DM suite de Fibonacci

Bonjour, je suis nouveau dans le forum.
Pourriez-vous m'aidez pour l'exercie suivant. J'ai déja fait plus de la moitié mais je bloque.

Soit (Un) la suite définie par U0=0, U1=1 et, pour tout n Є N, Un+2=Un+1+Un (1)
1.Calculer U2 ,U3, U4, U5
2..Soit α et β les deux racines de l’équation :
x² -x -1 =0
Donner les valeurs exactes de α et β ( on notera α la plus petite valeur)
3.Montrer que la suite définie pour tout n Є N, par Vn = λα^n + μβ^n est solution de (1)
4.Déterminer λ et μ telles que V0=U0 et V1=U1. On admet désormais que, pour tout n Є N, Un =Vn
5/. Soit Sn=U0+u1+u2+...+Un avec n ∉ N
Déduire des questions précédentes l'expression de Sn en fonction de n
6/. Soit Fn= Un+1/Un. n ∉ N+
Donner une expression de F en fonction de n.

1/.[/b] Pour la 1, je suis sûr:
U2=1 U3= 2 U4=3 U5=5
2/. α= (1-V5/2) et β= (1+V5/2)
3/. C'est fait. D'ailleurs, la page suivante m'a permit de vérifier: https://maths-cuicui.forum-actif.net/t579-suite-de-fibonacci
4/. C'est fait et je trouve λ= (-V5)/5 μ=(V5)/5
5/. Sn=U0+u1+u2+...+Un
Or, Sn=(n+1)[(U0+Un)/2] FORMULE
Or, U0=0 et Un=Vn
Donc, Sn=(n+1)(Vn/2)
Soit, Vn=λαn + μβn= [(-V5)/5]× (1-V5/2)^n + [(V5)/5]× (1+V5/2)^n
Je développe dans Sn:
finallenment, je trouve
Sn= [-V5(n+1)/5]×[(1-V5)^n/2^n ] + [V5(n+1)/5]×[(1+V5)^n/2^n ] ?
De l'aide, svp !

Bonsoir et bienvenue parmi nous !

Le temps de réponse est plutôt rapide ne t'inquiète pas et il ne sert à rien de faire des doubles messages. En revanche, c'est bien dans cette section là qu'il faut poster les exercices pour que cela soit plus cohérent au niveau du suivie (niveau, section, ...).

J'ai l'impression que cet exercice est à la mode et ce n'est pas pour me déplaire car la uite de Fibonacci est vraiment très intéressante de par sa structure d'une part et de par ses propriétés d'autre part.

Pour tes réponses, les démarches sont justes jusqu'à la question 4) sans aucun problème. En revanche, tu fais une erreur dans la démarche de la question 5. En effet, la suite (Un) est-elle une suite arithmétique ?

Je ne pense pas du tout surtout qu'on vient de supposer que Un=Vn pour tout n ce qui veut dire que la suite (Un) est l'addition de deux suites géométrique et non pas arithmétique. Du coup, la somme n'est pas du tout égale à ce que tu proposes.

Il est très dangereux d'apprendre des formules par cœur surtout pour les suites et en mathématiques d'une manière générale. Il est préférable, de comprendre les formules d'une part pour mieux se les approprier mais surtout pour savoir à partir de quel moment nous pouvons les appliquer et c'est cela qui est très important. On n'applique pas des formules sans conditions préalable ce qui veut dire qu'il faut bien comprendre quand et pourquoi, nous appliquons telles ou telles choses. Ici, tu utilises la formule de la somme pour une suite arithmétique ce qui est inapproprié ici.

Commence par écrire la somme avec l'expression Vn pour mieux visualiser les choses puis ensuite nous savons que lorsqu'on fait une somme, nous pouvons additionner dans l'ordre que l'on veut (associativité de l'addition) ce qui va permettre de faire une somme avec les α et une somme avec les β comme raison. Je pense que cela te permettra de mieux visualiser les choses.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Rebonjour! Je suis enchanté de faire votre connaissance et je vous remercie de m'avoir aider.
J'ai bel et bien constaté qu'il s'agit de l'addition deux suites géométriques:
Un=Vn= λα^n + μβ^n
Soit: Yn=λα^n et Zn=μβ^n
Yo=λα^0=λ×1=λ donc Yn=Yo×α^n avec α une constante: DONC C'EST UNE SUITE GEOMETRIQUE
Zo=μβ^0=μ×1=μ donc Zn=Zo×β^n avec β une constante: DONC C'EST UNE SUITE GEOMETRIQUE
Est-ce que cela suffit pour prouver que ce sont des suites géométriques ?

