plan épargne logement

merrrrde je voulais mettre exposant 3!

C'est tout à fait ça !!!

Alors maintenant retour à notre exercice .

La somme de départ n'est pas 3€ mais S€ et nous ne voulons pas la 3ème annéem ais la n^ième année.

Qu'est-ce que celà nous donne?

SEUROS*(1,035)^nombre d année???

Nickel !!

Alors dans une formule mathématique, on met les unité à la fin et dans notre exercice le nombre d'année c'est n pour cette première question.

Ce qui nous donne donc un capital de S*(1,035)ⁿ € pour la n^ième année.

On peut par exemple montrer cette formule par récurrence si tu veux vraiment écrire quelque chose de nickel mais déjà avoir la formule est nue très bonne chose si on la trouve en mettant les calcul de la 1ère et 2ème année pour montrer qu'on a compris comment elle se trouve cette formule.

Maintenant la question 2)a) est sur le même principe que la question 1), je te laisse relire la méthode et adapter ce qu'on a trouvée mais attention, nous voulons seulement le calcul des intérêts cette fois-ci et non pas le capital total.

Bon courage!

5*(1,025)^n

???

non( 1,025 *5) puissance n

Alors c'est ni le premier ni le deuxième message.

D'ailleurs en passant, il y a une erreur dans ton énoncer ou de lecture (je ne sais pas) car ce n'est pas 5 mais S (soyons logique si c'était S à la première question, ça sera S ici aussi).

Donc ton deuxième message est presque juste en fait mais il y a une erreur simple. Fait une vérification pour 2 an par exemple c'est à dire n=2, tu te retrouverait avec:

S²*(0,025)²

Or je me demande bien comment tu pourrais mettre au carré ton capitale de départ cela serait fabuleux pour l'épargnant mais très coûteux pour la banque ;.

Sn*(0,025)^n

Alors il n'y a pas de multiplication par n.

En effet, pour la première année les intérêt sont de S*(0,025) puis pour la deuxième année ils sont de [S*(0,025)]*(0,025)=S*(0,025)²

On a bien pour la n^ième année, un intérêt égale à S*(0,025)ⁿ

Est-ce que tu comprend comment faut raisonner pour trouver les formule à chaque fois?

Après pour le démontrer c'est par récurrence si on veut vraiment être propre au niveau de la rédaction.

Pour la question 2)b) il s'agit de trouver la somme total sur ton compte au bout de n année lorsqu'on prend le taux à 2,5% à intérêt composé. Qu'est-ce que cela va donner ?

S*(1,025)n

Bonsoir,

Alors ce que tu donnes c'est le capital initial + les intérêt et c'est tout àfait juste. Mais maintenant, il faut aussi ajouter la prime d'état qui est:

Citation :

la prime d etat égle à 2/5 eme des interets calculé à 2,5% pour les PEL ouvert à compter du premier aout 2005

Ce qui nous donne au final ?

S*(1,025)n + 1,025*S*(1,025)n

Alors je vais te faire mes plus plates excuses mais je me suis planté dans mon raisonnement (ça arrive à tout le monde la preuve).

En effet pour la question 2)a) pour calculer les intérêts je suis aller beaucoup trop vite sur le sujet.

En effet, la formule nous donne pas les intérêts totale car le capitale sur le compte ne reste pas constamment S mais il change chaque année et nous n'avons pas pris en compte cela dans notre formule vu qu'on écrit S*(0,025)ⁿ c'est à dire qu'on prend les intérêt de chaque année à partir des intérêts des année précédente et non pas du capitale des année précédente et c'est là que j'ai fait une erreur.

Alors je vais rédiger cette question pour me faire pardonner.


La première année nous allons avoir S*(0,025) € d'intérêt vu que nous avions ne banque S €. Donc notre capitale en banque est de S*(1,025)€

La deuxième année, nous allons avoir des intérêt sur le capitale en banque c'est à dire S*(1,025). Cela nous donne donc comme intérêt pour la 2ème année:

[S*(1,025)]*(0,025)= S*(1,025)² - S*(1,025)

S(1,025)² c'est le capitale total qu'il y aurait en 2ème année sur le plan. Mais nous ne voulons que les intérêts nous, il faut donc enlever le capitale que nous avions en première année c'est à dire S*(1,025).


Donc pour avoir les intérêts à la n^ième année, il suffit d'avoir le capitale en banque à la n^ième année auquel on soustrait le capitale qu'on avait en banque l'année précédente. On arrive donc à ceci:

S*(1,025)ⁿ - S*(1,025)^n-1 pour n supérieur ou égale à 1.

