Dm de maths 1ère S

Bonjour,
Voici l'exercice que j'ai à faire:
1.Dans le repère orthonormé (O,I,J), on donne les points A et B de coordonnées cartésiennes A(4;0) et B(0;4).
On considère le point E de coordonnées polaire (r; θ) et le point F tel que OEF est un triangle rectangle isocèle vérifiant:
(OE;OF)= π/2
Déterminer les coordonnées polaires du point F en fonction de r et θ.

-Le triangle isocèle est donc isocèle en O.
Je pense qu'il faut faire avec r=racine de (x_F²+y_F²)
cos θ = x_F/ r
sin θ = y_F / r
Mais je ne trouve pas la valeur.
Peut-être que les coordonnées de E sont le contraire des coordonnées de F, car ils sont situés de chaque côté de O et comme O est situé sur un axe...

2. On donne r=3 et θ= 5π/6. On appelle P, Q, R et S les milieux respectifs [AB], [BE], [EF] et [FA].
montrer que PQRS est un carré.

-Je pense qu'il faut dire que PQ=QR=RS=SP
Mais comment faire sans les valeurs du 1. ?

Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci

Bonjour et bienvenu parmi nous Pierrot!

J'ai légèrement modifié ton message pour qu'on s'y retrouve un peu mieux. Nous mettons les vecteurs en gras et après pour ce qui est des Thêta ou du Pi le copier coller marchera très bien pour la suite. Ceci mis à part passons à ton exercice.


Pour la question 1), ton raisonnement est loin d'être faux en fait. Mais le seul soucis réside dans le fait que tu exprime r et θ en fonction des coordonnées cartésienne de F ce qui te pose un problème pour conclure en effet.

Alors essayons de raisonner directement en coordonnées polaires et de voir ce qui va nous permettre de boucler cette question. Que savons-nous ?

Le triangle OEF est isocèle rectangle et (OE;OF)= π/2
Donc tu en conclus de façon judicieuse que OEF est isocèle rectangle en O.

Que peut-on dire alors des distance OE et OF?


Petit rappel sur les coordonnées polaire:

Citation :

Soit (O,i,j) un repère orthonormé,
Si E à pour coordonnées polaire (r;θ) cela signifie alors que OE=r et (i;OE)=θ

Le rappel et la question précédente vont probablement te donner la valeur de r_F en fonction de r. Il nous restera encore à déterminer la valeur de θ_F.

Pour cela quelle relation y a t'il entre (i;OF) et (i;OE)?

Rappel sur la relation de Chasles pour les angles orienté:

Citation :

Soit u, v et w trois vecteurs du plan,
La relation de Chasles sur les angles orientés nous donne par exemple: (u;w)=(u;v) + (v;w)

Ceci devrait pouvoir te faire déduire la valeur de θ_F en fonction de θ.


Et comme tu le fais si bien remarquer nous avons besoin de la question 1) pour continuer (en tout cas cela sera plus pratique). Donc voyons déjà cette première question et nous verrons la suivante par la suite.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas clair.

Bonjour,
j'ai quelques questions:

O a pour coordonnées (0;0) ?

Les points F et E sont situés de chaque côté d'un axe, mais lequel ?
J'étais parti sur ça, mais je vois que ce n'est pas ça.
J'en aurais déduis que (i;OE) est le contraire de (i; OF)
soit c'est xF= -xE
ou yF=-yE ça dépend de l'axe

Je trouve rF=r car O (0;0) donc les coordonnées du point F sont les coordonnées de OF

i est-il le rayon d'un cercle trigonométrique ?

Merci

Bonjour,

Ton raisonnement sur les coordonnées cartésiennes est justes mais pas pour tout les angles θ, prend par exemple θ=π/6 et tu verras que F et E ne sont pas symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ou l'axe des abscisses. Le seul soucis réside dans le fait que tu ne pourras pas les exprimer en fonction de r et θ.

