Champ de vecteurs

C'est encore moi et mes questions !

J'aurai besoin de précisions sur ce qu'est un champ de vecteur. Ca me parait un peu vague pour être expliqué comme ça, mais peut-être que tu arriveras à me sortir du flou.

En fait en SI (je m'oriente PSI) en a commencé la mécanique du solide, et on utilise pour cela l'outil mathématique qu'est le torseur, qui est, si j'ai bien compris, l'association d'un vecteur et d'un champ de vecteur équiprojectif.

Je sais à peu près me servir de cet outil, mais dans ma tête c'est loin d'être clair, et j'aimerais vraiment comprendre comment on en est venu à utiliser cet outil. Enfin c'est dur pour moi d'expliquer en quoi c'est pas clair, c'est pour ça que je commence par le commencement: "qu'est-ce qu'un champ de vecteur ?"

En cherchant un peu, j'ai déjà un peu précisé dans ma tête cette notion.

En fait en quelque sorte c'est un vecteur qui varie au cours du temps, comme le vecteur vitesse d'un mobile par exemple ? C'est un vecteur qui est associé à un autre vecteur par une fonction, non ?

Toujours dans l'exemple du torseur, si je prends l'exemple du torseur cinématique dans le but de définir le mouvement d'un solide 2 par rapport à un solide 1:

le vecteur est Ω(2/1) qui est le vecteur rotation (définit à l'aide des angles d'Euler).
et le champ de vecteurs équiprojectif est V(N,2/1) = V(M,2/1) + Ω(2/1).MN (tout ça en vecteurs). Avec M et N deux points du solide 2.

Ce serait donc bien un champ de vecteurs équiprojectif puisque V(N,2/1).MN = V(M,2/1).MN

Bonsoir,

Oulà que les torseurs sont loins pour moi pour le coup (j'avais fait option Info, donc quasiment pas fait de torseur en gros). On utilise surtout cela en physique plutôt qu'en mathématiques (on parle de torsion en mathématiques mais bon il doit en effet avoir un lien). Cependant, je vais essayer de mettre cela au clair (avec le recule peut-être que je pourrait comprendre et expliquer celà mais le temps de me remettre dedans par contre).

Sinon, pour un champs de vecteur (là je suis plus dans mon domaine pour le coup). En fait, ce que tu as compris dans le deuxième message est tout à fait juste.

On considère, la fonction V: t|-->V(t) mais attention c'est là qu'on rigole car écrit comme cela, on ne comprend pas bien la différence avec une fonction qu'on connaît bien de R dans R.
Et bien c'est là que les ensemble de départ et d'arrivé prennent tout leur sens et leur utilité.

En effet, V: Rⁿ ---> Rⁿ

On dit qu'on associe chaque point de l'espace affine Rⁿ (considéré comme un ensemble de points donc) un vecteur de l'espace vectoriel Rⁿ (considéré cette fois ci comme un ensemble de vecteur).

On peut avoir quelque chose de bien plus générale (pour pousser la théorie mathématiques cette fois ci) et dire que:

Un champs de vecteur est une fonction qui à chaque point d'un espace affine (un ensemble de point) muni d'un produit scalaire (ça c'est pour faire des projection dans cette espace là et avoir une norme aussi), on associe un vecteur dans un espace vectoriel (donc un ensemble de vecteurs et non un ensemble de points).

Il s'agit donc d'une fonction avec plusieurs variable. Pour te donner un exemple simple, on peut avoir:

V(x,y)=(2x²-y , y+3)

Là il s'agit d'associe à tout point de R² un vecteur de R².


Il s'agit le plus souvent en physique de la modélisation à l'instant t de la position du vecteur vitesse d'un mobile. Puis de faire le tracer de tous ses vecteurs au cours du temps. Cela te donnera un champs de vecteurs vitesses par exemple.

Est-ce plus clair ainsi?

Par contre, pour ton expression de V(N,2/1) je trouve qu'il y a un problème d'homogénéité. En effet, le produit scalaire donne un scalaire et non un vecteur. Par conséquent, V(n,2/1) serait un scalaire ce qui n'est pas le cas. Il doit y avoir un problème de définition là.

Je te tiens au courant pour la torsion et le champs de vecteur équiprojectif.

Bon courage!

Alors pour le champs de vecteur équiprojectif. Par définition, on a:

On va considérer ici pour simplifier les choses que E=Rⁿ.
Donc soit, E un espace euclidien (espace muni d'un produit scalaire) et (V_P)_PЄE un champs de vecteurs
On dira que ce champs de vecteurs est équiprojectif si:

Pour tout PЄE et pour tout Q dans E, on a: V_P.PQ=V_Q.PQ

Et c'est cette définition qui donne l'equistance d'une fonction u linéaire et antisymétrique tel que: V_Q=V_P+u(PQ).

