Manipulation de racines carrées

Bonjour @toutes et tous,

Je vous propose quelque manipulation utilisant les racines carrées.

Exercice 1:
Simplifier les expressions suivantes de manières à ne plus avoir de racines carrées au dénominateur:

A=1/√2 ; B= (1+√2)/√3 ; C= (2-√5)/(3+√3) ; D= (√3+1)/(√7-1)


Exercice 2:
Résoudre dans R, l'équation suivante: 2*x² + (√3)*x -5 = 0


Exercice 3:
Soit un repère (O;i,j) orthonormé.

1) On considère le point A de coordonnées polaires (√2,π/4) et le point B de coordonnées cartésiennes (-1/√2,(√2)/2).
a) Donner les coordonnées cartésiennes de A.
b) Calculer les coordonnées polaires de B

2) Quelle est la nature du triangle OAB ?

3) On considère un point C du plan. Déterminer ses coordonnées polaires pour que le triangle ABC soit un triangle direct rectangle isocèle en B.


Bon courage @toutes et tous!

Bonjour

Exercice 1 :

A=1/√2 = √2/2
B=(1+√2)/√3 = √3+√6 / 3
C= ...
D= ...

Exrecice 2 :
2*x² + (√3)*x -5 = 0
On cherche le discriminant de ce trinôme :
b²-4ac = √3² - 4x2x(-5) = 3-8x(-5) = 43
delta > 0 donc le trinôme admet 2 racines
x1 = -b-√delta / 2a et x2 = -b+ √delta / 2a
x1= -(-√3 ) - √43 / 4 et x2 = -(-√3 ) + √43 /4
x1=√3 - √43 / 4 et x2=√3 + √43 /4

Donc S = {√3 - √43 /4 ; √3 + √43 /4 }

Exercice 3 :

a) x= Rcos alpha = 2x cos pi/4 = (2√2 /2) = √2x4 /2 = √8/2
y= Rsin alpha = 2x sin pi/4 = (2√2 /2) = √2x4 /2 = √8/2

les coordonnées cartésiennes de A sont [ √8/2 ; √8/2 ]

b) R= (√x²+y²)
= √(-1/2)² + (√2/2)²
=√ (1/2)+(2/4)
=√4/√4
=1

Cos alpha = x/R
= -1/√2 / 1 = -√2/2
Sin alpha = y/R
=√2/2

alpha = -pi /4

Les coordonnées polaires de B sont ( 1 ; -pi/4 )


2) étant donnée que l'angle ( i;OA) = pi/4 et l'angle ( i ; OB) = -pi/4 la triangle OAB est isocèle directe rectangle en O


3) je pense que OACB serait un carré ...


(BC ; CA ) = ( BC;BA )+( BA;AC )
= (CB ; BA ) + pi + (BA;AC )
= -pi/4 + pi + pi/4
= -pi/4 + 5pi/4
= 4 pi /4
= pi

la diagonale d'un carré est √2 donc les coordonées polaire de C sont ( √2 / pi )

pour le reste je réfléchis encore ^^ mais est-ce que c'est bon pour l'instant ?!

merci

Bonsoir,

Le début de l'exercice 1) est juste. Mais pour la fin qu'est-ce qui pose problème?

Pour l'exercice 2) c'est bon, mais sur le forum n'oublie pas de mettre des parenthèses pour éviter les erreurs d'interprétation.

Pour l'exercice 3), il y a une erreur dans l'interprétation pour la valeur de l'angle. En effet, l'angle qui a pour sinus √2/2 et pour cosinus -√2/2 ce n'est pas l'angle -pi /4. Je te laisse reprendre tes calculs et n'hésite pas à tracer le cercle trigonométrique pour t'aider à visualiser les choses.

Bon courage!

