1ère S - Suite de Fibonacci

Bonjour tout le monde !

Alors il y a un problème (qui n'est pas du niveau première je pense, comme la dernière fois avec l'équation de degré 3 ^^ ) que je n'arrive pas à résoudre et j'aimerais bien votre aide. Il porte sur les suites, chapitre que nous avons abordé en cours.

Alors le problème est le problème 2 du projet Euler : http://projecteuler.net
J'ai réussi à faire le problème 1 dont voici l'énoncé : "Trouver la somme de tous les multiples de 3 et/ou 5 strictement inférieurs à 1000".

Mais le problème 2, j'ai trouvé la réponse en bricolant avec ma calculatrice mais sur un papier avec un crayon je n'arrive pas à le résoudre de façon mathématique.

Voici l'énoncé de ce problème : "Trouver la somme de tous les termes de valeur paire de la suite de Fibonacci qui ne dépassent pas 4 millions"

Pouvez-vous m'aider ?

PS: j'ai réussi à démontrer que la raison de la suite de fibonacci est le nombre d'or en partant de l'égalité Un+2 = Un + Un+1, je remarque aussi que les termes de valeurs pair se retrouvent tous les trois termes dans la suite de fibonacci, sachant que le début de la suite est : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

Oulà, on va loin là (je vais pas m'en plaindre j'adore ça ).

Alors alors, ce genre de question est digne des olympiades de mathématiques (que tu devrais tenté après tout ). Donc soyons logique:

Si j'ajoute deux termes pair, j'ai un terme pair, si j'ajoute deux termes impairs j'ai un terme pair.
Et si j'ajoute un terme pair et un terme impair, cela donne un terme impair.

C'est simple à démontrer cela?

2*p + 2*q = 2*(p+q) (pair + pair = pair)
(2*p+1) + (2*q+1)= 2*(p+q+1) (impair + impair =pair)

2*p+1 + 2*q = 2*(p+q) + 1 (impair+pair=impair)

La suite de Fibonacci est bien définie ainsi: F_n+2=F_n+1+F_n.

Donc le terme suivant est défini comme l'addition des deux termes précédents. Donc ton hypothèse est en effet assez cohérente car les deux premier terme sont impairs, donc le suivant est pair et ainsi de suite, on retrouve tous les trois termes, un nombre pair. Cependant, il faudrait prouver cette conjecture mais avec le bagage de 1ère S, je ne vois pas trop comment faire j'avoue car je vois bien comment le démontrer par récurrence mais c'est une notion de Terminale S (déjà que les équation du troisième degré n'était pas au programme même de la série S).

Déjà, tu peux dire simplement "avec les mains" qu'il est assez logique de supposer que tous les trois termes il y aura un terme pair. Cette supposition étant fait, tu peux donc calculer la somme vu que F_3n+2 est un nombre pair, tu va donc pouvoir en déduire des propriétés.

Maintenant, est-ce que tu veux démontrer le fait que F_3n+2 est bien pair ou préfères-tu poursuivre pour le moment avant de revenir sur cette démonstration après?

Et bien c'est à toi de décider car je n'ai aucune idée de ce que tu vas me faire faire donc si tu penses qu'il faut faire la démonstration maintenant, à toi de voir...

Bonjour,

Bon puisque ta curiosité est là, autant ne pas te cacher le raisonnement en lui-même après tout. Mais je précise que ceci n'est pas au programme de 1ère (toute série confondu sauf erreur). Donc si c'est pas tout à fait clair, au niveau de la base, tu l'as reverra l'année prochaine et on ne fera que travailler dessus.

En fait, la récurrence se base sur un principe assez simple. En effet:

On dit qu'une propriété (défini par récurrence en fonction de n) est vraie pour tout n si

- Elle est vrai pour le premier n qu'on considère (n=0 ou n=1, ou n=2, ...)
et
- Elle se transmet de n à n+1 (c'est à dire que la propriété est héréditaire c'est à dire que le précédent engendre bien le suivant)

Est-ce qu'intuitivement cela te semble logiquement correcte?

Voilà ce qu'on a appelle "raisonner par récurrence".