Ce que j'appelle i c'est peut-être ce que tu notes OI et OI est un rayon du cercle trigonométrique en effet. En fait, lorsqu'on parle de repère (O;i,j), on définit:

- O comme étant l'origine du repère donc de cordonnées cartésiennes (0;0)
- i est le vecteur unité de l'axe des abscisses
- j est le vecteur unité de l'axe des ordonnées

Dans le repère polaire ce qui nous intéresse c'est:

- la distance d'un point M au centre du repère c'est à dire O car cela nous donne la première coordonnée polaire r_M. On a OM=r_M

- la mesure de l'angle orienté formé par i (le vecteur unité de l'axe des abscisse) et le vecteur OM car cela nous donnera le deuxième coordonnée polaire θ_M. On a: (i;OM)=θ_M à 2π près

Donc nous dans la première question ce qu'on cherche ce ne sont pas les coordonnées cartésiennes de F, (x_F;y_F) mais ce sont les coordonnées polaires de F que nous cherchons c'est à dire (r_F;θ_F).

D'après ce qu'on vient de dire nous cherchons donc:

- La distance OF
- La mesure de l'angle orienté (i;OF)


Alors ce que je viens de faire c'est l'analyse de la question c'est à dire savoir ce qu'on cherche exactement. Bon maintenant, nous avons des données dans l'énoncer:

- E a pour coordonnées polaire (r;θ) c'est à dire que OE=r et (i;OE)=θ

- OEF est rectangle isocèle et (OE;OF)=π/2 c'est à dire que OEF est rectangle isocèle en O ce qui signifie donc que OE=OF en particulier.


Vu que OF=OE et que OE=r et OF=r_F, on en déduit donc que r_F=r
Ici tu constates que je n'ai pas fait intervenir les cordonnées cartésiennes d'aucun des points définis.

Maintenant, il nous reste à calculer θ_F=(i;OF) sachant que nous n'avons pas encore utilisé le fait que θ=(i;OE) et (OE;OF)=π/2

Et pour cela, je te proposais dans mon dernier message d'utiliser la relation de Chasles pour les angles orientés.

Bon courage et n'hésite pas si quelque chose n'est pas clair dans ce que je dis, je peux toujours utiliser d'autre moyen pour expliquer ce qui se passe concrètement.

Bonjour,
je crois que j'ai compris.

(OE;OF)=(FE;FO)+(EF;EO)

comme OEF isocèle en O alors (FE;FO)=(EF;EO)

d'après la somme des angles d'un triangle

π/2 = (FE;FO) + (EF;FO)

(FE;FO) = (π/2)/2 = π/4

F(r;π/4)

merci

Bonjour,

Ton calcul est juste et très bien fait. Le seul bémol c'est qu'il ne s'agit pas du bon angle que tu calcules.

En effet, on te dis de déterminer les coordonnées polaire de F en fonction de r et θ. Cela devrait te mettre la puce à l'oreille que ton calcul n'est pas le bon car pour le moment nous ne voyons pas apparaître le θ.

Alors comment le faire apparaître?

Si je reprend tes notation, θ_F= (OI;OF) (j'avais posé OI=i mais j'ai l'impression que cela te perturbe donc je revient à la notation que tu utilise actuellement à première vue sachant que tu utiliseras l'autre d'ici quelque temps).

Et avec ta notation, nous savons que θ=(OI;OE)

Donc ce que nous cherchons à calculer c'est θ_F en fonction de θ. Ce qui signifie qu'il nous faut exprimer (OI;OF) en fonction de (OI;OE) sachant que l'exercice nous donne (OE;OF)=π/2.

Je pense que cela sera peut-être plus clair avec mes excuses d'avoir voulu mettre une notation qui ne t'était peut-être pas habituelle mais il ne faut pas hésiter à le dire si c'est le cas, je ne suis pas infaillible mais j'essaie toujours de m'adapter .

Bon courage pour terminer cette première question et on passera à la question suivante juste après!

alors:
(Ox;OI)=π
(OE;OF)=π/2
(FE;FO)=(θ-π/2) / 2
C'est sa ?

Nous ne cherchons pas (FE;FO) en fait. Cette angle là n'est pas égale à θ_F et nous ce qui nous intéresse c'est de calculer θ_F.

D'après la définition des coordonnées polaires, nous savons que la mesure de l'angle θ_F est égale à celle de (OI;OF).

C'est à dire que nous cherchons à calculer θ_F=(OI;OF) en fonction de θ=(OI;OE).

Pour cela, je te donne une piste, il faut exprimer notre angle (OI;OF) en fonction de (OI;OE) et (OE;OF).

Est-ce que tu comprends ton erreur ?

Ah ! ça y est
([/b]OI;OF[b])=θ-π/2
grâce au dessin et à vous ! ^^

C'est presque ça en effet, il reste une erreur de signe.