Merci beaucoup !
Pour l'exercie 1) je bloque pour le C et D je ne voit pas comment enlever les racines au dénominateur je ne sait pas par quoi mutipliés ...
Ah oui je me suis trompée ! alors les coordonnées polaires de B sont ( 1 ; 3pi/4 )


2) étant donnée que l'angle ( i;OA) = pi/4 et l'angle ( i ; OB) =3pi/4 la triangle OAB est isocèle directe rectangle en O


3) (BC ; CA ) = ( BC;BA )+( BA;AC )
= (CB ; BA ) + pi + (BA;AC )
= 3pi/4 + pi + pi/4
= 3pi/4 + 5pi/4
= 8 pi /4
= 4 pi /2
= 2 pi

Donc en effet OACB serait un carré et C est sur l'angle 2pi soit O dans le cercle trigonométrique

Ou pour l'exercice 1) on peut mettre au ² ?!

donc sa ferait
C= (2-√5)/(3+√3)
=(2-√5)²/(3+√3)²
=(4-2x2x√5 + √5²) / ( 9-2x3x√3+√3²)
= (9- 4√5 ) / (12-6√3)

mais bon après sa reviens au même il y a toujours une racine caré au dénominateur

Bonsoir,

La mise au carré est une idée mais ce n'est pas la bonne idée en effet. Le but est donc de faire disparaître la racine carré de l'expression 3+√3. Essaie de multiplier cette expression pour que le résultat soit un entier tout simplement sans considérer la fraction pour l'instant.

Sinon, cette phrase là ne prouve rien:

Citation :

2) étant donnée que l'angle ( i;OA) = pi/4 et l'angle ( i ; OB) =3pi/4 la triangle OAB est isocèle directe rectangle en O

Tu ne démontres rien avec cette phrase en fait. En revanche, l'angle est bien égal à 3pi/4 pour la deuxième coordonnée polaire de B.

Pour la question suivante, je ne comprend pas ton calcul, que souhaites-tu montrer en calculant cet angle ? De plus, il y a l'angle (CB;BA) qui n'est pas égal à 3*Pi/4 ou en tout cas tu ne l'as pas montré.

Bon courage!

ok merci , pour le 1) j'ai essayer de multiplié par √3 ou même par 3 mais sa reviens au même , je suis sûr que c'est simple mais je ne vois pas ^^'

2) pour montrer que OAB est isocèle direct rectangle en O

(OA;OB) = (OA;i)+(i;OB)
= - pi/4 +3pi/4
= 2pi/4
= pi /2

ce qui prouve que l'angle BOA est rectangle

maintenant faudrai montrer que OB et OA sont de même rayon polaire , mais il ne sont pas ^^ vu que le rayon polaire de A = √2 et le rayon polaire de B = 1 ??? donc c'est peut-être tout simplement un triangle rectangle

3) enfaite je voulais calculer l'angle polaire de C avec la relation de chasles ...
il y a s'en doute un autre moyen pour démontrer
si OACB est vraiment un carré on pourrait faire comme ça :
OC = √2 x OA car OC est la diagonale du carré
d'ou (OA;OC) = pi/4 et

(i;OC)=(i;OA)+(OA;OC)
= pi/4 + pi/4
= 2pi/4
= pi/2

et r de A = √2 x r de A
= √2x√2 = 2

donc les coordonnée polaire de C sont ( pi/2 ; 2)

Bonsoir,

Pour l'exercice 1) que connais-tu comme identités remarquables autres que la mise au carré?

Pour l'exercice 3) question 2), le triangle est bien rectangle directe nous sommes d'accord.
Pour la question 3), pourquoi le quadrilatère OABC serait un carré ? En tout cas ce n'est pas demandé nin précisé dans l'énoncé donc si tu l'utilises, il va falloir le démontrer d'abord.

La question est plus simple que le fait d'avoir un carré, on souhaite simplement que ABC soit un triangle direct rectangle isocèle en B. Il ne faut pas raisonner à l'envers mais par déduction pur.

