1ère S - Suite de Fibonacci

Si on l'écarte, nous n'aurona plus un entier .

Mais ne effet sa contribution est faible. Question: Pourquoi? Pouvait-on le prévoir?

Mais qu'on l'écarte ou pas, on aura pas un entier, il faut arrondir. C'est ça qui me gêne...

Ha non justement!

Il s'agit bien d'un entier pur. Fait la calcul à la main si tu veux t'en convaincre mais ta calculatrice doit te donner un nombre exact, heureusement! Imagine on additionne des entiers et on a une réponses non entière, où serait la logique?

Alors si tu effectues les deux calculs séparément dans ta calculatrice avant de faire la soustraction, il se peut qu'il y est des erreurs d'arrondis. C'est d'ailleurs pour cela qu'on préfère ne mathématique arrondir seulement à la fin ainsi on limite les erreurs successif d'arrondis (ce que ne fait pas l'ordinateur ce qui pose donc des problèmes de gestion lorsqu'on fait de la programmation par exemple).

je sais bien qu'on ajoute des entiers, donc qu'on doit obtenir un entier.

haaa effectivement c'est ma calculatrice qui m'a induit en erreur, c'est pour ça.

Eh bien écoute merci beaucoup pour ton aide, je reviendrais sûrement bientôt si j'ai une question

Bonne continuation.

Alors et pourquoi la contribution du deuxième terme est quasi négigeable?

Que savons-nous du comportement à l'infini de la deuxième somme?

Elle tend vers zero

Pas tout à fait en fait c'est ce que je voulais te faire remarquer.

En effet, la raison est bien comprise en -1 et 1 et par conséquent, la suite par elle tend vers 0. Cependant, sa somme (du deuxième terme donc) va tendre vers:

1/[1-(Ф')³]

Je te laisse le vérifier.

Donc c'est négligeable vu que l'autre terme tend vers l'infini à l'infini (car la raison est strictement supérieur à 1). Cependant, sa contribution ne sera jamais nulle pour autant.

Ce sont des petit chose que numériquement ont croit voir mais qui mathématiquement parlant ne sont pas exact (du à la précision machine en fait).

Bon courage pour la suite (et je cherche toujours un moyen d'atteindre le n=10 sans le faire numériquement).

Bonsoir,

J'ai peut-être quelque chose pour trouver la valeur de n tel que F_n<4.10⁶

Alors je vais commencer par faire une approximation qui est criticable mais je vais tenter de la justifier.

En effet, on sait que la suite géométrique de raison q'=Ф'=(1-√5)/2<1 et de prenmier terme -Ф'/√5 est croissante et tend vers 0 par valeur négative lorsque n tend vers +Infini.

De plus, la suite géométrique de raison q=Ф=(1+√5)/2>1 et de premier terme Ф/√5 (c'està dire que U_n=Фⁿ⁺¹/√5) est croissante et tend vers +Infini lorsque n tend vers +Infini.

Par conséquent, si n est relativement grand, je peux négliger le deuxième terme surtout que celui-ci tend vers 0.

Cette aproximation faite, je peux donc dire que F_n se comporte comme U_n lorsque n est relativement grand.

Je cherche donc dans un premier temps, un entier naturel n tel que U_n<4.10₆

C'est à dire que je résoud l'inéquation:

0<Фⁿ⁺¹/√5<4.10⁶

Il s'agit d'une première approche, je suppose que la valeur de n que je vais trouver est suffisamment grande pour pouvoir faire cette approximation là. Si la conclusion est aberrante c'est que mon approximation l'était et par conséquent, je recommencerai mon raisonnement sans faire d'approximation.

Alors ici, je sors complétement du programme de 1ère S. J'introduis une fonction F qui est telle que pour tout réels strictement positif x et y, F(x*y)=F(x)+F(y) et F(1)=0.

Je vais supposer que cette fonction F existe (c'est àd ire que j'admet l'existence d'une telle fonction, la démonstration est fait en Term S). De plus, je vais supposer que cette fonction F est croissante (j'admet aussi cette preuve).

On a donc par croissance de F que: Si x>1, alors F(x)>F(1), c'est à dire F(x)>0 (car F(1)=0)

On constate que si je prend x=y, j'ai: F(x²)=F(x)+F(x)=2*F(x).

