Impressionnant! En fait, chaque question de la seconde partie est un élément permettant de répondre à la dernière question. Je comprends mieux maintenant ^^.
Je reprends donc ton raisonnement pour la question 5. :
1. Je pose AB = a
- Citation :
- Une droite est perpendiculaire à un plan si elle est perpendiculaire à deux sécantes de ce plan.
Je vais employer ici la relation de Chasles.
Je vais considérer le vecteur
AG pour la droite (AG) et les vecteurs
BD et
EB pour le plan (EBD).
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :
AG.
BD = (
AB+
BC +
CG) . (
BA+
AD)
=
AB.
BA +
AB.
AD +
BC.
BA +
BC.
AD +
CG.
BA +
BA.
AD = -AB² +
AB.
BC + 0 +
BC.
AD +
CG.
GH +
BA.
AD= -a² + 0 + 0 +
BC.
AD + 0 + 0 = -a² + AB² = -a² + a² = 0
Donc,
AG et
BD sont orthogonaux.
AG.
EB = (
AB+
BC +
CG) . (
EA +
AB)
=
AB.
EA +
AB.
AB +
BC.
EA +
BC.
AB +
CG.
EA +
CG.
AB= 0 + a² + 0 + 0 -AB² +
CG.
HG = a² -a² + 0 = 0
Donc,
AG et
EB sont orthogonaux.
Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).
--> Je réitère cette méthode pour démontrer que (AG) est également perpendiculaire au plan (HFC) :
Je vais considérer le vecteur
AG pour la droite (AG) et les vecteurs
HF et
FC pour le plan (HFC)
Je calcule maintenant les produit scalaires suivants :
AG.HF = (
AB+
BC +
CG) . (HG.GF)
= AB.HG + AB.GF + BC.HG + BC.GF + CG.HG + CG.GF
= AB.AB + 0 + 0 + BC.CB + 0 + 0
= a² -a² = 0
Donc,
AG et
HF sont orthogonaux.
AG.FC = (
AB+
BC +
CG) . (FG + GC)
= AB.FG + AB.GC + BC.FG + BC.GC + CG.FG + CG.GC
= 0 + 0 + BC.BC + 0 + 0 -AB² = AB² - AB² = a² - a² = 0
Donc,
AG et
FC sont orthogonaux.
Donc, selon la définition, (AG) est perpendiculaire au plan (EBD).
--> Au final, (AG) est perpendiculaire aux plans (EDB) et (HFC).
2. Je vais définir un vecteur normal au plan (EDB) que je vais nommer
n(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (EBD) signifie qu'on a:
{
n.
EB=0
{
n.
ED=0
{
n.
BD=0
Je vais d'abord calculer les coordonnées de
EB,
ED,
BD :
avec:
E(0;0;1) ; B(1;0;0) ; D(0;1;0) donc :
EB(1;0;-1) ,
ED(0;1;-1) ,
BD(-1;1;0) ce qui donne :
{(x*1) + (y*0) + (-1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(-1*x) + (1*y) + (0*z) = 0
DONC :
x -z = 0
y -z =0
-x + y = 0
x = z d'après la première équation
y = z d'après a seconde équation
DONC : x = y = z
Je prends donc n(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) :
n.
BM = 1 * (x
M-x
B) + 1 * (y
M-y
B) + 1 * (z
M-z
B) = 0
<=> (x -1) + (y -0) + (z -0) = 0
Donc l'équation de (EBD) est x+y+z=1.
Je fais de même pour l'équation de (HFC) :
Je vais définir un vecteur normal au plan (HFC) que je vais nommer
n'(x;y;z). Et le fait qu'il soit normal au plan (HFC) signifie qu'on a:
{
n'.
HF=0
{
n'.
FC=0
{
n'.
HC=0
Je vais d'abord calculer les coordonnées de
HF,
FC,
HC :
avec:
H(0;1;1) ; F(1;0;1) ; C(1;1;0) donc :
HF(1;-1;0) ,
FC(0;1;-1) ,
HC(1;0;-1) ce qui donne :
{(x*0) + (y*1) + (1 *z) = 0
{(x*0) + (y*1) + (-1 *z) = 0
{(1*x) + (0*y) + (-1*z) = 0
DONC :
y + z = 0
y -z =0
x - z= 0
y = z d'après la première équation.
y = z d'après la seconde équation.
x = z d'après la dernière équation.
DONC : x = y = z
Je prends donc n'(1;1;1) et j'introduis le point M(x;y;z) appartenant à (HFC) :
n.
FM = 1 * (x
M-x
F) + 1 * (y
M-y
F) + 1 * (z
M-z
F) = 0
<=> (x -1) + (y -0) + (z -1) = 0
Donc l'équation de (EBD) est x+y+z = 2.
3. On sait que n(1;1;1) et n'(1;1;1) donc ils sont égaux donc les normales respectifs aux deux plans sont égales donc:
Ils sont parallèles.
4. Tous les points ont le même poids.
Soit I l'isobarycentre :
x
I = [x
E + x
D + x
B]/[3] = 1/3
y
I = [y
E + y
D + y
B]/3 = 1/3
z
I = [z
E + z
D + z
B] = 1/3
Donc I(1/3;1/3;1/3)
Pour prouver qu'un point appartient à une droite :
--> I appartient à (AG) c'est dire que A, I et G sont alignés par exemple.
Je vais prouver que A, I et G sont alignés en prouvant que
AI et
AG :
AI(1/3;1/3;1/3)
AG(1-(1/3);1-(1/3);1-(1/3)) -->
AG(2/3;2/3;2/3)
Donc :
(1/3)(2/3) - (1/3)(2/3) = 2/6 - 2/6 = 0
(1/3)(2/3) - (1/3)(2/3) = 2/6 - 2/6 = 0
Donc
AG et
AI sont colinéaires donc :
A, I et G sont alignés donc I appartient à la droite (AG).
On s'aperçoit de plus que 2 *
AI =
AG donc :
AI =
AG/2
Donc I est le milieu du segment [AG].
5. On sait que
AI(1/3;1/3;1/3) et
n(1;1;1)
Donc : (1/3)
n =
AI DONC :
AI est colinéaire à
nOr
n est un vecteur orthogonal à (EBD)
Donc (AI) est orthogonale à (EBD)
Or I appartient à (AG)
Donc (AG) est perpendiculaire à (EBD)
Or on sait que (AG) est sécante avec (CHF) vu que l'isobarycentre de C, H et F appartient à (CHF) et à (AG).
De plus, (CHF) // (EBD)
Donc (AG) est perpendiculaire à (CHF)
Conclusion, (AG) est perpendiculaire aux plan (EBD) et (CHF)
Sam 23 Mai - 0:16
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