Sn=Somme de U0 à Un
=Somme de Vo à Vn
=Somme de Yo à Yn et de Zo à Zn

Or: Pour une suite géométrique, Sn= (Un+1 -U0)/(q-1)

Donc: Sn= (Yn+1 -Y0)/(q-1)+ (Zn+1 -Z0)/(q'-1)
= ...(je saute les étapes)= [(-V5+5)/5][(1-V5)^n/2^n] + [(V5+5)/5][(1+V5)^n/2^n) / (-1-V5)
J'ai l'impression que c'est beaucoup trop long. Il y a vraiment beaucoup d'étapes.
Pouvez-vous m'aidez, SVP ?

Bonjour,

En fait, tu pouvais directement admettre qu'il s'agissait bien de suite géométrique mais ce que tu écris permet en effet de bien mettre en évidence les choses.

En revanche, tu utilises une formule de la somme qui n'existe pas. En fait, pour les suite géométrique, ce qui est prédominant dans la somme c'est le premier terme vu qu'il multiplie toujours la raison à une puissance différente. Et l'autre terme important c'est la raison. En effet, le dernier terme de la somme ne rentre pas en compte dans la formule car il n'a pas plus de poids que le premier terme.

Donc pour la somme, la formule qu'on a dû te démontrer pour une suite géométrique de raison différente de 1 est plutôt celle-ci:

Premier terme*(1 - raison^{nombre de terme})/(1-raison)

Je te laisse donc revoir le résultat du coup.

Bon courage!

Bonjour. Nous avons vu deux formules en math pour la somme de suites géométriques:
Sn=U0×(1-q^n+1)/(1-q) =(Un+1-U0)/(q-1) (avec démonstration)
Je vais cette fois-ci utiliser la formule en rouge:
Sn=Y0×(1-q^n+1)/(1-q)+Z0×(1-q^n+1)/(1-q)

Donc:
Sn= [[2V5-2V5[(1-V5)/2]^n [(1-V5)/2]]/(5-5V5)]
+ [2V5-2V5[(1+V5)/2]^n [(1+V5)/2]]/(5+5V5)

Je trouve que c'est trop long! Il doit y avoir un problème ?
Merci.


6/. Fn= (Un+1)/Un = (Vn+1)/Vn = (λα^n+1 + μβ^n+1)/ (λα^n + μβ^n)
=...(je saute les étapes)= [(1-V5)/2]^n [(1-V5)/2] (1/V5) + (1/V5) [(1+V5)/2]^n [(1+V5)/2] / [(1-V5)/2]^n (-1/V5) + (1/V5) [(1+V5)/2]^n

Est-ce cela ?

L'expression de cette somme n'est pas simple de toute façon mais je ne retrouve pas ce que tu as écrit pour ma part.

Si, tu reconsidères Vn=(-1/√5)*[(1-√5)/2]ⁿ + (1/√5)*[(1+√5)/2]ⁿ

On peut donc dire que la somme est égale à 1/√5*[ Somme ([(1-√5)/2]^k) + Somme ([(1+√5)/2]^k) ]

Cela te permettra sans doute d'effectuer des simplification plus directe mais dans tous les cas ne t'arrête pas trop sur la forme de la solution, elle n'est pas simple. Le but de cette question est de te faire manipuler les sommes de suite géométrique d'une part et d'autre part, les racines carrées.

Pour la dernier question, la méthode est tout à fait juste mais n'oublie pas que λ=-μ ce qui permet de simplifier un peu l'écriture avant d'effectuer les calculs comme je te l'ai fait remarqué pour la question précédente.

À partir de là mis à part des erreurs de calculs éventuelles, il n'y a pas de raison que tu n'aboutisses pas.

Bon courage!

5/. Dans votre calcul: "Si, tu reconsidères Vn=( -1/√5)*[(1-√5)/2]n + (1/√5)*[(1+√5)/2]n

On peut donc dire que la somme est égale à 1/√5*[ Somme ([(1-√5)/2]k) + Somme ([(1+√5)/2]k) ]
"
Où passe le - en rouge dans l'étape suivante ? A quoi correspond le k en bleu ? Pouvez vous faire des étapes intermédiaires pour je comprenne mieux? Merci beaucoup et désolé.



