[Term S] Limite d'une fonction utilisant une racine cubique

Salut Cuicui !

Alors j'ai devant moi une limite que je n'arrive malheureusement pas à trouver Je n'arrive pas à lever l'indétermination, malgré la batterie de techniques que j'ai utilisées : quantité conjuguée, extraction sous la racine pour factoriser, autres factorisations possible, mettre en produit de plusieurs fractions pour retrouver un nombre dérivé (j'en ai trouvé mais ça ne me menait à rien), encadrements (pour théorème des gendarmes et tout le tralala, et j'en passe... !

Donc je viens me livrer à toi pour que tu m'aide à lui faire la peau, à cette foutue limite !

Merci d'avance !



ps : il faut lire (racine cubique) de x et (racine cubique) de x + 19 (car ce n'est pas très lisible sur l'image)

Bonsoir!

Coriace celle là!

Alors, tu dois connaître la limite classique de sin(x)/x lorsque x tend vers 0. En effet, sin(x)/x=[Sin(x)-Sin(0)]/(x-0) qui tend vers Cos(0)=1 lorsque x tend vers 0 car il s'agit d'un taux d'accroissement.

Alors dans cette limite que nous avons sous les yeux, il s'agit de faire apparaître des taux d'accroissement. En fait, il y a un théorème dit "théorème de l'Hôpital" si je me souvient bien d'après nos amis marocain qui apprenne se théorème là ce qui n'a pas été mon cas vu que je redémontre le théorème à chauqe fois que je l'utilise et c'est ce que je vais te proposer ici.

Prenons, le numérateur: ³√x - 2

a) écrire 2 comme la racine cubique d'un nombre A.
b) Écrire un taux d'accroissance de la fonction racine cubique lorsque x tend vers A
c) Donner la limite de ce taux d'acroissement (on se rappelle que la racine cubique est en fait une puissance 1/3 comme la racine carré est une puissance 1/2 lorsqu'on va dérivée cette fonction; normalement se n'est pas au programme de terminale S ce genre de chose si mes souvenirs sont bons mais je ne m'étonne plus de tes questions ).


Reprendre la démarche en considérant cette fois la fonction x|---> ³√(x+19).

Bon courage!

Bon alors pour faire apparaître le taux d'accroissement je l'avais déjà fait au brouillon mais je n'avais pas réussi à conclure. Pour la dérivée de racine cubique de x, je l'avais trouvé tout seul aussi car je savais que la racine cubique est en fait une puissance 1/3 , et j'ai même réussi après à généraliser tout seul la dérivée d'une fonction racine-n-ième ^^

Donc je vais remarquer ce que j'avais fait au brouillon :

lim_{x --> 8} [(³√x - ³√8) / (x - 8)] = 1 / (3(³√8)²) = 1/12

lim_{x --> 8} [(³√(x+19) - ³√27) / (x - 8)] = 1 / (3(³√8+19)²) = 1/27 (ici j'avais posé f(x) = ³√(x+19), et f(8) = ³√27)

Et si je conclus, la limite finale que je cherchais c'est 27/12 soit 9/4 !! Merci beaucoup cuicui

Que dire de plus face à cette magnifique solution?

Excellent, Natty!

Merci ! Je viens de regarder cette page : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27H%C3%B4pital, sur le théorème de l'hôpital et c'est vraiment pas mal du tout ! Mais je me demande si on peut l'utiliser en interro. En fait le fait que la limite soit égale au quotient des dérivées on n'a pas besoin d'énoncer le théorème pour le faire (la preuve, je viens de le faire), par contre ils donnent des exemples de limites où ils dérivent plusieurs fois de suite le numérateur et le dénominateur pour trouver la limite ! là je ne vois pas comment faire sans énoncer le théorème

Je pense sincèrement que tu n'auras pas ce genre de d'exercice, il y a déjà assez à faire avec le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes) et autre limite de taux d'accroissement pour les premières dérivée (l'hôpital comme on vient de le faire par exemple mais c'est très rare déjà, le plus classique étant la limite simple du taux d'accroissement type sin(x)/x avec des exponentielle et des logarithme par exemple).

Donc ne t'inquiète pas, si tu ne vois pas ce théorème c'est qu'il n'est pas utile et par conséquent, on ne sort par la bombe atomique pour faire un trou dans un mur . Par contre pour ta culture c'est bien de savoir qu'il existe et il pourra te donner au brouillon des idées de limite avant de trouver la solution si dès fois tu bloques par exemple.

Donc ne t'en fait pas, il n'y a pas ce genre de piège et rien que cette limite là est hors programme car utilisant l'hôpital au degré 1 ainsi que la dérivation d'une racine cubique (doublement pas au programme presque). Même en prépas, tu ne vois pas ce théorème là mais par contre tu généralises a notion de puissance ce que tu as déjà fait donc. D'ailleurs, je serait curieux de savoir comment tu as défini la dérivée de la racine cubique de façon rigoureuse à moins que tu as considéré qu'il s'agissait d'une extension de ce qui était connu pour les puissances entières et par conséquent, tu n'as pas fait de démonstration via un taux d'accroissement par exemple.

Bon courage pour la suite en tout cas!

Oui en effet je n'ai pas fait de taux d'accroissement.
Et en dérivant une racine-quatrième et une racine-cinquième, et en les comparant avec la dérivée de la racine cubique, j'en ai déduit la formule générale de la dérivée d'une racine énième (sans faire de démonstration) :

f'(x) = 1 / [n*(ⁿ√x)^n-1)]

Bonsoir,

La formule que tu déduit de ton intuition est tout à fait juste. Garde en tête cette dérivée lorsque tu aborderas le logarithme népérien, on aura un moyen de la démontrer rigoureusement. Sans utiliser de taux d'accroissement mais seulement de la dérivation de fonction composée.

En tout cas ta démarche est intéressante, je ne peux que t'encourager à continuer mais attention à ne pas négliger la rigueur à côté car ça serait dommage de perdre en rigueur au profit de ton esprit d'initiative, il faut toujours essayer d'avancer avec des bases solides pour éviter les trous .

Bonne continuation!