Donc, on se fixe un entier n et la propriété, P(n) (c'est une propriété qui dépend de n) qu'il nous faut c'est:

P(n): "F_3n est impaire, F_3n+1 est impaire et F_3n+2 est pair"

(Donc P(n+1): "F_3n+3 est impaire, F_3n+4 est impaire et F_3n+5 est pair" )

Pour savoir si cette propriété est vrai, il faut donc savoir si P(0) est vraie et si on suppose P(n) vraie, alors P(n+1) est vérifié.

Je te laisse commencer les vérifications.

Bon courage!

P(0) ==>
------------- F(0) est impaire (F(0) = 1)
------------- F(1) est impaire (F(1) = 1)
------------- F(2) est pair (F(2) = 1+1 = 2)

Donc on a initialisé : P(0) est vraie.

Si on suppose P(n) vraie : "F3n est impaire, F3n+1 est impaire et F3n+2 est pair", alors vérifions si P(n+1) est vérifiée :

* F3n+1 (impaire) + F3n+2 (pair) = F3n+3 (impaire) car pair+impaire = impaire
* F3n+2 (pair) + F3n+3 (impaire) = F3n+4 (impaire)
* F3n+3 (impaire) + F3n+4 (impaire) = F3n+5 (pair) car impaire + impaire = pair

On a donc : F3n+3 (impaire) F3n+4 (impaire) F3n+5 (pair)
La proposition P(n+1) est donc vérifiée.
On vient donc de démontrer l'hérédité de la proposition.

On en déduit que P(n) est vraie pour tout n : tous les trois termes, dans la suite de Fibonacci, il y a un terme pair.

Bonsoir,

C'est tout à fait ça!

On a donc: (F_3n+2)_nЄN est la suite des termes pairs de la suite de Fibonacci.

Nous devons donc faire la sommes de cette suite là mais d'abord, il faudrait pouvoir exprimer cette suite en fonction de n ce qui serait plus pratique.

Si tu as compris le raisonnement par récurrence, montre moi par récurrence sur nЄN que P(n): "F_n=(1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹]" est vraie pour tout n.

- Il faut donc montrer que P(0) et P(1) sont vraie (vu qu'on fait une récurrence sur deux termes)
- Ensuite, il faut montrer qu'en supposant P(k) vraie jusqu'au rang n+1 (c'est à dire qu'on suppose P(n) et P(n+1) vraie), on a bien P(n+2) vraie (en utilisant la relation de récurrence)

Ensuite, il te restera à mettre en évidence F_3n+2 à partir de l'expression de F_n et faire la somme (qui va s'avérer être une sommes de deux suite géométrique d'après l'expression de F_n)

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions car cette exercice aussi intéressant soit-il n'est pas des plus simple mais si tu as déjà compris l'idée du raisonnement par récurrence, tu as pris une certaine avance sur la Terminale S . Je pousse avec toi car je te sens capable d'aller plus loin mais si tu me dis que c'est pas clair, utilise juste l'expression de F_n sans la démontrer cela ne posera pas de problème au cas où.

Bon courage!

Ф c'est bien phi,le nombre d'or (1+√5)/2 ?
et Ф' c'est (1-√5)/2, l'autre solution de l'équation x²-x-1=0 ?

Le fait que tu introduise Ф ne me surprend pas car je sais (même si je n'en suis pas sûr) que le nombre d'or est la raison de la suite de fibonacci, qui est en fait une suite géométrique ?
Et d'où sort-tu cette expression Fn=(1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹]. Tu l'as trouvé comment ? Car sur wikipédia, ils définissent la suite dite de Binet comme étant : Fn=(1/√5)*[Фⁿ-(Ф')ⁿ]. N'aurait-tu pas un "+1" en trop ?
J'ai regardé sur wikipédia pour avoir des réponses mais je n'ai pas tout compris. Eux ils définissent la suite de fibonacci avec Fn+2 = Fn+1 + Fn et avec la donnée des deux premiers termes F0 = 0 et F1 = 1. Alors que nous pour l'instant on a défini le premier terme de la suite F0 ayant pour valeur 1 et pas 0 : comment ce fait-il ?
Je sens qu'une petite histoire de la site de fibonacci s'impose ^^

Bon, maintenant, montrons par récurrence que P(n) : "Fn=(1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹]" est vraie pour tout n.

