[révision MPSI] noyau et image d'une application linéaire

Bonjour.

Voici l'exercice :

Citation :

1) Étant donnés a et b des réels, déterminer le noyau et l'image de l'application linéaire f de R³ dans R³ qui à tout vecteur u=(x,y,z) associe le vecteur (x',y',z') défini par :
x'=x+a*z
y'=(a-1)*x+(b-1)*y
z'=b*z

2) Déterminer a et b pour que f soit un projecteur.

Alors tout d'abord, pour déterminer la noyau dans la question 1), on est donc amené à résoudre le système :

x+a*z=0
(a-1)*x+(b-1)*y=0
b*z=0

Je n'arrive pas bien à m'en sortir avec toutes les différenciations de cas... j'ai fait a=0 et b=1, a=b=0, a différent de 0 et b=1, a différent de 0 et b=0... mais bon cela ne me paraît pas très concluant !

Merci d'avance.

Bonsoir,

Ce genre d'exercice est assez énervant car il y a beaucoup de disjonction de cas mais il faut essayer d'être méthodique en prenant les cas constantes par constante. On commence donc par a=0 puis on regarde b s'il y a une nouvelle disjonction sur b, on regarde une valeur b=0 puis on regarde c. Ensuite, on revient à b different de 0 et on regarde c et ainsi de suite pour que tu puisses avoir des cas bien disjoints. Mais n'oublie pas qu'il faut à la fin trouver des espaces vectoriels et donc mettre en évidence des vecteurs de base si besoin pour mieux visualiser les choses en bout de course.

Bon courage!