
=4- √12

donc [(√3-1)/2]² = 4-√12 / 4

b) ((-√3-1)/2)² = (-√3-1)²/4

(-√3-1)²= (-√3)² -2x-√3x1 + 12
=3+2√3 +1
=4+ √12

donc [(-√3-1)/2]² = 4+√12 / 4


c) [(√3-1)/2]² + [(-√3-1)/2]²
=(4-√12 / 4) + (4+√12 / 4)
=8 / 4

Bonjour,

C'est déjà beaucoup plus cohérent dans les calculs, tu ne trouves pas? Ça s'enchaine de façon logique et on n'applique que des calculs simples les uns à la suites des autres.

Et on arrive en effet, au fait que x_A²+y_A²=[(√3-1)/2]²+[(-√3-1)/2]²=[4+2√3+4-2√3]/4=8/4

Or on peut encore simplifier cela car 8/4 n'est pas une fraction irréductible surtout que 8 est divisible par 4. Et on trouve donc que x_A²+y_A²=2

Or r_A=√(x_A²+y_A²)

Donc r_A=√2

Ce qui n'est pas du tout ce que te propose ton exercice mais nos calculs sont pourtant juste. Alors n'y a-t-il pas une erreur dans la recopie des coordonnées de A que tu proposes dans ton premier message? Sinon, il s'agit bien d'une erreur de l'exercice en l'occurrence.

bon courage pour la suite de l'exercice!

Oui je trouve aussi merci !

mais oui je suis sûr dans l'énoncée ( sujet bac S d'après Inde ,Avril 2000) les coordonées cartésiennes respectives de A sont
((√3-1)/2 ; (-√3-1)/2 ) ! et on dit bien de montrer que la point A a pour coordonées polaires ( √6 - √2 /2 ; -pi/4 )

du coups je sais pas quoi faire ?! je suis obligée de continuer l'exercice avec ces coordonnée là ...

donc admettons qu'on a trouver ses coordonée polaires maintenant il faut déterminer les coordonnée polaires de B pour que OAB soit direct isocèle et rectangle en O
je ne sais pas comment commencer ?! il faut peut'être démontrer que OA=OB mais de quels façons ?!

Merci

Bonsoir,

Alors admettons le résultat.

Pour la question suivante, notre but est de trouver un point B tel que OAB soit un triangle isocèle rectangle direct en O. Par conséquent, l'hypothèse qu'on fixe dès le départ c'est justement que OAB est un triangle isocèle rectangle direct en O.

En conséquence de quoi, on sait déjà que OA=OB ! Et ce qu'on cherche par contre c'est à en déduire des propriétés sur les coordonnées polaires de B tout simplement.

Bon courage!

Ok
donc on chercher le point B ...
est-ce que cette information sert ? -> on sait que dans un triangle isocèle les angles sont pi /4 , pi/ 4 et ici l'autre angle est
pi / 2 car rectangle en O
et que la hauteur d'un triangle de côté a et que h = aV3/2

mais si OA=OB
il faut calculer la longueur OA pour que l'on trouve le Point B ?!

je pense que A est sur l'axe des ordonnée et B sur l'axe des abscisses

je ne vois pas du tout comment faire ...

Hmmm, il faudrait que tu saches le lien entre les coordonnées polaire d'un point et les distances et angles qu'on peut en déduire.

En effet, dire que A a pour coordonnées polaire (r,t) c'est dire que OA=r et que (i,OA)=t c'est pas définition des coordonnées polaire.

Ainsi, la première question prend tout son sens et s'applique donc directement dans cette deuxième questions.

Bon courage!

oui je ne sais pas le lien entre cela

mais si OA = r alors OB =r ?! c'est la même valeur ?!
mais (i,OA) n'aura pas la même valeur que (i,OB)

je suis désolée je ne vois pas du tout comment faire

ah si je vois ! après il faut faire avec la relation de chasles pour t !!
donc rA =rB

et tB = ( i , OB)
Or ( OA;OB) = pi/2 = (OA,i)+(i,OB)
...

et à la fin ont trouve B( V6-V2/2, pi/4 )
je vais continuer

merci !

En fait, l'utilité des coordonnées polaires c'est presque la première chose qu'il faut connaître.

En effet, on ne s'amuse pas en mathématiques à changer les formes des résultats sous prétexte que cela serait plus jolie. On va plutôt essayer d'adapter les choses pour se simplifier la vie (oui c'est dur à croire mais c'est pourtant vraie).

Il y a un gros avantage aux coordonnées cartésiennes (celles que tu as toujours utilisés jusqu'ici) qui réside dans le fait que grâce à un quadrillage, on peut se repérer dans un plan. Ce qui est tout de même assez hallucinant en soi car rien d'autre permet de se repérer aussi bien dans le plan que cette méthode là.

