[PCSI] Intégrale (urgent)

Bonjour,

Dans un problème où on cherche à déterminer la convergence de la somme des 1/k², je bloque à une question.

On a défini In=∫_{[0 à pi/2]} cos(x)²ⁿdx et Jn=∫_{[0 à pi/2]} x²cos(x)²ⁿdx.

On a montré que pour tout x dans [0,pi/2], x≤pi/2*sin(x).

A partir de là je dois montrer que 0≤Jn≤(Pi²/(n(8+1))*In. Avec comme indice: se rappelerde la question 2a où nous avons démontré que In+1=(2n+1/2n+2)In

Je suis parti du 1er encadrement, j'ai fait apparaitre Jn en multipliant par x*cos(x)²ⁿ puis en intégrant l'encadrement entre 0 et Pi/2, mais ensuite je suis bloqué. J'ai essayé d'intégrer par parties le 2e membre mais je tombe sur du cos(x)²ⁿ⁺¹ sous l'intégrale...

Bonsoir,

Depuis le temps que tu connais la maison, tu marques toujours "urgent" .

Alors sortie de son contexte je ne vois pas encore le rapport avec la somme des 1/k² mais pour le moment ce n'est pas un problème.

Essayons d'être pragmatique. Tu ne peux pas faire d'intégration par partie vu comment tu as procédé. En effet comment intègres-tu x*Cos²ⁿ(x)*Sin(x) par partie? U(x)=? et V(x)=?

Mais par contre, si on utilise l'inaglité autrement, nous pouvons atterrir sur quelque chose de plus intéressant. En effet, au lieu de multiplier l'expression par x*Cos²ⁿ(x) qui était une bonne idée pour commencer la réflexion mais qui hélas n'aboutit pas, essaie plutôt de trouver une majoration de x² en fonction de l'inégalité proposée.

Ne pas oublier que toutes les quantités sont positives...

Bon courage!

Oui je sais, mais là c'est parce que c'était urgent de chez urgent.

Oui sorti de son contexte c'est pas évident, mais le pb fait intervenir une autre suite en fonction de In et Jn et c'est un peu long à écrire.^^

Pour l'intégration par parties j'avais posé u(x)=x et v'(x)=sin(x)cos(x)²ⁿ: le crochet s'annule et dans l'intégrale en retrouve du cos(x)²ⁿ⁺¹/2n+1.

Alors on a x²≤Pi²/4*sin²(x) plutôt... Mais ensuite il faut bien prendre l'intégrale pour retrouver Jn, et donc pour calculer le 2e membre il faut bien faire une intégration par parties, non ?

Edit: ah ça y'est je pense avoir trouvé.

Ha oui l'intégration par partie en intégrant le membre compliqué était une idée en effet! Mais le soucis était donc qu'il te manquait un exposant supplémentaire pour t'en sortir.
Donc maintenant avec ta nouvelle majoration, ça devrait couler tout seul je pense car Sin²(x), on sait très bien le mettre en Cos²(x) et du coup l'indication de l'exercice prend tout son sens.

Bon courage!

Oui c'est pour ça que je bloquais.

Merci beaucoup ! Je reviendrai peut-être plus tard dans la nuit, mais ça ne sera plus si urgent. =°

Bonne soirée.