Non la 1) est bonne comme tu l'as rédigée car je ne pense pas qu'il puisse te demander la démonstration vu comment est posé l'exercice
.
Pour la 1)b), je te conseille tout de même de plus mettre un truc du genre:
La racine carré d'un nombre a est l'unique réel positif, b tel que b²=a et on note b= racine(a)
Donc racine(a)=b est positif ou nulle.
Car ta rédaction, peut sous entendre l'existence de la racine poru nu nombre négatif "la racine carré d'un nombre positif est positif" mais il ne peut y avoir de racine carré négative (enfin pour le moment....
).
Bon trêve de bavardage, voici nue démonstration pour montrer que la fonction racine est positive sur R
+ si on voulait faire quelque chose de théorique. Enfin théorique c'est vite dit après tout.
Je vais tout de même admettre que pour tout nombre a positif, il existe un b tel que b²=a et on note b=√a
Nous cherchons à montrer que b est positif ou nul pour tout a.
Si a=0, on a 0²=0 donc b=0 ≥ 0.
Supposons maintenant a > 0,
Pour montrer que b est positif, nous allons le construire (ce qui donnera par la même occasion son existence d'ailleurs). La façon de le construire sera géométrique.
Soit AB=1 + a
Je prend un point O tel que AO=1,
Soit C le cercle de diamètre [AB] et D la droite perpendiculaire à [AB] passant par O.
J'appelle H, le point d'intersection entre C et D.
Voici le schéma:
A partir de là, je sais que tout triangle inclus dans un demi-cercle dont l'un des côté est le diamètre du cercle est rectangle. Donc
ABH est rectangle en H.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a: AH² + BH² = AB² =>
AH² + BH² = (a+1)²Par construction, on a:
(OH) et (AB) qui sont perpendiculaires en O. Donc
les triangles AOH et BOH sont rectangles tous les deux en O (car O appartient à [AB], donc A, O et B sont alignés).
Donc d'après le
théorème de Pythagore dans AOH rectangle en H, on a: AO² + HO² = AH² =>
AH² = 1 + HO²De plus, d'après le
théorème de Pythagore dans BOH rectangle en H, on a: BO² + OH² = BH² =>
BH² = a² + OH² (car BO = AB - AO = 1 + a - 1 = a)
Donc
en remplaçant BH et AH dans la première expression, on obtient:
(1 + OH²) + (a² + OH²) = (a+1)²<=> 1 + OH² + a² + OH² = a² +2a + 1
<=> 1 +2*OH² + a² -(a² + 2a + 1) = 0
<=> 2*OH² + a² + 1 - a² - 2a - 1 = 0
<=> 2*OH² - 2a = 0
<=> OH² = aDonc d'après la définition de la racine que j'ai donnée au début, on a: OH = √a et ceci pour tout a≥0 !!!!
Or HO est une longueur, donc HO≥0 !!!!
D'où pour tout réel a≥0, il existe un réel b≥0 tel que b=√a.
Donc la racine carré est bien une fonction à valeur positive sur
R+.
Voilà, je ne pense pas avoir fait d'erreur dans cette démonstration qui est assez parlante et n'utilise en fait que 2 notions: Pythagore et le fait qu'un triangle inclus dans un demi cercle avec un coté pour diamètre est rectangle.
Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!
Dim 9 Mar - 13:13
