Bonsoir,
Pour les vecteurs, il faut déjà comprendre une chose primordiale c'est à dire sa définition. Comment définissons-nous les vecteurs depuis cette année? Je dis bien depuis cette année car avant, on les définissait pas aussi rigoureusement mais j'y reviendrais.
Alors, dans un premier temps, on parle d'une fonction qui agit sur les points du plan dans un repère. C'est à dire qu'on commence par définir, la fonction F qui envoie le point A sur le point B du plan par exemple. Cette transformation s'appelle une translation du point A vers le point B.
La notion de translation est en fait très intuitive et présente dans la vie courante dans diverses domaines. En effet, lorsqu'on se déplace sur une route rectiligne par exemple, la voiture ou le bus est dit en translation (chaque point du véhicule se déplace de façon rectiligne d'une position initiale à une position finale). Pour prendre un exemple encore plus courant poru un élève, le fait de tracer un trait à l'aide d'une règle ou d'une équerre est encore une translation de la point du stylo d'un point de départ vers un point d'arrivée.
On constate donc assez rapidement que des exemple dans la vie courante ne manque pas pour cette fonction qu'on appelle aussi application affine (pourquoi affine? car elle agit sur des points tout simplement) qui va donc envoyer un point sur un autre en suivant une ligne droite tout simplement.
On constate d'ailleurs qu'on a déjà intuitivement la notion de mouvement. En effet, je dis et vous dites aussi: "je me déplace vers quelque chose". Il y a donc une notion de sens du déplacement qui va caractériser notre translation en plus d'être rectiligne.
Pour résumer, je n'ai rien démontré là mais j'appuie juste sur l'imaginaire ou l'intuition que tu dois avoir sur l es sujets que j'aborde de façon je l'espère très simple. Cependant, nous avons conclu jusque là qu'une translation était caractérisée par:
- La direction de la translation (suivre une ligne droite c'est suivre une direction donnée)
- Le sens de la translation (aller d'un point
vers un autre
Et il y a aussi une autre chose qui est mise en évidence lorsqu'on parle de translation c'est la notion de distance. En effet, lorsque je me déplace de façon rectiligne d'un point A vers un point B, en fait, je vais parcourir la distance AB ni plus ni moins. Du coup, on constate qu'il y a aussi la distance qui joue un rôle important dans la notion de translation.
Ainsi, une translation d'un point A vers un point B est caractérisée par:
- Sa direction, celle de la droite (AB) tout simplement
- Son sens, de A vers B que je peux aussi écrire "A ---> B"
- Sa distance c'est à dire celle de AB
Enfin, puisqu'il s'agit d'une fonction, ainsi définie, on doit pouvoir prendre l'image d'un autre point C par cette fonction. Mais comment trouver le point D qui sera l'image de C par la translation qui envoie A sur B????
Et bien, on va prendre la même direction que (AB) et on va faire en sorte que le point D se situe du même côté que B si je coupe le plan par la droite (AC) (celà permet de conserver le sens de la translation) et on va dire que la distance CD doit être égale à la distance AB tout simplement.
Sinon, un autre moyen de construire D, c'est de dire que D est tel que [AD] et [BC] se coupent en leur milieu.
Les deux façons de le construire sont équivalentes, il suffit de savoir calculer les coordonnées du milieu d'un segment dans un repère (à l'aide des coordonnées des extrémités du segment) pour s'en convaincre ainsi que de savoir calculer des distances et retrouver des équation de droite dans un repère (ce qui est abordable même si compliqué car vous n'avez pas l'habitude de manipuler tout ceci). Cependant, cette démonstration ne nous intéresse pas ici même si il faudrait savoir manipuler les trois notions citées à défaut de ne pas savoir faire la démonstration
.
Mais, mais, où sont donc passé les vecteurs dans tous ça????
J'y viens, j'y viens ne t'inquiète pas! En effet, nous avons défini la translation qui envoie A vers B et bien on dira que cette translation est une translation de vecteur
AB (les vecteurs sont en gras sur le forum). Ainsi,
AB caractérise notre translation c'est à dire que la notion de vecteur est intiment liée à la notion de direction, de sens et de distance tout simplement.
A partir de là, on peut définir ce qu'est l'égalité entre deux vecteurs. Mais je pense que cela tu l'avais compris arrivé ici dans ta lecture, non? Car si tu as bien suivi, si je prend la translation qui envoie le point A sur le point B et que je prend l'image de C par cette translation que j'appelle D, alors faire une translation de vecteur
AB ou faire une translation de vecteur
CD c'est la même chose! Pourquoi?
Car
CD à le même sens, la même direction et la même longueur que
AB par construction.
Ainsi, on dira que deux vecteurs sont égaux s'il définissent la même translation. Ce qui signifie donc que deux vecteurs sont égaux s'ils ont:
- Même direction
- Même sens
- Même longueur
A partir de là, comment comprendre la relation de Chasle??? Et bien simplement comme des composition de translation!! En effet, je considère la translation de vecteur
AB et la translation de vecteur
BD.
Je prend le point A par exemple, par la première translation il est envoyé sur B. Puis B par la deuxième translation il est bien envoyé sur D. Ainsi, le point A est bien envoyé sur le point D. Ainsi, la translation de vecteur
AB+
BD est égale à la translation de vecteur
AD tout simplement vu que l'image de A par la translation de vecteur
AB+
BD est bien égale à D.
Et, nous pouvons aussi voir les choses dans l'autre sens c'est à dire voir la translation de vecteur
AD comme la translation de vecteur
AB+
BD. Le but étant d'arriver à D en partant de A, tous les chemins sont bons après tout
.
Dernier petit point que j'ai oublié et qui pourrait te servir dans ton exercice c'est le lien entre la translation de vecteur
AB et celle de vecteur
-AB. Alors, la deuxième translation va en fait envoyer B vers A et non A vers B. Ainsi, on dira que la deuxième translation est une translation de vecteur
BA tout simplement.
Nous venons donc de montrer que -
AB=
BA. C'est à dire que l'opposé d'un vecteur à même direction et même distance mais par contre à un sens opposé tout simplement.
Est-ce que tout ceci te semble plus abordable voire plus claire?
Je te laisse démarrer la première question.
Bon courage!
Mar 2 Fév - 19:46