6/. Fn= (λα^n+1 + μβ^n+1)/ (λα^n + μβ^n) = ... (étapes intermédiaires)
= (α^n+1 - β^n+1)/ (α^n - β^n)

Donc: ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)

Est-ce finis ou pas pour cette question ?

Il y a une erreur de recopie de ma part, en effet.

Citation :

1/√5*d]- Somme ([(1-√5)/2]^k) + Somme ([(1+√5)/2]^k) ]

A partir de là, j'avoue que j'avais un doute sur le fait que tu es vu ou non l'écriture sous la forme d'une somme:

Citation :

∑_{k=0 à n} U_k = U₀ + .... + U_n

En fait, nous considérons dans ce que je te propose, deux sommes quasi identique ce qui permet de minimiser les calculs car il n'y a qu'un "-" entre le 1 et la racine carrée qui chance entre le alpha et la béta en quelque sorte. Donc le k c'est ce qu'on appelle l'indice de sommation ici et c'est ce qui varie de 0 à n cela évite de réécrire tous les termes de la sommes avec les fameux "..." car on ne peut pas tout écrire de toute façon. C'est une notation condenser de la somme qui est plus vu en terminale qu'en première mais bon vu que tu travailles sur la suite de Fibonacci, je me suis dit que cela ne pouvait pas faire de mal d'aller encore un peu plus loin dans les nouvelles connaissance après tout.

Pour la question 6), c'est tout de même mieux au niveau du visuel, tu ne trouves pas ? Après on pourrait encore aller plus loin en mettant par exemple αⁿ⁺¹ en facteur au numérateur et αⁿ en facteur au dénominateur. Cela te permettra d'avoir une expression encore plus épurée même si cela ne changera pas le fait qu'elle sera difficilte à manipuler tout de même.

Bonne continuation et n'hésite pas si tu as des questions surtout!

5/. Vn=( -1/√5)*[(1-√5)/2]n + (1/√5)*[(1+√5)/2]n

la somme est égale à 1/√5* [ Somme ([(1-√5)/2]k) + Somme ([(1+√5)/2]k) ]

Je ne vois vraiment pas comment continuer ce calcul ? [ Somme ([(1-√5)/2]k) + Somme ([(1+√5)/2]k) ], y a-t-il des sommes de suites ? Je ne sais pas puisqu'on a factoriser. Je ne vois pas du tout. De l'aide, svp.


6/. Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
Je factorise par αn+1 en facteur au numérateur et αn en facteur au dénominateur.
Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
= [(1-V5/2)^n+1] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5)] ]
[(1-V5/2)^n] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5) ]]

Est-ce cela, la forme factorisée ?
Merci beaucoup pour votre soutien.

Pour la question 6) c'est en effet presque excellent. Tu aurais pu simplifier le quotient du coup vu que la factorisation est fait cela simplifiera encore un peu le visuel de celui-ci.

Pour la question 5), je pense qu'il y a une incompréhension mutuelle et je m'en excuse. Je reprend donc.

Tu as une somme à calcul qui revient à faire la somme de deux suites géométriques comme nous l'avons vu.
Or ce que je te proposais c'est d'aller encore plus loin dans l'analyse en regardant de plus près les deux termes et en remarquant que les deux constantes étaient opposées l'une de l'autre c'est à dire que λ=-μ. Ainsi, on peut écrire d'une manière plus simple les termes de la suite (U_n).

En effet, pour tout entier n, U_n=μ*(βⁿ - αⁿ)

Jusque là tu es d'accord, normalement.

A partir de là, que se passe-t-il lorsqu'on effectue une somme. Essayons de comprendre les choses sur la somme de deux termes par exemple:

U₁+U₂=μ*(β¹ - α¹) + μ*(β² - α²)

C'est la base de la somme en gros. Mais tu es d'accord que lorsqu'on effectue une somme, l'ordre des termes importe peu. Du coup, je peux changer l'ordre des termes ce qui nous donne ceci:

μ*(β¹ - α¹) + μ*(β² - α²) = μ*β¹ + μ*β² - μ*α¹ - μ*α²

J'ai regroupé les puissance de β ensemble et les puissances de α ensemble. Et maintenant si je remet en facteur le μ cela donne bien:

μ*(β¹ - α¹) + μ*(β² - α²)=μ*(β¹ + β² - α¹ - α²)

Et si je mets en facteur le - devant les α, j'ai exactement ce que je te propose en fait c'est à dire

μ*(β¹ - α¹) + μ*(β² - α²)=μ*[ (β¹ + β²) - (α¹ + α²) ]

c'est à dire:

U₁+U₂ = μ*[ (β¹ + β²) - (α¹ + α²) ]

Nous avons bien écrit qu'il s'agit de la multiplication d'une constante μ par la différence de deux sommes en fait la somme des puissances des β et la somme somme des puissances de α.

