Espace euclidien

Bonsoir!
Cette fois c'est l'algèbre qui me pose problème et j'aurais besoin de votre aide =)

On considère E un espace euclidien muni d'un produit scalaire (.|.) et a un vecteur unitaire de E. Pour alpha appartenant à R on définit f an posant :
f : E -> E
x -> x + alpha*(x|a)*a

on demande de déterminer l'ensemble D={ aplha E R tel que f E GL(E)}. Je bloque dejà pour cette question. Je ne sais pas comment m'y prendre: déterminer la matrice dans une base (mais quelle base?), la recherche du noyau ne donne rien et l'image non plus. =S

Merci pour votre aide!

Bonsoir Myrtille,

Content de constater que tu avance toujours dans ton travail. Alors dans un premier temps, on peut montrer que f est bien une fonction linéaire. Rien de bien compliqué pour commencer.

Ensuite, d'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter (a) en une base de E par exemple (a,e1, ..., en). Il ne reste plus qu'à considérer la matrice M de f dans cette base. Puis regarder son déterminant (très simple à calculer du coup).

Ce qui peut mettre la puce à l'oreille c'est qu'on considère dès le départ que a est unitaire et donc on peut considérer qu'il y a une base qui contient ce vecteur là.

Bon courage!