Par récurrence (notion de Term S sur les suite), on montre que pour tout entier naturel n, F(xⁿ)=n*F(x) (en effet, l'hérédité est faite par ce passage-ci: F(xⁿ)=F(x^n-1*x)=F(x^n-1)+F(x) puis par hypothèse de récurrence F(x^n-1)=(n+1)*F(x), d'où le résultat).

De plus, on a: pour tout réel x strictement positif, F(1)=F[x*(1/x)]= F(x) + F(1/x)
Donc 0=F(x)+F(1/x)
D'où pour tout réel strictement positif x, F(1/x)=-F(x)

Et on a par définition, pour tout réel strictement positif x et y, F(x/y)= F[x*(1/y)]=F(x)+F(1/y)
C'est à dire que pour tout réel strictemetn positif x et y, F(x/y)=F(x)-F(y)


Maintenant que j'ai définie cette fonction, je vais l'utiliser sur mon inégalité:

Par croissance de F et le fait que mon inégalité soit strictement positive, on a:
F(Фⁿ⁺¹/√5)<F(4.10⁶)

Or F(Фⁿ⁺¹/√5)=F(Фⁿ⁺¹)-F(√5)
Et F(Фⁿ⁺¹)=(n+1)*F(Ф)

Donc, F(Фⁿ⁺¹/√5)<F(4.10⁶) <=> (n+1)*F(Ф)-F(√5)<F(4.10⁶)

D'où F(Фⁿ⁺¹/√5)<F(4.10⁶) <=> n<[F(4.10⁶)+F(√5) ]/F(Ф)-1 (car F(Ф)>0 car Ф>1)

Je t'ai jusqu'à maintenant, caché le nom de cette fonction F met il s'agit en fait de la fonction logarithme népérien, notée ln.

Il ne nous reste plus qu'à faire le calcul et on trouve que n<32.2629

On teste donc pour n=32 puis pour n=33. ET on constate que pour n=32, F₃₂<4.10⁶ et pour n=33, F₃₃>4.10⁶

Donc n=32 convient et 32=3*10+2.

On retrouve bien la valeur supérieur de notre somme qui est N=10 !!!

fin de démonstration. Mais avec le niveau 1ère S, il faut pour faire cette exercice faire un tableau avec toute les valeur puis les additionner à la main. Car je ne vois pas comment faire autrement car même en faisant une bonne partie sans effectuer cette manipulation, nous avons utilisé tout de même la notion d'équation caractéristique d'une suite récurrente double ainsi que la notion de démonstration par récurrence. ET là pour la fin, j'utilise la notion de logarithme népérien ainsi que de "négligeabilité" à l'infinie.

Bonne continuation!

Belle démonstration ! Où t'es venue l'idée d'introduire la fonction logarithme népérien ?

Je suis content de voir qu'on peut donc bien résoudre tout le problème à la main !

Merci beaucoup d'avoir passé du temps à essayer de me trouver une bonne méthode de résolution !

Bonsoir,

L'idée du logarithme népérien est un réflexe pour "abaisser une puissance" comme on le dit de manière très peu mathématique. Du coup, vu que n est une puissance ici, l'idée du logarithme népérien s'impose. Par contre, c'est le fait de négliger un terme qui ne s'impose pas forcément car on peut reprocher une étude "à la physicienne" où je néglige un terme pour pouvoir avancer. Mais comme en physique-chimie, on néglige des termes sous certaine hypothèse qu'on suppose vérifiées et si la conclusion est en contradiction et bien on change d'hypothèse. Ici, nous avons l'avantage qu'il n'y a pas de contradiction et qu'on trouve belle et bien le résultat en considérant le cas d'égalité de notre majoration.

Mais après, je n'ai pas détaillé toute la théorie sur le logarithme népérien même si j'ai du redémontrer certaines propriétés pour éviter de tout admettre et de faire une réponse du type "c'est comme ça parce que ça marche" car ce n'est pas très constructif tout de même. Mais bon, les démonstration que j'ai admise sont relativement intuitive sauf l'existence qui l'est un peu moins et qui tombe un peu du ciel mais bon, je ne voulais pas entrer dans la théorie non plus car cela n'était pas utile.

Un bel exercice en tout cas pour celles et ceux qui veulent voir un peu plus loin que le programme de 1ère S.

Bonne continuation!