P(0) ===>
-------------- F(0) = (1/√5)*[Ф¹-(Ф')¹]
-------------- F(0) = (1/√5)*[(1+√5)/2 - (1-√5)/2]
-------------- F(0) = 1

P(1) ===>
-------------- F(1) = (1/√5)*[Ф²-(Ф')²]
-------------- F(1) = (1/√5)*[(3+√5)/2 - (3-√5)/2]
-------------- F(1) = 1

Donc P(0) et P(1) sont vrais : initialisation.

Supposons P(n) et P(n+1) vrais.

Donc P(n) ===> Fn = (1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹]
P(n+1) ===> Fn+1 = (1/√5)*[Фⁿ⁺²-(Ф')ⁿ⁺²]

et Fn + Fn+1 = (1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹] + (1/√5)*[Фⁿ⁺²-(Ф')ⁿ⁺²]
soit Fn + Fn+1 = (1/√5)*[Фⁿ⁺¹ - (Ф')ⁿ⁺¹ + Фⁿ⁺² - (Ф')ⁿ⁺²]

or [Фⁿ⁺¹ + Фⁿ⁺²] / Фⁿ⁺³ = Ф^-2 + Ф^-1 = (1 + Ф)/Ф² = 1
donc Фⁿ⁺¹ + Фⁿ⁺² = Фⁿ⁺³
de même, - (Ф')ⁿ⁺¹ - (Ф')ⁿ⁺² = - (Ф')ⁿ⁺³

D'où Fn + Fn+1 = (1/√5)*[Фⁿ⁺³ - (Ф')ⁿ⁺³] = Fn+2 = P(n+2)

Donc si P(n) et P(n+1) sont vrais, on a bien P(n+2) vrai ==> hérédité.

En conclusion, P(n): "Fn=(1/√5)*[Фn+1-(Ф')n+1]" est vraie pour tout n.

Bonjour,

Ta curiosité est belle à observer pour ma part. Les vérification sont donc justes et nous avons montrer par récurrence que l'expression que F_n est bien de la forme que je t'avais donné (avec le "+1"). Bon il y a un mystère en effet sous jasent, comment j'ai fait pour trouver cette formule? Car elle ne tombe pas du ciel comme tu t'en doute.

Alors dans un premier temps, il faut savoir de quelle suite nous parlons car la suite de fibonacci est défini de deux manière et ce qui change ce n'est pas la récurrence F_n+2=F_n+F_n+1 mais l'initialisation c'est à dire F₀ et F₁.

Il faut savoir en fait qu' "à la base" la suite de fibonacci représentation l'évolution d'une population de lapin en fonction du nombre d'année n. Or on peut considérer que la première année c'est l'année zéro c'est à dire n=0 ou plus intuitivement c'est l'année 1 c'est à dire n=1.

Ci on considère que la première année est indexé par 0, on a donc la première année soit 0 lapin soit 1 lapin ce qui différencie F₀=0 ou F₁=1. Et la deuxième année, on considère que le lapin n'a pas encore donnée de descendance et par conséquent F₁=1 ou F₂=1 (si on démarre à n=1 au lieu de n=0).

Ainsi, il y a deux façon de définir cette suite. Mais je t'entend d'ici me dire:

"Oui mais s'il y a deux initialialisation de la suite n'a-t-on pas deux suite différente?"

Alors en effet, il y a deux suite différente mais pas dans le sens où ce ne sont pas les mêmes nombres qui apparaissent mais elles sont différentes car il n'apparaissent pas à la même position.

En effet, si on pose F₀=0 et F₁=1, on a:
F2=1
F3=2
F4=3
....

On voit en fait que cela revient à dire que notre suite commence à n=1 et qu'on l'initialise avec F₁=1 et F₂=1. Et c'est avec cette définition là vu qu'on démarre à n=1, que la puissance est bien n et non n+1.


Et si on pose F0=1 et F1=1 (ce qui est le plus souvent fait), et bien, on a:
F2=2
F3=3
F4=5
.....

Comme celle que tu m'as donné au début pour effectuer le travail.