Ceci répond donc à la question 2)a).

Est-ce que jusque là tu me suis? Je suis vraiment désolé de mon erreur et j'espère que ça sera plus clair ainsi rédigé.

S*(1,025)ⁿ - S*(1,025)^n-1+ 1,025*S*(1,025)ⁿ - S*(1,025)^n-1???

Alors on sait que ce qu'il y a sur le compte pour un plan à 2,5% c'est la capital de départ + les intérêts + la prime d'état:

On sait déjà que le capital de départ + les intérêts celà donne: S*(1,025)ⁿ pour la n^ième année (c'est le même principe que pour la question 1 sauf que le taux est à 2,5% au lieu de 3,5%)

Maintenant la prime d'état on nous dit quoi dessus:

Citation :

la prime d etat égle à 2/5 eme des interets calculé à 2,5% pour les PEL ouvert à compter du premier aout 2005

C'est à dire qu'on a donc (2/5)*(les intérêts)

Or les intérêts on les calcule justement en 2)a) (si on se trompe pas ).

Conclusion à la n^ième année on a sur le plan: S*(1,025)ⁿ + (2/5)*(les intérêts)

Cela nous donne donc ?

S*(1,025)ⁿ + (2/5)*(S*(1,025)ⁿ - S*(1,025)^n-1)

Alors si j'ai bien compris l'énoncé ça serait bien ça en effet!

Est-ce qe tu pourrais ré-écrire les suite Un et Vn de la question 3) ainsi que la question 3)a) qui n'a pas l'air d'être écrite car je fini par avoir des doute sur ce qu'on fait à force.

Merci d'avance et bon courage!

Je ne vous ai pas encore remercié....Merci beaucoup Monsieur l 'oiseau 3)Soit la suite de terme général Un=1,O35ⁿ et la suite de terme général Vn=1,025ⁿ



+ 2/5 (1,025ⁿ -1)
B.La dernièere phrase en caractère minuscules de la publicité est elle correcte???Justifer




B-L EXEMPLE DE JEAN

Jean a ouvert le 1er Janvier 2004 un PEL en déposant 300 euros;de plus, il versera chaque 31 décembre 700 euros.On cherche à chiffrer la somme en euros Cn disponible au 1 er Janvier à l issue d une phase d epargne de n annees.On posera C₀=300.



1a.Expliquer l egalité C_n+1=1,035 C_n+700.
b.La suite (C_n) est elle arithmétique ou géometrique?
2.Soit la suite (G_n) définie pas G_n =C_n+20 000.
A.Calculer G₀.
B.demontrer que (G_n) est une suite geometrique.
c.Exprimer G_n en fonction de n
d. en déduire C_n en fonction de n.

3.En utilisant l'expression de C_n trouvée au 2)d), afficher sur l'écran de la calculatrice la table des valeurs de C_n, selons les valeurs de n.


Ps: Avez vous vu???J ai enfin mis les exposants .Miracle!!

Bonsoir et bonne année 2009 à toi! Réussite et santé surtout !

Je vais reprendre la rédaction de cette exercice car j'avoue que la fin de l'année 2008 manquait de rigueur sur cette exercice vu que nous avions pris des exemple entre temps avec de revenir à notre exercice et je me suis un peu perdu dans ma rédaction. Alors je vais re-rédiger la première partie vu que nous l'avons déjà travaillé ensemble et que normalement tout était compris mais je préfère faire un point avant de continuer ça sera plus sage je pense.

Citation :

VERSEMENT ET DUREE DE L'ÉPARGNE:

-le versement initial est de 225€ minimum
-le versement périodique doivent être d'un montant annuel d'au moins 540€.
-le plafond de dépôts est de 61200€.
-la durée minimale de l'épargne est de 4 ans


REMUNERATION DU PEL:

-la rémunération de PEL est constituée d'intérêts bancaires et d'une prime d'état plafonnée à 1525€.
-les sommes déposées rapportent prime incluse, des intérêts annuels à 3,5% pour les plans souscrits depuis le 1 août 2003.

Intérêt rapportés par l'épargne:

- les intérêts sont exonérés de l'impôt sur le revenu
- ils sont capitalisables c'est à dire qu'au 31 décembre de chaque année , ils viennent s'ajouter au capital épargne et deviennent producteurs d'intérêt supplémentaire.