=> Que voulons-nous? Un triangle direct rectangle isocèle en un point.
=> Qu'est-ce qu'un triangle rectangle isocèle direct en un point ?

=> Que souhaitons-nous précisément? On souhaite calculer les coordonnées polaires de C.
=> On doit pouvoir manipuler ces deux coordonnées lors de résolution d'équation. Quels noms donner à ces coordonnées ?
=> Que savons-nous des coordonnées polaires ? Que la première désigne une distance au centre et que la deuxième désigne un angle par rapport à l'axe des abscisses.

Maintenant qu'on a fait le tour de ce qu'on cherche, il reste à imbriquer les éléments les uns dans les autres en ayant à l'esprit qu'on cherche une distance et un angle sous des contraintes.

Bon courage!

bonsoir ,

1) a part celle que j'ai utiliser je connais ( a-b)(a+b)

3) je sais pas , je croyait que sa en faisait un et du coup pour moi c'était plus facile pour moi de calculer car le seul exercice que j'ai fait de ce genre c'était un carré...

Un triangle direct isocèle rectangle a 2 cotés de même longuer donc ici il est isocèle en B donc CB=AB
et il a un angle droit

donc il faut résoudre avec des coordonnées polaires
mais là parcontre je ne sais pas du tout comment trouver les coordonées polaire de C

mais avec la relation là c'est pas bon ?!
(BC ; CA ) = ( BC;BA )+( BA;AC )
= -pi/4 + -pi /4
= -2pi/4
= -pi/2

Bonsoir,

Nous sommes d'accord sur l'identité remarquable que tu proposes, ne peux-tu t'en servir du coup?

Sinon, pour les coordonnées polaires de C, on n'a qu'à les appeler (r,θ) cela permettra ainsi d'utiliser ces deux constantes que l'on cherche.

Donc être isocèle rectangle en B pour le triangle ABC cela revient bien à avoir ceci:

{BC=BA
{(BC,BA)=π/2 (car le triangle est direct)

Est-ce que nous sommes d'accord avec cela? Et bien si c'est le cas c'est exactement ce que l'on veut ! Ainsi, il nous faut les deux égalités, donc on les suppose vraies tout simplement puis on travaille sur les distance et sur les angles pour faire apparaître r et θ.

Sinon, d'un point de vu général, ta remarque:

Citation :

car le seul exercice que j'ai fait de ce genre c'était un carré...

n'a pas lieu d'être. Je sais, on parle à longueur de journée d'exercice type et blablatus mais le soucis réside dans le fait de vouloir absolument ce ramener à quelque chose qu'on a déjà fait en dépit même de tout bon sens. C'est presque un réflexe conditionner, il faut se ramener à un exercice type. Mais les mathématiques ce n'est pas cela et ça sera jamais cela! On ne rencontre jamais deux fois le même exercice, comme dans la vie où on ne fait jamais deux fois exactement la même chose. Ce qu'il faut comprendre ce sont les démarches de résolutions et non les exercices en eux-mêmes. Ce sont ces démarches et ces raisonnements qui te feront avancer sur le long terme alors que l'aspect "exo type" ne te fera avancer qu'à court terme et le plus souvent droit dans le mur.

Bon courage!

Bonjour

alors pour le 1) C= (2-√5)/(3+√3)
=(2-√5)(2+√5)/(3+√3)(3-√3)
= 2²- √5² / 3² - √3²
=4 - 5 / 9-3
=-1/6

D= (√3+1)/(√7-1)
=(√3+1)(√3-1)/(√7-1)(√7+1)
=√3² - 1² / √7²-1²
= 3-1 / 7-1
=2/6
=1/3


3) oui je suis d'accord avec vous :

Donc (BC,BA)=π/2 et si CAB est isocèle en B alors le point C a le même rayon polaire que A rC=rA

donc le rayon polaire de C est √2

et (BC; BA)= (BC;CA)+(CA;CB)
π/2 = (BC;CA) + π/4
(BC;CA)= π/2 - π/4
= 2π/4 - π/4
= π/4

les coordonées polaire de C sont ( √2 ; π/4)

Bonsoir,

Il y a une erreur dans la mise en place de la multiplication via l'expression conjugué (c'est ainsi qu'on appelle l'expression a-b pour l'expression a+b). En effet, tu ne multiplies pas par la même chose au numérateur et au dénominateur dans tes fractions. En conséquence de quoi, tu changes totalement, la fraction en elle-même. Je te laisse revoir tes calculs.