Nous avons bien U₁ + ... + U_n = μ*[ (β¹ + ... + βⁿ) - (α¹ + ... + αⁿ) ]

Est-ce que jusque là, les idées s'enchaînent bien ? Si c'est le cas c'est exactement ce que j'avais écrit tout à l'heure en fait c'est à dire:

S_n=∑_{k=1 à n} U_k= μ*[ ∑_{k=1 à n} β^k - ∑_{k=1 à n} α^k]

Concrètement, les deux sommes que j'ai écrites entre les crochets ne sont que des sommes de suites géométriques tout simplement, ne cherche pas plus compliqué que cela surtout.

J'espère que cela sera plus clair ainsi et je te souhaite bon courage en tout cas!

Bonjour
Je suis nouvelle sur ce forum et en fait j'ai le même dm de maths que kurban à faire et grâce à vous, j'ai réussi là où je bloquais donc tout d'abord merci beaucoup. Ca fait du bien d'y voir plus clair.
Mais en fait j'ai une question à propos du dernier message de kurban : je ne comprends pas comment vous avez pu simplifier par a^n+1 et a^n. En redeveloppant j'ai compris que vous aviez pu faire cela en disant que β^n+1=a^n*β
Et je n'arrive pas à retrouver cette relation.

Merci d'avance

Bonjour, cela fait bien longtemps que je ne me suis pas connecté. Je voudrais tout d'abord vous remercier profondément de m'avoir aider pour cet exercice.
J'ai bien compris la question 5. Donc il ne faut pas utiliser la formule des sommes d'une suite géométrique d'après ce que j'ai pu constater.

Pour la question 6, voici la simplification:
6/. Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
Je factorise par αn+1 en facteur au numérateur et αn en facteur au dénominateur.
Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
= [(1-V5/2)^n+1] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5)] ]
[(1-V5/2)^n] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5) ]]
= (1-V5/2)^n+1
(1-V5/2)^n
c'est bien ça ?

Dernière question: Avez vous une remarque pertinente sur cet exercice, ou sur la suite de Fibonacci que j'ai découverte.

Merci bien pour votre accompagnement.

6/. Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
Je factorise par αn+1 en facteur au numérateur et αn en facteur au dénominateur.
Fn= ((1-V5/2)^n+1 - (1+V5/2)^n+1)/ ((1-V5/2)^n - (1+V5/2)^n)
= [(1-V5/2)^n+1] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5)] ]
[(1-V5/2)^n] × [ 1 - [ (1+V5)/(1-V5) ]]
= (1-V5/2)^n+1
(1-V5/2)^n
= (1-V5)/2= α (CONSTANTE)

LA REPONSE DOIT ETRE UNE EXPRESSION DE Fn EN FONCTION DE n. Or, on trouve un nombre precis et constant ???
Y a-t-il quelqu'un pour m'aider ?

Bonjour et désolé pour la réponse tardive mais il s'avère qu'il m'arrive d'être malade comme tout le monde.

Il y a une légère erreur dans ta démarche ne fait qui est relativement bénigne mais te fait planter tout le calcul qui suit.

En effet, si tu met a^n en facteur dans a^n+b^n cela donne: a^n * (1 + (b/a)^n) et c'est là que se situe ton erreur en fait, tu as oublié de recopier la puissance qui n'est pas la même au numérateur et au dénominateur ce qui ne permet pas d'effectuer une simplification aussi radicale.

Bon courage pour la rectification.

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Pour Cec', bienvenue parmi nous dans un premier temps et désolé de la réponse tardive.

Je ne comprend pas trop ta dernière remarque en fait. Ce qu'on utilise c'est le fait que a^(n+1)=a*a^n
Du coup, a^(n+1)/a^n = a tout simplement par simplification.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!