Mais il y a par contre, un gros désavantage à ces coordonnées. En effet, elles n'ont aucun lien avec la géométrie alors même que nous nous repérons dans le plan de façon assez facile, nous perdons la dimension géométrique des choses ce qui est vraiment dommage.

C'est pour cela qu'on a mis en place les coordonnées polaires dans le plan (qui deviendront les coordonnées sphériques dans l'espace d'ailleurs et c'est elles qui servent à nous repérer sur la Terre par exemple grâce aux latitudes et aux longitudes). En effet, ces coordonnées ne nous permettent pas au premier coup d'œil de savoir où nous nous situons mais en revanche, nous regagnons la dimension géométrique des choses car on repère les points du plan grâce à leur distance au centre du repère ce qui donne donc un poids assez phénoménale à un seul point qui est le centre du repère mais qui sera en même temps notre point de départ de tout. Comme si on était dans une gare et qu'on regardait le gros point jaune "vous êtes ici". Et ensuite, on va donner en plus de la distance, la notion d'angle qui est la deuxième chose fondamentale en géométrie (en effet grâce à la distance à aux angles, on peut quasiment tout définir ou redéfinir, j'ai bien dit quasiment ). Et pour cela, on va donner une autre importance fondamentale à l'ancien repère qui est l'axe des abscisses qui va jouer le rôle d'origine pour les angles.
Ainsi, nous avons des coordonnées qui nous donnes une distance et un angle pour s'orienter dans le plan ce qui redonne donc la vision géométrique au plan lui-même. On peut donc retravailler directement de façon géométrique grâce à ces coordonnées polaires ce qui n'était pas du tout le cas des coordonnées cartésiennes.

J'espère qu'ainsi, tu comprendras mieux cette nouvelle notion et que tu la subiras un peu moins du coup.

Donc en effet, la distance à O du point B doit être là même que la distance à O du point A ce qui implique bien qu'ils ont la même première coordonnées polaires vu qu'ils sont à la même distance de l'origine du repère. Ensuite, on sait que l'angle (OA,OB) doit être direct (et donc positif) d'après l'énoncé et ensuite, il faut en effet s'en servir pour déduire l'angle qu'il doit y avoir entre i et OB.

Bon courage!

merci beaucoup pour vos explications
je comprends beaucoup mieux le rôle de chacun ! =)

j'ai réussi a finir le DM , tout est cohérant et le calcul qu'on a fait et qu'on a trouver V2 m'a servi pour la fin de la question 2
Enfaite A n'est pas du tout sur l'axe des ordonnées et B sur l'axe des absisses
A se trouve sur l'angle pi/4
et B -pi/4
et le centre du cercle est le point D

Bonjour,

Sachant que OAB est direct d'après l'énoncé, je peux affirmer que l'angle de B est faux. En effet, tu passes de +Pi/4 à -Pi/4 pour aller de A vers B. Par conséquent, on tourne dans le sens indirect et non dans le sens direct.

Tu as dû faire une erreur de signe dans le calcul de l'angle (i,OB).

Je te laisse rectifier et je te souhaite une bonne continuation en tout cas!

ps: n'hésite pas à laisser un petit message dans notre livre d'or, ça fait toujours plaisir .

ah oui exuser moi je me suis mal exprimer
j'ai écris l'inverse ^^
(i ; OB) = pi/2 + (i , OA )
donc en effet l'angle de B c'est pi/4
et l'angle de A -pi/4

Merci !

Bonjour ,
J'ai exactement le même DM a faire et là je suis complètement perdue..
J'ai réussis la question 1
mais je bloque complètement sur la deux .
Je voulais calculer la longueur AD pour montrer qu'elle est égal a V2
en faisant le calcul : V(V3-1/2-0)²+(V3+1/2)²
Mais je n'obtiens pas du V2
Si vous pouviez m'aider
Merci

Bonjour et bienvenue parmi nous Sophie! Je te souhaite une excellente année 2011 avec la santé et son lot de réussite et de bonheur.

Le calcul que tu proposes abouti bien au résultat attendu pourtant. Pourrais-tu détailler ton propre calcul pour que je puisse (et toi aussi) mieux visualiser l'erreur concrète que tu fais dans le dit calcul.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Merci beaucoup à vous aussi ! : )

Bon au final j'ai réussi à faire ce que je voulais : )
J'avais fai plusieurs erreur de signe voila tout
Merci quand même d'avoir pris le temps de répondre : )

Merci beaucoup à vous aussi ! : )

Bon au final en revoyant tout en détail , je me suis rendu conte que j'avais fait plusieurs erreur de signe et j'aarive bien au résultat voulu .
Merci de votre réponse quand même : )