Pour définir cette fonction, on procède ainsi en mathématique. On fixe un point O de l'espace affine et pour chaque point P de cette espace, on peut définir le vecteur OP. Ainsi posé, on peut dire que u n'est autre quel a fonction qui à un vecteur OP du plan associe la différence des deux vecteurs V_P-V_O.

C'est à dire que u: x=OP |--> u(x)=V_P-V_O

Cela définie bien notre fonction. Pourquoi?

En admettant qu'on est montré la linéarité et l'antisymétrie de celle-ci, on aura:

u(PQ)=u(PO+OQ)=u(PO)+u(OQ) par linéarité de la fonction

Or u(PO)=u(-OP)=-u(OP) par antisymétrie

Donc u(PQ)=-u(OP)+u(OQ)=-[V_P-V_O]+V_Q-V_O=V_Q-V_P

C'est à dire V_Q=V_P+u(PQ)

Il resterait donc à montrer l'antisymétrie et la linéarité mais bon pour l'isntant est-ce que celà est plus clair??

C'est à que ce n'est pas V_Q=V_P+u(PQ) qui nous donnel e fait que le champs est équiprojectif. Mais c'est parce que le champs est équiprojectif qu'on a cette égalité.

Dans les fait, si on se place dans R₃ (ce qui est souvent le cas en SI d'ailleurs), on peut "voir" (à l'aide des matrice et de la définition d'un produit vectoriel) que u(OP)=Ω_^OP avec Ω est un vecteur associé à la matrice de u (chaque matrice antisymétrique admet un vecteur Ω permettant d'écrire ceci).

Dans ton exemple, le vecteur Ω n'est autre que le vecteur de rotation de notre machine. ET on a donc la relation (non pas avec un produit scalaire mais avec un produit vectoriel) suivante:

V_Q=V_P+Ω_^PQ

Si le champs est équiprojectif (ce n'est pas le cas si le champs n'estp as équiprojectif car u n'existe pas forcément dans le cas générale).

Est-ce que celà te semble un peu plus compréhensible ou plus "logique" à défaut. J'ai grand peu que tu n'es pas encore vu en maths la notion d'espace vectoriel, de linéarité et d'antisymétrie (mais j'espère que tu as vu ou entendu ou lu quelque chose sur le sujet sinon, je risque fort de parler taïlandais, je le sens).

En tout cas n'hésite pas si tu as des questions sur le sujet. (Il me reste à explicité la notion de torseur et donc de torsion).

A partir de là, j'ai tout définie et presque tout démontrer sauf trois choses:

- linéarité de u
- antisymétrie de u
- existence et unicité du vecteur Ω pour une fonction linéaire antysymétrique

J'admets encore totalement ses trois choses là. Et je considère un espace E euclidien (muni d'un produit scalaire donc) et un champs de vecteurs équiprojectif (V_P)_PЄE.

Ainsi, j'ai bien l'existence d'un vecteur Ω tel que: V_Q=V_P+Ω_^PQ

Dans ces condition là, on dit que (V_P)_PЄE est un torseur

En effet, la définition exacte est la suite:
Un torseur est un champs de vecteurs équiprojectif

Dans ces conditions, on notera M_P et M_Q respectivement V_P et V_Q. Et ces vecteurs s'appelleront respectivement moment en P et moment en Q du torseur (M comme moment c'est plus facile à retenir).

On peut donc réécrire la formule ainsi: M_Q=M_P+Ω_^PQ

Et dans cette formule le vecteur Ω qui était associé au la fonction u, sera appelé résultante du torseur.

On constate donc que la donne d'une résultante et d'un moment premet de déduire tous les autres moments par la relation lorsque le champs de vecteurs est équiprojectif (sinon, on n'a pas la relation d'équiprojectivité).

Je pense avoir fait le tour, je n'aborderait pas les ensembles de torsion mathématiques car aucun intérêt dans notre cas.

En espérant avoir éclairci tout ceci en tout cas.

Bon courage pour la suite!

Cool merci d'avoir pris du temps pour m'expliquer ça. Je lirai tout ça plus en détail après le repas, et te poserai ptete encore des questions. :d

Edit: Je comprends ce que sont l'antisymétrie et la linéarité, mais je n'ai pas encore vu la notion de matrice ni d'espace vectoriel (ce qui ne devrait tarder). Je reprendrai donc tes messages dans quelques semaines. Merci.