Reperage dans l'espace

Bonjour,

Dans cet exercice la figure n'est pas demandée
L’espace est rapporté au repère (O; i, j, k). Les points A, B, C et D ont pour coordonnées:
A( -1, 0, 2) B(3, 2 , -4 ) C( 1, -4, 2 ) D(5, -2, 4)
On considère les points I, J et K où I est le milieu du segment [CD] et BJ = (¼)*BC

1. Déterminer les coordonnées de I, J et K
2. Montrer que I, J et K ne sont pas alignés
3. On considère le point L défini par AL=(1/4)*AD
Déterminer les coordonnées du point L
4.Montrer que les points I, J, K et L sont coplanaires. En déduire l’intersection du plan (IJK) et de la droite (AL)

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1.J'ai trouvé I(1;1;-1) K(3; -3; 3) et je n'ai pas trouvé pour J
2.Est-ce qu'il faut prouver qu'ils ne sont pas colinéaires?
3.Je ne sais pas comment faire
4.Comment puis-je déduire l'intersection et montrer que les points sont coplanaires?

Je vous remercie par avance toute personne qui pourra de m'aider.

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

J'ai un petit soucis car dans ton énoncer, tu met que le point I est le milieu de [CD] alors que je pense que c'est plutôt le point K d'après ta réponse. Et du coup, je n'aurai rien sur I mais je pense que I doit être le milieu de [AB] d'après ta réponse.

Sinon, pour les coordonnées de J, il faut se souvenir que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même coordonnées.

Donc que vauletn les coordonnées de BJ et de (1/4)*BC si je pose J(x;y;z) ?

Pour la question 2), il faut en effet se souvenir que deux vecteurs sont colinéaire si et seulement les points les composant sont alignés. Donc si les points ne sont pas alignés cela entraîne bien que les vecteurs ne sont pas colinéaire.

Pourl a question 3), c'est le même principe que pour calculer les coordonnées de J en fait, donc nous y reviendront lorsque nous passerons la 1).

Et nous verrons la 4) à la fin car il y a plus d'explication et il faut mieux prendre son temps pour bien comprendre les choses.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Bonjour,

Merci tout d'abord pour votre aide . De plus vous avez raison je me suis bien trompée dans mon énoncé I est bien le milieu de [AB] et K milieu de [CD]
J'ai donc trouvé ceci

1) I(1,1,-1) K(3,-3,3) et J(5/2,1/2,-5/2)
2)J'ai pris IJ et IK qui ne sont pas colinéaires donc pas alignés
3)L(1/2;-1/2;5/2)
4)Par contre ici je vois pas trop ce qu'il faut que je fasse équation du plan peut-être? Pourriez -vous m'aider svp?

Merci par avance

Bonsoir,

Alors les trois premières réponses sont justes. J'espère que les raisonnements qui mènes à ses réponses sont justes car dans un devoir la réponse ne vaut pas grand chose en soi et c'est bien ce qui mène à la réponse qui est le plus intéressant d'une part et donne plus de point d'autrepart .

Alors pour la dernière réponse, il faut savoir que trois points définissent toujours un plan. Par conséquent, on peut définir notre plan par deux vecteur non colinéaire et regarder si le dernier vecteur est combinaison linéaire des deux autres et si c'est le cas c'est le jackpot.

Est-ce que tu compris le raisonnement?

Bon courage!

Merci pour votre reponse rapide
En fait ce que je n'ai pas compris c'est "combinaison linéaire" pourriez-vous me montrer avec des vecteurs s'il vous plait?

Ha oui, j'ai été un peu vite là.

Prenons un exemple simple. Je considère un repère quelconque et i et j les vecteurs de base ainsi que O le centre. Ainsi, le plan est complétement déterminer par i et j.

On peut donc dire que si je considère un point du plan M, il existe x et y tel que OM=x*i+y*j.

Et là, tu vois apparaître en fait, les coordonnées du point M (c'est comme cela qu'on a dû te les définir d'ailleurs). ET bien, ici le fait d'être coplaniare sinifie que si on considère une base du plan c'est à dire deux vecteur non colinéaire de même origine et bien on pourra exprimer tous les points du plan à partir de cette origine grâce au deux vecteurs de base.

Par exemple, tu as montré que IJ et IK sont non colinéaire. Donc I,J et K définisse un plan (car trois point non alignés définissent un plan par définition).