Pour l'autre question, pourquoi les deux distances seraient égales? On sait juste qu'on doit avoir BC=BA mais pourquoi cela implique que OA=OC (c'est ce que tu écris lorsque tu dis que les deux rayons polaires sont égaux) ?

Pour le calcul de l'angle, tu considère donc connaître les angles de base qui sont bien égaux à π/4 mais le soucis c'est qu'on souhaite nous calculer (i,OC) et non (BC;CA).

Il faut que tu es en tête que lorsque tu manipules ou que tu souhaites manipuler des coordonnées polaires que tu as en fait une correspondance géométrique qui est la suivante:

r_C=OC
θ=(i,OC)

(si on considère que O est le centre du repère et que i est le vecteur de base de l'axe des abscisses).

Bon courage!

Bonjour

pour le 1) C= (2-√5)/(3+√3)
=(2-√5)(2-√5)/(3+√3)(3-√3)
= 4- 2√5 -2√5 +5 / 3² - √3²
= 9-4√5 / 9-3
=-4√5/-3
= 4√5/3

D= (√3+1)/(√7-1)
=(√3+1)(√3+1)/(√7-1)(√7+1)
=3+√3+√3+1 / √7²-1²
= 4+2√3 / 7-1
=4+2√3/6
= (2x2)+2√3/ 2x3
=2+2√3 / 3


Mmh ... je sais pas je pensais que quand un triangle est isocèle , il y a 2 cotés de même longeurs donc 2 même rayon.

ok donc (i ; OC) = (i ; OA)+(OA;OC)
= pi/4 + ?

Bonsoir,

La résolution du première exercice n'a toujours pas de sens pour l'instant. En effet, tu pars d'un quotient a/b et tu écris en gros: a/b=(a*c)/(b*d) ce qui est bien sûr faux. Il faut multiplier le dénominateur et le numérateur par la même quantité pour garder l'égalité.

Bon courage!

Bonjour
qu'est ce que je fait des étourderie moi ^^

pour le 1) C= (2-√5)/(3+√3)
=(2-√5)(3-√3)/(3+√3)(3-√3)
= 6- 2√3 -3√5 +√15 / 3² - √3²
= 6- 2√3 -3√5 +√15 / 3

D= (√3+1)/(√7-1)
=(√3+1)(√7+1)/(√7-1)(√7+1)
=√21+√3+√7+1 / √7²-1²
=√21+√3+√7+1 / 6

je ne sais pas comment simplifiée plus le numérateur

Bonsoir,

Cette fois-ci tout est juste dans les calculs et en effet on ne peut pas réduire le numérateur plus que cela l'est déjà. Par contre n'oublie pas les parenthèses surl e forum tout du moins sinon, ton résultat serait faux.

Pour l'autre exercice, il s'avère qu'il est plus compliqué que je l'avais prévu en fait. En effet, les distances au centre n'étant pas égale, il est plutôt difficile de conclure à partir de coordonnées polaires. Cela serait plus simple si r_B=r_A ce qui obligeait le triangle a être inscrit dans le cercle trigonométrique et donc on avait l'alignement des points A, O et C ce qui nous permettait de conclure.

Tel quel, l'exercice reste faisable mais de façon bien plus complexe. Je pense qu'il sera plus abordable lorsque tu auras vu le produit scalaire .

Bonne continuation!

Ok aucun problème ! merci