Somme trigonométrique

Bonjour!
J'aurais une autre petite question =)

Il faut que je résolve cette équation d'inconnue x :

x^n + (1 parmi n)* x^(n-1)*cos(alpha)+...+(n parmi n)*cos(n*alpha)=0

J'ai donc ecris:

Somme pour k=0 à n de [(k parmi n)*x^(n-k)*cos(alpha*k)] =0

Somme pour k=0 à n de [(k parmi n)*x^(n-k)*Re(exp(i*k*alpha))] =0

Somme pour k=0 à n de [(k parmi n)*x^(n-k)*Re((exp(i*alpha)^k))] =0

Re (Somme pour k=0 à n de [(k parmi n)*x^(n-k)*exp(i*alpha)^k]=0

Re((exp(i*alpha)+x)^n )=0

[(exp(i*alpha)+x)^n + (exp(-i*alpha)+x)^n]/2=0

(exp(i*alpha)+x)^n + (exp(-i*alpha)+x)^n=0

Et là je crois bien que je suis bloquée.

Pouvez vous me dire si mon raisonnement est juste pour l'instant?

Merci beaucoup!!

Bonjour,

C'est un classique du genre et le raisonnement est tout à fait juste. On passe donc en complexe pour effectuer le calcul de la somme puis on prendra la partie réelle de la solution tout simplement.

D'ailleurs, je te conseille au niveau de la rédaction de ne pas écrire l'équation mais simplement le calcul de la somme. Nous regarderons l'équation après.

Donc tout est juste sauf la fin ce qui t'empêche de conclure d'ailleurs. Pourrais-tu me dire à quoi est égal Re(zⁿ) ?

Bon courage!

Euuh c'est égal à |z|*cos(arg(z)*n) mais ca ne nous aide pas beaucoup et je ne pense pas que c'est ce que vous vouliez que je trouve mais je ne vois pas vraiment en fait. =/

Oulà!!

Cherche pas très compliqué, je te demande juste une réécriture des choses. Par exemple, on demande d'écrire différemment (a*b)² et bien on répond a²*b². On garde les mêmes objets c'est juste qu'on réécrit différemment les choses pour simplifier l'écriture ou la compréhension.

Donc ici, Re(zⁿ) = .... ?

Bon courage!

Non honnêtement je ne vois pas =S

Oulà autant pour moi, j'allais écrire une énormité. Comme quoi à répondre trop vite pour des exercices de L1, je finis par écrire n'importe quoi.

Alors reprenons les choses à leur base tranquillement.

On cherche à résoudre une équation pour un α fixé, ∑_{k=0 à n} (k ⁿ)*Cos(k*α)*x^n-k=0.

On n'a pas de restriction pour α ? ni pour x ?

Je t'avoue que tu coup, je cherche, je te redis d'ici quelques temps le temps de trouver un chemin qui mène à la solution.

Bon j'avoue que je sèche pour le coup, j'arrive au même résultat que toi sur l'égalité que tu proposais à ton premier message mais je ne conclus pas non plus. et J'ai tenté de trouver des racine n-ième mais pas concluant.

J'ai tenté de regarder pour quelque valeur de alpha pour essayer de trouver une généralisation mais je ne trouve rien de cohérent. Pour alpha=0, je trouve comme solution x=-1 et pour alpha=Pi, je trouve comme solution x=1 par exemple.

Ensuite, j'ai tenté de regarder pour tes petites valeurs de n ce que cela donnait. Pour n=0, pas de solution; pour n=1, x=-Cos(alpha) (ce qui est cohérent avec ce que j'écrivais au-dessus en fait).

Mais je ne vais pas plus loin. Je sèche lamentablement. Comme quoi, on est tous humain avec nos limites .

Par contre, lorsque tu auras le résultat, je suis preneur de la solution.

Bonne continuation!