Et c'est dans des car comme cela qu'on se rend vraiment compte qu'un professeur qui martèle à longueur de cours: "Mettez en évidence vos hypothèses!!!!" est non négligeable car deux personnes peuvent avoir tout à fait juste mais avec deux initialisations différentes et ce n'est pas au correcteur de faire l'effort de comprendre votre démarche c'est à vous de bien la mettre en évidence:

"On considère la suite de Fibonacci définie comme suit:
F0=1
F1=1
Pour tout n dans N, F_n+2=F_n+1+F_n"

Maintenant que les choses sont claires. Tu peux voir d'après la forme de F_n, il ne s'agit pas d'une suite géométrique car une suite géométrique est de la forme A*qⁿ. Or ici, il s'agit de l'addition de deux suites géométriques si tu veux mais il ne s'agit pas d'une suite géométrique. On ne parle donc pas de raison de la suite de fibonacci.

La suite de Fibonacci est une suite définie par une récurrence double c'est à dire que nous avons besoin des deux termes précédents pour pouvoir calculer le suivant. Une telle suite possède ce qu'on appelle un équation caractéristique qui est x²=x+1 et ce sont les solutions de cette équation caractéristique qui forme ce qu'on appelle une base de la solution. C'est à dire que que notre terme F_n s'écrira A*s1+B*s2 avec s1 et s2 solution de notre équation caractéristique. Il ne reste plus qu'à calculer A et B en fonction des conditions initiales.

Donc la résolution d'une équation du second degré est au programme, et après, il s'agit de résoudre un système ce qui est au programme. Ce qui reste flou encore c'est cette histoire d'équation caractéristique car après tout pourquoi ne pas t'avoir dit juste cela et ainsi on évitait la récurrence? Et bien parce que déjà la récurrence n'est pas au programme et je ne crois pas les équations caractéristique des suite récurrente à deux termes soit aussi au programme . Par conséquent, autant utiliser la récurrence que je venais de t'expliquer plus haut tout simplement.

Maintenant, il reste à conclure pour ton exercice, on mettant en évidence _F3n+2 à par tir de F_n que nous avons et à faire la somme.

Bon courage!

Ok merci pour toutes ces explications. Cela devient plus clair maintenant.
En fait si on utilise la formule F_n que j'ai démontré par récurrence, on trouve, pour les valeurs des différents termes de la suite, des nombre décimaux que l'on arrondit (vu que les lapins sont modélisés par des nombres entiers, non?, et aussi parce que la somme de deux entiers et un entier).

Perso je préfère définir la suite avec F₀=1 et F₁=1 car je me dit, en me plaçant dans le contexte des lapins, que si on étudie leur évolution, il faut bien au moins un couple de lapin au départ, donc F₀ = 1.

Ya juste une dernière énigme pour moi. Tu as dit : "notre terme Fn s'écrira A*s1+B*s2 avec s1 et s2 solution de notre équation caractéristique". Comment as-tu trouvé que A=1/√5 et B=-1/√5
(ou l'inverse) ?

Bon sinon, pour revenir au problème, on a F_n=(1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹]
donc F_3n+2=(1/√5)*[Ф³ⁿ⁺³-(Ф')³ⁿ⁺³]

Des mystère, il y en a partout en fait.

Il n'y pas pas d'arrondi en fait car aussi bizarre que cela puisse paraître le calcul donne bien à chaque fois un entier pour F_n même si le nombre d'or ne l'est pas . C'est un mystère mais cela peut se démontrer je pense (mais je n'ai pas réfléchi sur la question je t'avouerai donc je laisse au lecteur pour le coup ).

Sinon, unmystère qui est résolvable c'est l'histoire d'équation caractéristique x²=x+1. Essayons de comprendre ce que nous cherchons:

"On cherche une expression de F_n en fonction de n telle que F_n+2=F_n+1+F_n avec F₀=1 et F₁=1".