* le taux de rémunération de PEL à 3,50 % inclut la prime d'état égal à 2/5 ème des intérêts calculé à 2,5% pour les PEL ouvert à compter du premier août 2005


A-verification

1) Soit S une somme placée à 3,5 %* à intérêts composés. Quel est en fonction de S, le capital acquis au bout de n années?

2) On suppose maintenant que cette somme S est placée à 2,5% à intérêts composés.
a) Quels sont, en fonctions de S, les intérêts produits au bout de n années??
b) Exprimer en fonction de n et de S, la somme totale (capitale initial, intérêts et prime d'état) obtenue au bout de n années.

3) Soit la suite de terme général U_n=1,035ⁿ et la suite de terme général V_n=1,025ⁿ + (2/5)*(1,025ⁿ -1)

B.La dernière phrase en caractère minuscules de la publicité est elle correcte???Justifer

A)1)

J'ai un capital de départ de S euros sur mon plan. Il y aura donc au bout d'une année, des intérêts de S*(0,035) euros en plus de la somme initiale c'est à dire S+S*(0,035) euros.

Donc au bout de une année, j'aurai sur mon compte S*(1,035) euros.

Au bout de 2 année, j'aurai sur mon compte S*(1,035) + S*(1,035)*(0,035)= S*(1,035)² euros

Au bout de 3 année, j'aurai sur mon compte S*(1,035)² + S*(1,035)²*(0,035)= S*(1,035)³ euros.

On peut donc supposer qu'au bout de n années, j'aurai un capital de S*(1,035)ⁿ euros sur mon compte.

Par récurrence, on démontre que notre hypothèse est vérifier.

En effet, S*(1,035)⁰=S donc a propriété est vrai pour n=0 et de même elle est vrai pour n=1 d'après ce que nous avons fait juste avant.

Si on suppose qu'elle est vraie pour (n-1) année, on a donc un capital de S*(1,035)^n-1 euros sur notre compte. Pour savoir mon capital au bout de la n^ème année, il faut ajouter à ce qu'on avait à l'année (n-1) les intérêts c'est à dire [S*(1,035)^n-1]*(0,035).

Donc au bout de n années, j'aurai sur mon compte [S*(1,035)^n-1]*[1+0,035]=S*(1,035)ⁿ euros.

Donc la propriété étant vraie pour n=0 et n=1 et étant héréditaire elle est donc vraie pour tout entier n. Donc au bout de n années, j'aurai sur mon plan d'épargne logement à 3,5%, un capital de S*(1,035)ⁿ euros


2)a)
En utilisant les mêmes observations que dans la question 1) mais ne remplaçant 3,5% par 2,5%, nous constatons qu'il y aura au bout de n année, un capital de S*(1,025)ⁿ euros. Nous avons eu un intérêt de S*(1,025)ⁿ-S*(1,025)^n-1 euros pour l'année n.

Mais nous cherchons en fait l'intérêt global au bout de n année.

Sachant que notre dépôt initiale est de S euros, nous aurons donc fait un intérêt global de "ce que nous avons sur notre compte à l'année n - ce que nous avions initialement sur notre compte".

Conclusion, les intérêts cumulés depuis le dépôt de S euros jusqu'à la n^ème année sera de S*(1,025)ⁿ - S euros

b)
Nous savons qu'au bout de n année sans compte la prime d'état nous aurions S*(1,025)ⁿ euros.
Or la prime d'état est égale au 2/5 ème des intérêts acquis jusqu'à l'année n.
Donc d'après la question 2)a), la prime d'état est égale à (2/5)*[S*(1,025)ⁿ-S]

Conclusion, la somme totale au bout de n années est égale à S*(1,025)ⁿ + (2/5)*[S*(1,025)ⁿ-S] euros.


Maintenant, tu constates (bizarrement) que S*U_n n'est autre que le capitale acquis au bout de n année avec un plan d'épargne logement rémunéré à 3,5%. Et que S*V_n est égale à la somme total sur un plan d'épargne logement rémunéré à 2,5% en comptant la prime d'état.


Est-ce que jusqu'ici tout te semble compris? Il restait encore une légère erreur dans la question 2)a) car on ne considérait pas les intérêt total mais seulement les intérêts acquis par année.


Maintenant, pour la dernière question de la partie A), la phrase en minuscule sur la publicité c'est laquelle?

ps: c'est super pour les exposant car ça m'évitera de le faire . Comme quoi tout arrive à qui sait patienter en fait .

le taux de rémunération de PEL à 3,50 % inclut la prime d'etat égale à 2/5 ème des intérêts calculé à 2,5% pour les PEL ouvert à compter du premier août 2005

Bonsoir,

Je vais m'excuser mais je ne comprend pas cette question ou plutôt cette phrase en tout cas. Toute la première partie nous donne les expressions de S*U_n et de S*V_n. (De plus, pourquoi cette question est un b) alors qu'il n'y a pas de a) dans la question 3), les mystère de certain exercice de maths comme qui dirait.)