En effet, (OI;OF)=(OI;OE) + (OE;OF) (d'après la relation de Chasle)

Or (OI;OE)=θ et (OE;OF)=π/2

Donc θ_F=(OI;OF)=θ+π/2

Attention au effet trompeur du dessin dans ce genre de question car il suffit que sans faire exprès tu positionnes ton point E avec un angle particulier et le dessin pourrait te faire croire bien des choses fausses. Donc un dessin ça s'utilise avecm odération lorsque les angle ne sont pas fixés .

Par contre pour la question 2), là nous allonsp ouvoir faire un dessin qui va pouvoir nous donner des idées si nous n'en avons pas vu que r et θ sont fixés, il ne reste plus u'à placer tous les point sur une figure poru voir ce que cela donne déjà. Et constater par soi-même que PQRS est sensiblemetn un carré sur le dessin (sensiblement car un dessin n'est pas forcméent exact lorsqu'on le fait ).

Dans un premier temps ce qu'il va nous falloir ce sont les coordonnées cartésiennes de tous les points placés sur la figure.

Nous avons plusieurs façon de montrer qu'une figure est un carré, une façon classique serait de montrer que c'est un parallèlogramme ayant deux coté consécutif égaux et ayant un angle droit. Mais nous pouvons aussi dire qu'un carré a ses deux diagonale de mêem longueur et qui se coupent en leur milieu de façon perpendiculaire.

D'accord, les coordonnées de F sont donc (r;θ+π/2)
on donne r=3 et θ=5π/6
F(3;5π/6+π/2)
F(3;4π/3)
Je fais le dessin et je vous tien au courant !
Encore merci

Pas de soucis.

Pour le moment pour montrer qu'il s'agit bien d'un carré, il y a plusieurs méthodes. Je te laisse donc entamer les calculs avec la méthode que tu souhaites et nous verrons àl'usage qu'elle est la mieux adaptée pour toi par rapport à l'exercice.

Bon courage!

C'est bizarre, je sais que les dessins ne sont pas très justes, mais là je trouve PQRS est un parallélogramme.
J'ai converti les coordonnées polaires de F, j'ai trouvé F(-3/2;-3racine de3/2)
et j'ai tracé le triangle OEF avec angle EOF=90° et OF=OE.

Tes coordonnées cartésiennes sont bonne pour F et je suppose que pour E aussi.

Pour ce qui est du dessin et bien nous allons voir si la théorie contredit ce que tu peux voir dessus pour le moment (une erreur de tracé est si vite arrivé).

Je te rappelle que pour calculer les coordonnées cartésiennes du milieu I(x_I;y_I) de deux point M(x_M;y_M) et N(x_N;y_N) il faut s'y prendre ainsi:

x_I=(x_M+x_N)/2
y_I=(y_M+y_N)/2

Il s'agit de la moyenne des coordonnées cartésiennes tout simplement. Tu vas donc pouvoir calculer les coordonnées cartésiennes des points P,Q,R et S.

Je te propose une méthode pour montrer qu'il s'agit bien d'un carré:

- Montrer que PQRS est un parallèlogramme (sachant qu'un parallèlogramme est un quadrilatère dont les diagonale se coupent en leur milieu par exemple)
- Puis, montrer que les diagonale sont de même longueur ce qui montrera que PQRS est un rectangle (c'est à dire qu'on a PR=QS sahcant qu'il s'agit de mesure positive, il suffit de montrer que PR²=QS²)
- Enfin, montrer que deux côtés consécutifs sont égaux (car un rectangle avec deux côtés consécutifs égaux esst un carré)

Et nous aurons ainsi terminer cette exercice. Commençons déjà par calculer les coordonnées cartésiennes des points P, Q, R et S.

Bon courage et n'hésite pas si le raisnnement que je propose ne te convient pas ou si quelque chose n'est pas claire.

Bonjour,
voilà, avec E((-3racinede3)/2 ; 3/2)
et F(-3/2;(-3racinede3)/2)

P=milieu de AB : (2;2)
Q=milieu de BE : ((-3racinede3)/4 ; 11/4)
R=milieu de EF : ((-3racinede3 - 3)/4; (-3racinede3 - 3)/4)
S=milieu de FA : (5/4; (-3racinede3)/4

Maintenant je vais calculer le milieu des diagonales PR et QS.
Si elles sont le même milieu alors elles se coupent en ce milieu.
Donc PQRS est un parallèlogramme.