Dans un premier temps laissons les conditions initiales F₀ et F₁ de côté et essayons déjà de trouverl a forme de notre expression telle que F_n+2=F_n+1+F_n

Cherchons des solution d'une forme connu par exemple u_n=aⁿ avec a à déterminer.Nous sommes donc dans une démarche de recherche et par conséquent, on suppose que u_n=aⁿ vérifie bien notre hypothèse u_n+2=u_n+1+u_n

On a donc: a_n+2=a_n+1+a_n

On constate que si je pose x=a_n, nous sommes devant l'équation x²=x+1 (et voilà notre équation caractéristique !!!!!!!)

Nous sommes donc amené à résoudre cette équation qui a pour solution: Ф et Ф'

On remarque maintenant que (Фⁿ)_n est bien solution de notre problème vu que Фⁿ⁺¹+Фⁿ=Фⁿ*(Ф+1)
Or Ф est solution de Ф²=Ф+1
Donc Фⁿ⁺¹+Фⁿ=Фⁿ*Ф²=Фⁿ⁺²

De même, ((Ф')ⁿ)_n est une suite vérifiant notre hyptohène.

Regardons maintenant ce qu'on appelle une combinaisons linéaire des deux solutions c'est à dire une suite de la forme (A*Фⁿ+B*(Ф')ⁿ)_n

On a: (A*Фⁿ⁺¹+B*(Ф')ⁿ⁺¹) + (A*Фⁿ+B*(Ф')ⁿ)=A*[Фⁿ⁺¹+Фⁿ]+B*[(Ф')ⁿ⁺¹+(Ф')ⁿ)

Or (Фⁿ)_n et ((Ф')ⁿ)_n vérifie F_n+2=F_n+1+_n

Donc (A*Фⁿ⁺¹+B*(Ф')ⁿ⁺¹) + (A*Фⁿ+B*(Ф')ⁿ)=A*Фⁿ⁺²+B*(Ф')ⁿ⁺²

Conclusion, les suites de la forme (A*Фⁿ+B*(Ф')ⁿ)_n vérifie notre hypothèse F_n+2=F_n+1+_n

Donc notre suite de Fibonacci est bien de cette forme là !!!

Maintenant, il nous reste des conditions initiales pour déterminer A et B (ce qui avait l'air de te poser des soucis). On sait que F₀=F₁=1

On a donc le système suivant:

{A*Ф⁰+B*(Ф')⁰=1
{A*Ф¹+B*(Ф')¹=1

La première ligne nous donne A+B=1 ce qui nous permet d'exprimer B enfonction de A ce qui donne B=1-A. On injecte la valeur de B dans la deuxième équation et nous déduisons ainsi que:

A*Ф+(1-A)*Ф'=1 c'est à dire A*(Ф-Ф')=1-Ф'
Donc A=(1-Ф')/(Ф-Ф')

Or 1-Ф'=Ф et Ф-Ф'=√5

Je te laisse terminer les calculs si tu veux et tu va bien voir apparaître la puissance n+1 et le racine de 5 en facteur.


Sinon pour en revenir à la question initiale, l'expression de F_3n+2 est juste. Maintenant, il faut faire l'addition de tous ces termes paires de 0 à N par exemple.

Bon courage!

Ok j'ai capté le truc. Merci.
Ya juste une chose pas claire :

Citation :

On constate que si je pose x=a_n, nous sommes devant l'équation x²=x+1 (et voilà notre équation caractéristique !!!!!!!)

Je ne vois pas pourquoi !

Sinon, pour finir les calculs, on a donc A=Ф/√5 et B = 1-A = 1 - Ф/√5
Donc au finale je trouve F_n=(1/√5)*[Фⁿ⁺¹-(Ф')ⁿ⁺¹] + Ф'ⁿ

j'ai donc un Ф'ⁿ en trop ! ????

Pour revenir au problème initial, on a : F_3n+2=(1/√5)*Ф³ⁿ⁺³-(1/√5)*(Ф')³ⁿ⁺³

Il s'agit donc de calculer la différence entre deux sommes de deux suites géométriques (donc je fais la somme d'abord de la suite ((1/√5)*Ф³ⁿ⁺³)_n puis celle de ((1/√5)*(Ф')³ⁿ⁺³)_n et ensuite je soustraie la deuxième somme à la première). Ou alors je fais la somme de ((1/√5)*Ф³ⁿ⁺³)_n puis celle de (-(1/√5)*(Ф')³ⁿ⁺³)_n (noter que je regarde le signe "-") puis je fais la somme des deux sommes.