Il faut donc forcément utiliser U_n et V_n pour répondre à cette question mais pour moi après plusieurs calcul je dirai que la publicité est fausse (et ça me semble plutôt bizarre mais bon on ne sait jamais).

En effet, pour moi la phrase:

Citation :

le taux de rémunération de PEL à 3,50 % inclut la prime d'etat égale à 2/5 ème des intérêts calculé à 2,5% pour les PEL ouvert à compter du premier août 2005

Signifierait que U_n (le taux de rémunération du PEL à 3,5%) =V_n

On a pour n=0, U₀=(1,035)⁰=1 et V₀) (1,025)⁰ + (2/5)*[(1,025)⁰-1]= 1 + (2/5)*(1-1)=1
Donc U₀=V₀

De plus pour n=1, U₁=1,035 et V₁= 1,025 + (2/5)*(1,025-1)= 1,025 + (2/5)*(0,025)= 1,025 + 0,010 = 1,035
Donc U₁=V₁

Mais U₂= (1,035)²=1.071225 et V₂= (1.025)² + (2/5)*[(1.025)²-1]=1.0709
Donc U₂ est différent de V₂

Donc la publicité serait mensongère mais j'avoue ne pas être du tout sur de cette réponse là pour le coup car la phrase me paraît pas clair. Je suis désolé mais j'avoue que pour le coup c'est la première question que je ne sais pas vraiment traîter sur le forum.


Passons donc au grand B)

Citation :

B-L EXEMPLE DE JEAN

Jean a ouvert le 1er Janvier 2004 un PEL en déposant 300 euros;de plus, il versera chaque 31 décembre 700 euros.On cherche à chiffrer la somme en euros Cn disponible au 1 er Janvier à l issue d une phase d epargne de n annees.On posera C₀=300.


1)
a. Expliquer l egalité C_n+1=1,035*C_n+700.
b. La suite (C_n) est elle arithmétique ou géometrique?

2) Soit la suite (G_n) définie pas G_n =C_n+20 000.
a. Calculer G₀.
b. demontrer que (G_n) est une suite geometrique.
c. Exprimer G_n en fonction de n
d. En déduire C_n en fonction de n.

3) En utilisant l'expression de C_n trouvée au 2)d), afficher sur l'écran de la calculatrice la table des valeurs de C_n, selons les valeurs de n.

Alors dans l'énoncer on nous dit que chaque 31 décembre, Jean verse 700€ sur son plan d'épargne logement. Vu qu'il les met le 31 décembre, ils ne rentre pas en compte dans le calcul des intérêts par rapport au capital sur le compte l'année précédente.

Donc la première année, il va avoir des intérêts sur les 300€ qu'il a placé et on va ajouter à ceci les 700€. On va donc avoir sur notre compte:
C₁=300*1,035 +700 (sachant que les 300€ représente en fait C₀, on a en fait C₁=C₀*1,035 +700 )

Et ainsi de suite, est-ce que tu comprends le raisonnement?

Donc pour la première question, il s'agit de faire un raisonnement par récurrence, on initial à n=0 et à n=1 (n=1 n'est pas obligatoire mais au moins on montre bien qu'on a compris l'enchaînement des idées). Et ensuite, il faut rédiger le caractère héréditaire de notre propriété.

Bon courage et n'hésite pas à poser des questions si quelque chose n'est pas clair!

Bonjour,

Est-ce que tu t'en sors pour la récurrence?

Pour la question suivante, il faut se rappeler de la définition d'une suite arithmétique et d'une suite géométrique:

- Une suite arithmétique est une suite dont la différence entre deux termes consécutif est constant (c'est à dire ne dépend pas de n)

- Une suite géométrique est une suite dans le quotient de deux termes consécutifs est constant


La question 2) est un classique au niveau du raisonnement sur les suites, donc si quelque chose te bloque n'hésite pas car il faut vraiment savoir faire cela à la fin de cette année tout du moins.

Bon courage pour la suite!

bonsoir!!désolée pour l abscence je ne sais pas quel raisonement je dois adopter pour la question...

Bonsoir,

De quelle question parles-tu ?

on en est à la trois a ?? non?