Etude de signe, tableau de varitions

Bonjour, d'après le titre ça semble facile et pas du niveau terminale je pense, mais je bloque là dessus ...

On travail sur l'intervalle [0; +infini[

Voici l’énoncé :

a) Étudier le signe de f'''''(x) puis en déduire les variations de f''''(x)
b) En déduire le signe de f''''(x) (là ça me pose un problème déjà :s) puis les variations de f'''(x)
c) Etc ... jusqu'à f(x)

Les ' sont les dérivées.

Avant cette question j'ai dût les calculer et j'ai trouvé ça :

f(x) = x - (x^3/6)+(x^5/120)-sin(x)
j'ai dérivé tout ça, et je suis arrivé à :
f''''(x) = x - sin(x)
f'''''(x) = 1 - cos(x)

Les dérivées sont justes j'ai vérifié.

Pour la question a) j'ai fait :

-1<= cos(x) <= 1
1=>-cos(x)=>-1 (bizarre, je viens de m'en rendre compte :s)
2=>1-cos(x)=>0

J'en déduit que f'''''(x) est positif

x	0 +infini
f'''''(x)	+
f''''(x)	-> vers le haut

Ça me parait bon, mais la question b) me pose problème : Comment trouver ce signe ? Ça paraitrai bizarre de dire "+" puisque tout sera positif après, et sur ma calculatrice les courbes ne le sont pas forcement ...

J'aimerais avoir des éclaircissements là dessus si possible puisque les signes de fonctions sinus et cosinus je gère pas bien :/

Merci d'avance, un tout nouveau membre

Bonsoir et bienvenue parmi nous !

Le but de cet exercice est de pouvoir trouver une approximation de la fonction sinus. En effet, si on arrive à encadrer F(x) alors on encadrera la fonction sinus entre deux fonctions polynomiales ce qui encadrera donc la valeur du sinus.

Donc on essaie de dériver jusqu'à obtenir une fonction dont on puisse trouver le signe et ensuite, on remonte petit à petit en cherchant successivement le signe de la fonction pour en déduire les variations et ainsi de suite.

On a donc la dérivée 4ème qui est croissante sur l'intervalle d'étude. A partir de là, connaîtrais-tu son minimum ?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions!

f''''(0) = 0 c'est ça ? :s

C'est exact !

Du coup qu'elle est le signe de cette fonction connaissant son minimum et ses variations ?
Et ainsi, quelles sont les variations de la dérivée troisième ?

Bon courage!

Je dirais que le signe est +, donc variation de f''' --> haut

Nickel! Fais-toi confiance, tu sais faire les choses la preuve .

Maintenant, quel est le signe de la dérivée troisième connaissant sa variation ?

Bon courage!

Positif !

Mdr merci beaucoup, en fait c'est tout simple ... (tordu ce prof ..)

Mais qui sont ces "imbéciles" qui osent dire que les mathmatiques sont compliquées ????

Bref, ici, comme je te le disais, il s'agit d'obtenir une approximation (ou une majoration ou une minoration) de la fonction Sinus.

Donc en conclusion, que trouves-tu pour la fonction dérivée seconde ? Puis la dérivée et enfin pour la fonction elle même ?

Bon courage!

Positif / Croissante, Positif / Croissante, Positif / Croissante

Ok!

Du coup, ne pourrais-tu pas trouver une majoration de la fonction sinus pour tous les valeurs de x dans l'intervalle de notre étude ?

Je pense que tu seras d'accord pour admettre qu'une fonction polynôme est plus facile à calculer à la main qu'un sinus. Et par conséquent avoir une majoration pourrait devenir utile dans certain domaine (construction par exemple).

Bonne continuation!

Je crois tu tu essayes d'aller un peu loin. Je n'ai pas étudié ca encore et je ne pense pas que ce soit la question :/

En effet, ce n'ai pas la question posée, je l'avoue.

Cependant, vu que tu paraissais assez frustré de la simplicité de cet exercice, je voulais t'en montrer un des buts c'est dire la majoration de la fonction sinus.

En effet, que peux-tu dire de la minoration de F connaissant sa variation ? Et du coup, on peut conclure que la fonction est minorée par la valeur en 0 de cette fonction c'est à dire que pour tout x, F(x)>F(0) et ainsi, tu peux conclure une majoration du sinus en isolant celui-ci dans l'inégalité. C'est l'un des principaux but de cet exercice en tout cas et je pense que ton professeur t'en parlera à la correction de ce devoir sinon cela serait dommage d'avoir fait tout ça.

Bonne continuation!

Oui, ce sera surement la leçon précédente, étant donné que je n'ai jamais vu ça encore.

Merci beaucoup pour cette aide.