Il y a un petit problème, je trouve
milieu de PR=((-3racinede3 - 5)/8; (-3racinede3 - 5)/8)
milieu de QS=((-3racinede3+5)/8; (-3racinede3 + 11)/8)
Je me suis trompé dans les coordonnées ?

Il y a une légère erreur dans tes coordonnées de base ce qui engendre des problème par la suite en effet:

Citation :

R=milieu de EF : ((-3racinede3 - 3)/4; (-3racinede3 - 3)/4)

Tu t'es trompé au niveau de l'ordonnée de E. En effet, Sin(5π/6)=1/2 (5π/6 se situe dans le deuxième cadran de ton cercle trigonométrique et par conséquent les sinus sont positifs).

Donc E(-3√3/2;3/2).

Le reste étant bon, ton calcul des milieux devrait te donner quelque chose de plus cohérent. Un petit conseil pour calculer les sinus et les cosinus, n'hésite pas à tracer sur une feuille de brouillon le cercle trigonométrique pour savoir si ton calcul est cohérent que ce soit au niveau de la valeur ou du signe.

Bon courage!

J'ai encore un problème, j'ai toujours ce 11/4 des coordonnées de Q.
Qui me fait fausser le milieu de QS.
Q=milieu de BE : ((0-(3√3)/2)/2 ; (4+3/2) / 2)
((-3√3)/4 ; 11/4)
Et je ne vois pas où est l'erreur !

Sauf erreur le 11/4 est tout à fait juste pour moi. La seule erreur de calcul venait de l'erreur de signe dans le calcul de l'ordonnée de R.

Il y a toujours un problème pour le calcul des milieux de PR et de QS ?

Pour montrer PQ=RS je peux aussi calculer PQ et RS, comme ça je peux dire que ce sont des vecteurs de même longueurs ?

Oui, je trouve milieu de PR ((-3√3 - 5)/8 ; (-3√3 + 5)/8)
milieu de QS ((-3√3 + 5)/8 ; (-3√3 + 11)/8)

Attention, l'erreur est ici:

Citation :

PR ((-3√3 - 5)/8 ; (-3√3 + 5)/8)

P(2;2) et R([-3√3-3]/4;[-3√3+3]/4)

Donc pour l'ordonnées du mileu de PR, on a: (2 + [-3√3+3]/4)/2 et de même pour l'abscisse du milieu de PR (attention au signe), on a: (2 + [-3√3-3]/4)/2

L'erreur de signe dans l'ordonnée de R n'entrainait pas qu'une erreur de signe dans l'ordonnée de PR, il y avait un changement dans le calcul lui même comme tu vas le constater en refaisant le calcul. Fais attention au raccourcie rapide de ce genre là, prendre 1minute pour refaire un calcul peut permettre de gagner 1 voire 2 points et sur la totalité c'est non négligeable .

Bon courage!

OK ! c'est bon j'ai rectifié
PR et QS se coupent donc en un même point de coordonnées ((-3√3 +5) / 8 ; (-3√3 +11) / 8)
Sinon pour montrer que les diagonales sont de même longueur, je ne comprend pas PR² = QS².

Ok alors je reprend.

Pour calcul les longueurs des deux diagonales, tu aurais essayer de montrer que PR=QS de façon classique en trainant la racine carrée du début à la fin du calcul. C'est tout à fait faisable comme cela mais je te donnais un moyen de gagner du temps.

En effet, la propriété est la suivante:

Citation :

Soient deux réelles A et B non nul.

(A²=B² et A et B sont de même signe) => A=B

Se la vient du fait que √(A²) = + ou - A.

Donc ici, je dis que si nous montrer que PR²=QS² sachant que PR et QS sont positives (car des longueurs) alors on aura montrer que PR=QS. Quel est l'intérêt? Et bien c'est déviter d'écrire PR=√( .....) =√(....)= √(....) durant plusieurs lignes tout simplement car on écrit PR²=....=..... sans la racine carré du coup.

Après si cette astuce de calcul ne te plait pas, je ne t'oblige pas à l'utiliser non plus loin de là. Certain préfère faire les calculs directement avec la racine carrée et c'est tout à fait juste aussi.

A oui, pas mal du tout !
J'essaie de le faire.
Merci