[révision MPSI] Sous-espace vectoriel engendré

Bonjour !

Soit K un corps, et E un K-ev. Soit A une partie quelconque de E (du moins finie ou dénombrable).

On a défini, dans notre cours, Vect(A) comme étant le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de E contenant A.

* Si Vect(A) est toujours une partie finie ou dénombrable de E, on peut donc ré-appliquer l'opérateur Vect et je n'arrive pas à savoir : as-t-on Vect(vect(A)) = Vect(A) ? Je pense que oui, car je ne vois pas bien comment on pourrait faire apparaître de nouveaux éléments en manipulant des combinaisons linéaires de combinaisons linéaires... pour être "concret", je me suis placé dans K[X] (espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K).

* Si Vect(A) est un ensemble infini non dénombrable, alors Vect(Vect(A)) n'est plus défini, n'est-ce pas ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

Considérer A fini n'est pas du tout anondin car sur une partie infini non dénombrable, il ne serait pas bossible d'engendrer un espace vectoriel vu qu'il faudrait en extraire une base. Or la base de ce nouvel espace sera les éléments de A par construction.

Sinon, en effet Vect(Vect(A))=Vect(A). Le plus simple pour le visualiser serait de se dire tout simplement qu'on crée un espace vectoriel (en oubliant les considération d'inclusion) en donc imagine qu'on prend pour A un espace vectoriel que devient Vect(A) ?

Bon courage et @bientot au sein du forum