Donc j'ai penser à faire un changement de variable comme suit : N = 3n + 3

Donc F_N-1 = (1/√5)*Ф^N-(1/√5)*(Ф')^N

Mais avant de le faire, je voudrais savoir si c'est bien cela et si je suis dans la bonne voie; ou alors si ya un moyen beaucoup plus rapide et rigoureux pour le faire !

Merci d'avance.

Bonjour,

Alors j'ai fait une légère erreur dans mes notations dans mon dernier message. En effet, pour les a il s'agit de puissance et non d'indice comme je l'ai marqué vu que je pose u_n=aⁿ avec a non nul.

Ainsi, cela donne aⁿ⁺²=aⁿ⁺¹+aⁿ

En fait, avec du recule, je ne suis mêem pas obligé de poser x=aⁿ. En effet:

aⁿ⁺²=aⁿ⁺¹+aⁿ <=> (a²)*aⁿ=a*aⁿ+1*aⁿ

Sachant que a est différent de 0, aⁿ est aussi différent de 0. Je peux donc simplifier par aⁿ ce qui me donne:

a²=a+1

Pour se ramener à une forme plus agréable, on peux poser x=a et ainsi, on a bien l'équatino x²=x+1.

C'est plus clair ainsi je pense et surtout plus juste que le raisonnement que je te proposais. Désolé poru se contre-temps, je ne suis pas à l'abris d'erreurs non plus .

Sinon, pour ta deuxième ramarque, tu te fais avoir car tu as écrit: A=Ф/√5 ce qui est juste mais il faut se souvenir d'où vient le √5=Ф-Ф'

Ainsi, B=1-A=1-Ф/(Ф-Ф')=(Ф-Ф'-Ф)/(Ф-Ф')=Ф'/(Ф-Ф')=-Ф'/√5 ce qui nous donne bien B=-Ф'/√5..

D'ailleurs tu faisait une erreur lorsque tu remplaçais car tu n'avais pas la puissance n+1 pour Ф' vu que tu utilisais B=1-Ф/√5 et non Ф'.


Enfin, pour faire le calcul de la somme, tu peut faire la soustraction ou l'addition cela ne change rien lorsqu'on fait des sommes vu que 1+2=2+1=1+1+1=3 en gros.

D'ailleurs, tu n'es pas obligé de faire un changement de variable pour effectuer le calcul des deux sommes car comme tu le dis, il s'agit de somme de suite géométrique de raison ici Ф et Ф'. Carl a somme de suite géométrique est toujours la même, même si tu n'es pas dans les condition classique, il s'agit toujours de:

(1er terme)*(1-raison^{nbre de termes})/(1-raison)

Donc le changement de variable risque de t'embrouiller plus qu'autre chose je pense. Essaie de le faire en direct de façon classique car là nous retombons sur du cours de 1ère S ce qu'il y a de "classique" vu qu'il s'agit de calcul de sommes de suites géométriques.

Bon courage!

Pour faire la somme, ya le ³ⁿ⁺³ sur la raison qui m'embête...

Et pour le nombre de termes, comme je détermine combien il y en a en-dessous de 4 millions ?

Alors la puissance 3n+3 t'embête et c'est presque la seule difficulté en effet. Bon le changement d'indice permet sans doute de conclure mais bon je ne trouve pas cela très sympa de modifier cette pauvre suite alors qu'il n'y en a pas besoin pour une fois.

Petit rappel:

x^a+b=x^a*x^b
x^a*b= (x^a)^b

Par conséquent, Ф³ⁿ⁺³=Ф³ⁿ*Ф³=(Ф³)ⁿ*Ф³

Ceci pouvant aussi être écrit: Ф³ⁿ⁺³=Ф³*(Ф³)ⁿ

Donc il s'agit de faire la somme d'une suite géométrique de raison Ф³ et de premier terme Ф³/√5.

Est-ce que c'est plus clair comme cela? Mais bon sinon effectue le calcul avec ton changement de variable c'est un peu plus long mais bon au moins tu es en terrain connu si la méthode que je te propose ne te plaît pas tout à fait, ce n'estp as génant le but étant d'arriver au résultat.

