Une somme de cosinus

yannou1
une somme de cosinus
Bonjour à tous
Voilà , j'ai un exo ou je dois prouver que C(m)=0 si m est impair et C(m)= -1 si m est pair ; pour tout entier relatif m.

C(m)=Somm[ cos(2 k pi a)] ; k allant de 1 à n ; et a= m / 2(n+1) ; a n'appartient pas aux entiers relatifs ;

j'ai essayer d'exprimer la somme en fonction de sinus :
en posant X= 2 pi a = 2 pi [m / 2(n+1)] d'ou C(m)=Somm[cos(kX)] k allant de 1 à n.

Je trouve alors:

C(m) = [ sin[ (n+1/2)X ] / [ 2sin[X/2] ] - 1/2

A partir de là , je remplace X par sa valeur et pour m impair , la seule manière d'arriver à C(m)=0 c'est que
sin[ (n+1/2)X] = sin[X/2] et ici je bloque.

Quelqu'un peut il m'aider svp

Bonsoir,

Joli les copier/coller . Evite de recopier aussi le titre et ton pseudo, ça fait négligé.

Essayons d'être logique. Je te fais confiance sur les calculs et on va donc essayer de rendre lisible ce qu'il y a dans les sinus. On a donc:

(n+1/2)X = (n+1/2)*2*Pi*m/[2*(n+1)] = [(n+1)-1/2]*Pi*m/(n+1) = Pi*m -(1/2)*Pi*m/(n+1) = Pi*m - Pi*a

Or Sin(a-b)=Sin(a)*Cos(b) - Cos(a)*Sin(b)

Donc Sin[(n+1/2)X]= Sin(Pi*m)*Cos(Pi*a) - Cos(Pi*m)*Sin(Pi*a)

Si m est pair, on a: Sin(Pi*m)=? et Cos(Pi*m)=? Donc Sin[(n+1/2)X]= ?
Si m est impaire, on a: Sin(Pi*m)= ? et Cos(Pi*m)= ? Donc Sin[(n+1/2)X]= ?

Bon courage!

désolé de ne pas t'avoir répondu avant ,Je suis parti en vacance et je n'avais pas mon pc.
Vi j'avoue j'ai poster plusieurs postes sur différent sites.
Merci en tout cas pour ton aide j'ai pu finir mon exo (qui m'a causé du souci ), tes conseils sont toujours très pertinents.
J' en profite pour souhaiter mes vœux à tous les membres du site.
je mets les réponses pour les curieux.

pr C(m)=0
sin[pi*m]=sin[2pi*j+pi]=sin[pi]= 0 et cos [pi*m]=cos[2pi*j+pi]=cos [pi]=-1 si m est impair
dès lors sin[(n+1/2)X]=sin[X/2] et C(m)=0


pour C(m)=-1

il faut que sin[(n+1/2)X]=-sin[X/2]
or sin[pi*m]=sin[2pi*j]=sin[0]= 0 et cos [pi*m]=cos[2pi*j]=cos [0]=1
dès lors sin[(n+1/2)X]=sin[X/2] et C(m)=-1
voila voilou a plus les amis

Bonsoir,

Ce n'est pas un problème de poster sur plusieurs endroits. Après tout, je transmet dès fois des membres sur d'autre forum lorsque mes compétence ne suffisent pas pour un exercice donné. Je n'ai rien contre mes confrères ne t'inquiète pas . C'est juste que lorsque tu effectue un copier/coller évite que cela soit si flagrant, c'est juste une question de respect car tu n'aimerai pas que je te cite une page de livre en guise de correction. Cela ne serait pas correct même si je suis sûr vu le nombre incalculable de livre d'exercices que je devrait trouver la correction quelque part dans l'un de ces nombreux ouvrages. Mais cela ne serait pas intéressant pour toi (et encore moi pour moi d'ailleurs). Donc essaie de te reposer la question en l'écrivant à nouveau pas exemple ou en le formulant d'une façon différente, dès fois cela suffit pour que tu ais toi même un déclic sur l'exercice, tout simplement.

Sinon, attention à ta solution car on souhaite montrer quelque chose en rapport avec la parité de m si mes souvenirs ne me trompent pas et ce que tu écris est plus en rapport avec le résultat cherché qu'avec la parité de m. En effet, tu écris si C(m)=0 alors on a ça, ça et ça alors que c'est plutôt si m est pair alors on déduit ça, ça et ça. L'hypothèse réside dans la parité de m, le résultat du calcul se déduit de la parité et non l'inverse. Attention à ne pas faire penser au correcteur que tu as rédiger la réflexion à l'inverse. La recherche se fait souvent comme tu l'as écrite mais par contre la rédaction doit faire sentir le sens de l'implication sinon, tu risques de faire croire que tu écris l'implication réciproque qui n'est pas forcément demandée. Le mieux serait d'écrire le tout sous forme d'équivalence mais attention à bien vérifier que les deux implications sont belle et bien vérifiées avant d'écrire une équivalence. Il faut mieux écrire une implication juste qu'une équivalence fausse .

Enfin, je te souhaite de même d'excellentes fêtes de fin d'année.

Bon courage pour la nouvelle année civile qui s'annonce !