On a donc en plus le fait que IJ et IK définissent une base de notre plan.

insi, si tu trouve x et y tel que IL=x*IJ+y*IK (c'est cela qu'on appelle une combinaison linéaire de deux vecteurs)et bien tu auras montrer que D appartient bien à ton plan.

Est-ce plus clair ainsi?

Avec la méthode, j'ai trouvé que x=-1 et y=1/2 est- ce que c'est ca?

Nickel!!

Le plus simple pour faire la résolution c'est de résoudre le système avec les deux première coordonnées puis après de vérifier si la solution du système vérifie bien l'égalité avec la troisième coordonnée. Si c'est le cas, c'est fini, sinon, cela signifie que L n'appartient pas au plan tout simplement.

Est-ce plus clair au niveau du raisonnement qu'on utilise ici?

Maintenant comment, on conclut pour l'autre partie de la question?

J'ai trouvé que L appartient bien au plan car avec le systeme je trouve que la troisieme coordonnée est bonne mais que dois- je faire maintenant ?

Bonjour,

Maintenant, il faut l'intersection entre le plan (IJK) et la droite (AL) d'après ton énoncer.

La première chose à faire c'est de rappeler que (IJK) est bien un plan d'après l'une des question précédente. Et ensuite, il faut se souvenirs de l'intersection d'un plan avec une droite.

Rappel:

L'intersection entre un plan et une droite peut être de trois type différent:

- Soit la droite est parallèle au plan et confondu avec le plan et à ce moment là, l'intersection est la droite elle-même
- Soit la droite est parallèle au plan mais non confondu dans le plan. A ce moment là, l'intersectino est vide (car il n'y a pas d'intersection)
- Soit la droite n'est pas paralèlle au plan et à ce moment là, il n'y a qu'un unique point d'intersection.

As-tu des idées pour cette question?

Je crois avoir compris maintenant j'ai pris votre methode en essayant de voir si A est dans le plan (IJK) il n'en fait pas partie j'en déduis donc que le point d'intersection est L

Je vous remercie en tout cas car vous m'avez vraiment bien aidée!!!!

Bonsoir,

En effet, A n'appartient pas au plan (IJK) en résolvant le système de trois équation à deux inconnue, on constate qu'il n'y a pas de solutions en effet.

En conclusion, vu qu'on a montré que le point L appartenait au plan (c'est ce que signifie le mot coplanaire), par conséquent, l'intersection est bien le point L tout simplement.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Bonjour, j'ai le même exercice à faire cependant je bloque à la question 4 je ne trouve pas le système, merci d'avance !!
ps : c'est un devoir maison pour demain

Bonsoir et bienvenue parmi nous surtout!

Le fait que ton devoir soit pour aujourd'hui (vu l'heure) n'est pas un problème en soi car le but n'est pas de travailler pour un instant ponctuel. Il n'y a même aucun intérêt à ne travailler que pour réussir un devoir maison par exemple. Les mathématiques se comprennent sur la durée et en comprenant les méthodes et les raisonnements. Donc ne pas avoir terminé ce DM pour le jour de rendu de celui-ci n'est pas un soucis en soi mais ne pas savoir le terminer serait plus gênant car celui-ci est tout de même très intéressant du point de vu de la démarche à utiliser.

Nous savons depuis la première question que I, J et K définissent un plan car non alignés ("trois points non alignés définissent un plan"). Par conséquent, on peut considérer deux vecteurs de base pour ce plan comme IJ et IK par exemple. Cela revient en fait à définir un repère (I;IJ,IK) du le plan. Ainsi, si j'arrive à exprimer le vecteur IL en fonction des vecteurs IK et IJ, j'aurai donc trouver des coordonnées de L dans le repère c'est à dire que mon point L appartiendrait bien à mon plan. Ce qui concluerait donc la première partie de la question vu que si L est dans le plan (IJK) forcément I, J, K et L sont coplanaires (car contenus dans le même plan).

Par conséquent, il faut chercher a et b tel que IL=a*IJ+b*IK Sachant qu'on connaît les coordonnées de I, J, K et L, donc les seules inconnues sont bien a et b. Après il faut se souvenir pour résoudre ceci que:

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même coordonnées dans un repère. Donc une égalité de vecteur revient à des égalités sur les coordonnées.

En espérant que cela soit plus clair maintenant.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas clair!

merci beaucoup de votre aide !! vous m'avez étais d'un grand secours et j'ai pu terminer et (j'espère) réussi mon DM !!!