Pour ce qui est de la borne supérieur de la somme, on peut la noter N pour le moment car pour trouver la valeur de n tel que F_3n+2<4Million ce n'est pas encore gagné.

Bon courage!

Si j'adore ta méthode ! je n'y aurais jamais pensé à transformer le Ф³ⁿ⁺³ en Ф³*(Ф³)ⁿ ! C'est joli.

Donc on a notre première suite géométrique (Ф³/√5 * (Ф³)ⁿ)_n
premier terme : Ф³/√5
raison : Ф³

Soit S₁, la somme de n termes de cette suite :

S₁ = Ф³/√5 * (1-Ф³ⁿ)/(1-Ф³)

Ensuite il y a la deuxième suite géométrique (-Ф'³/√5 * (Ф'³)ⁿ)_n
premier terme : -Ф'³/√5
raison : Ф'³

Soit S₂, la somme de n termes de cette suite :

S₂ = -Ф'³/√5 * (1-Ф'³ⁿ)/(1-Ф'³)

Donc la somme finale S que nous cherchons est telle que :

S = S₁ + S₂ = Ф³/√5 * (1-Ф³ⁿ)/(1-Ф³) -Ф'³/√5 * (1-Ф'³ⁿ)/(1-Ф'³)

On a donc S, la somme des n termes pairs de la suite de fibonacci ) Manque plus qu'a trouver la valeur de n tel que F3n+2<4Million

Alors on touche au but en effet!

Bon maintenant, il nous reste un passage déliquat à faire car la résolution d'une inéquation du type:

(1/√5)*[Ф³ⁿ⁺³-(Ф')³ⁿ⁺³]≤4.10⁶

D'ailleur j'ai interprété la question comme étant le fait que ce sont les terme pair qui ne dépassent pas les 4 Millions et non la somme qui ne dépasse pas 4 Millions. Mais bon, l'un ou l'autre, nous sommes un peu bloqué.

Alors comment faire?

La façon la plus "simple" est de faire un tableau pour repéré le dernier terme pair inférieur ou égale à 4 millions.

Et c'est d'ailleurs, la méthode que nous allons employer car elle suffit d'une part et permet d'éviter de s'negager sur des terrains un peu trop complexe pour le coup.

Je te laisse donc conclure.

Bon courage!

Haa c'est dommage. Car pour résoudre ce problème avec la calculatrice j'avais fait un tableau. Donc en faire un là je n'aime pas trop car au final on avait qu'à ajouter tous les termes pairs ainsi calculés. J'aurais aimé avoir un moyen de trouver sans faire de tableau ou quoi que ce soit. En gros comme si j'avais ce problème là dans un concours, et sans le droit d'utiliser une calculatrice ou autre

En effet, c'est dommage mais ton calcul aurait été fastidieux si tu avais additionnée tous les termes pairs à la main ou mêem assisté par une machine. Donc on a retarder l'utilisation de la calculatrice et en plus tu peux lui demander de calculer seulementpour des grand nombre de n et ainsi trouver à tatons le n correspondant sans afficher toutes les valeurs par exemple.

Mais il est vrai que nous n'avons fait que retarder son utilisation. Nous avons tout de même appris beaucoup de chose ne passant je pense aussi bien culturellement que mathématiquemetn parlant tout en faisant quelque révision sur les suites et le calcul de puissance.

Je vais essayer de te trouver un moyen de calcul la valeur du n correspondant sans utiliser le calcul de tous les termes mais je ne te promet rien car le calcul m'a l'air barbare tout de même xD.

En tout cas tu peux tout de même conclure cette exercice pour l'instant.

Bon courage!

Je t'avoue que la résolution de ce problème a effectivement été très enrichissante !

Donc le terme pair qui a la valeur la plus grande en dessous de 4 millions c'est 3524578 et il est donné par n=10 dans notre suite F_3n+2.

La somme est donc (enfin!) : S = Ф³/√5 * (1-Ф^3*10)/(1-Ф³) -Ф'³/√5 * (1-Ф'^3*10)/(1-Ф'³)

après avoir tappé ce très gros calcul sur ma calculatrice, avoir bien vérifié toutes les parenthèses, je trouve un résultat qui ne convient pas : S = 1089153.83
J'ai du me tromper quelque part :s peux-tu faire le calcul pour vérifier le résultat ?

J'attends ton moyen de calculer la valeur du n correspondant sans utiliser le calcul de tous les termes avec impatience ^^

PS : j'ai trouvé sur un site une astuce qui avait l'air pas mal pour résoudre le problème, dis moi ce que tu en penses :

Citation :

There is another beautiful structure hidden beneath this problem:
If we only write the even numbers:
2 8 34 144...
it seems that they obey the following recursive relation: E(n)=4*E(n-1)+E(n-2).
If we can prove that for the Fibonacci numbers the formula F(n)=4*F(n-3)+F(n-6) holds we
have proven this recursion.
The proof is on the following page. Perhaps you want to try that yourself first.

F(n) = F(n-1) + F(n-2)
= F(n-2)+F(n-3)+F(n-2)=2 F(n-2) + F(n-3)
= 2(F(n-3)+F(n-4))+F(n-3))=3 F(n-3) + 2 F(n-4)
= 3 F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)
= 4 F(n-3) + F(n-6)

Alors d'un point de vu logque ta réponse est forcméent fausse.

Comment le voir au premier coup d'oeil?

On addition des entiers positifs !!!! Conclusion, la somme doit être un entier positif.

Je trouve pour ma part exactement: 1089154.


Sinon, pour la preuve que tu proposes a l'air intéressante. En gros, ils jouent sur l'intuition ce qui est un bien. Donc on écrit les premiers terme pair del a suite de Fibonacci et on essaie de trouver une relation de récurrence pour passer d'un terme à son suivant. Il nous donne l'égalité qu'il faut donc montrer par récurrence et il nous donne mêem une piste pour montrer la récurrence à partir de la définition del a suite de Fibonacci.

nous sommes donc en possession d'une suite récurrente double mais nous n'avons pas avancé d'un poil car il faut encore résoudre son équation caractéristique avant d'enfin calculer la sommes. Il reste encore pas mal de boulot derrière mais l'idée est très intéressante car vraiment déductive même si après il faut bien mettre les mains dans les calculs pour faire parler notre nouvelle suite récurrente. Et si tu veux te faire plaisir (et je veux bien t'y aider), on va retrouver exactemetn la même chose (heureusement).

Donc quelle est l'équation caractéristique de notre nouvelle suite récurrente? Puis il faut trouver les valeur des deux constate à partir des deux premiers termes de la suite des pairs donc 2 et 8.

Bon courage!

Comment ce fait-il que la réponse que l'on trouve (avec la formule de S qu'on a calculé) n'est pas la bonne ?

Heu... Qu'est-ce que tu appelles la bonne réponse?

Tu as un corrigé de ton exercice?

Comme je l'ai spécifié dans mon premier post, ce problème vient du site : http://projecteuler.net

La bonne réponse est 4613732, ce qui parait plus logique vu que le dernier terme pair en dessous de 4 millions vaut 3524578.

En effet!

Alors d'où vient l'erreur c'est ça la quesiton.

Ok, je vois l'erreur qui m'avais échapé lachement!!! En effet, lorsqu'on fait la somme des deux suites géométrique, nous élevons la raison à la puissance "le nombre de terme de la somme".

donc si le dernier terme à prendre est n=10 sachant que notre somme commence à n=0 (c'est à dire F_3*0+2=F₂) combien ya-t-il de terme?

Je te laisse corriger et je pense que ça sera plus logique en effet .

Bon courage!

En effet !!!! la somme est donc : S = Ф³/√5 * (1-Ф^3*11)/(1-Ф³) -Ф'³/√5 * (1-Ф'^3*11)/(1-Ф'³) et on retrouve le bon résultat !

on aurait même pu se passer du -Ф'3/√5 * (1-Ф'3*11)/(1-Ф'3) qui visiblement ne sert à rien car il nous écarte encore + de l'entier auquel on arrondit le résultat ! (là il nous donnais une valeur très faible qui est : -0.0854102075)